高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3....》217PPT课件

± a；
± －ai.
3.虚数的平方根
设 z＝a＋bi(a，b∈R 且 b≠0)，x＋yi(x，y∈R)是 z＝a＋bi 的平方根，则 有(x＋yi)2＝a＋bi，即 x2－y2＋2xyi＝a＋bi，所以有x22x－y＝y2b＝，a， 解方程 组求出 x，y 的值即可.
[思考辨析 判断正误]
1.复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减.( √ ) 2.两个共轭复数的和与积是实数.( √ ) 3.若z1，z2∈C，且 z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.×( )
解析 答案
(2)已知复数 z 满足：z·z ＋2zi＝8＋6i，求复数 z 的实部与虚部的和. 解 设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则 z·z ＝a2＋b2， ∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i， 即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴a2＋b2－2b＝8， 2a＝6，
解得ab＝ ＝31， ，
z.解此类题的常规思路为：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，代入所
给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解.
(2)共轭复数的常用性质：①z·z ＝|z|2＝| z |2；
②
z1＋z2
＝
z1
＋
z2
，
z1－z2
＝
z1
－
z2
，
z1·z2
＝
z1
·z2
，
z1 z2
＝
z1 z2
思考 请你探究in(n∈N*)的取值情况及其规律. 答案 in(n∈N*)的取值只有i，－1，－i,1，且具有周期性，具体取值规 律为：i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1，k∈N.
梳理 (1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i
.
(2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝_z_2_z_1
结合律
(z1z2)z3＝_z_1_(z_2_z_3_)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z_1_z_2_＋__z_1_z3
知识点二 共轭复数
思考 当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个怎样的数？与复 数的模的关系是什么？ 答案 当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数，且有 z·z ＝|z|2 ＝| z |2.事实上，若 z＝a＋bi(a，b∈R)，那么 z·z ＝(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2.
a＋bi ac＋bd bc－ad
z2
c＋di＝ c2＋d2 ＋ c2＋d2 i .
复数的除法的实质是
.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－
分母实数化
bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.
2.实数的平方根
设a∈R，当a＝0时，a的平方根为0；当a>0时，a的平方根是两个实数
当a<0时，a的平方根是两个共轭纯虚数
分母有理化.
2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.
3.复数问题实数化思想.
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋
bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
本课结束
得xxy2－＋yxx＋＋y22＝＝43，，
x＝－1－ 解得
211，
y＝－23
x＝－1＋ 或
211，
y＝－23，
所以 z＝－1－
211－32i
或
z＝－1＋
211－23i.
解答
命题角度2 复数乘除法的灵活运算
例2 计算下列各式：
(1)i2 016＋( 2＋ 2i)8－1－2i50；
解
原式＝i4×504＋[
原式＝ 1－in ＝ 1－in ＝1－in＝1.
解答
类型二 复数运算的综合应用
例3 试判断方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0是否有实根，并解该方程.
解 设x0是方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0的实根， 则 x20－(4－2i)x0＋3－2i＝0， 整理得(x20－4x0＋3)＋(2x0－2)i＝0， 则x220x－0－42x0＝＋03，＝0， 解得x0＝1，故该方程有实根. 根据根与系数的关系，得方程的两个根分别为1,3－2i.
(z2≠0)；
③若 z∈R，则 z＝ z ，反之亦成立；若 z 为纯虚数，则 z＋ z ＝0，反之亦 成立.
m＋ni 跟踪训练 4 (1)已知 i 是虚数单位，m，n∈R，且 m＋2i＝2－ni，则m－ni 的共轭复数为__i__. 解析 m，n∈R，且m＋2i＝2－ni， 可得m＝2，n＝－2， m＋ni 2－2i 1－i 1－i1－i m－ni＝2＋2i＝1＋i＝ 2 ＝－i. 所以它的共轭复数为i.
解析 答案
反思与感悟 (1)两个复数代数形式乘法的一般运算方法：首先按多项式 的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复 数的代数形式. (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i.
√D.第四象限
Hale Waihona Puke 解析 由(1－z)(1＋2i)＝i，得 z＝1－1＋i 2i＝11＋＋2ii11－－22ii＝3－5 i＝35－15i，
在复平面内表示复数 z 的点的坐标为53，－15，位于第四象限.
解析 答案
(3)若复数z满足(1＋i)·z＝2i(i为虚数单位)，则复数z＝1_＋__i_. 解析 z＝12＋i i＝12＋ii1－1－i i＝2＋2 2i＝1＋i.
(2)记住一些结论，如(1±i)2＝±2i，11＋ －ii＝i，11－ ＋ii＝－i 等.
跟踪训练 2 (1)11＋ －ii2 005 等于
√A.i
B.－i
C.22 005
D.－22 005
解析 原式＝11＋ －ii2 00411＋ －ii＝i.
解析 答案
(2)计算：
①－1＋2 23＋3ii＋1＋2i2 000＋13＋ －ii；
梳理 (1)共轭复数的概念 一般地，当两个复数的 实部相等，虚部互为相反数 时，这两个复数叫做 互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 共轭虚数.z的共轭复数
用__z_表示.若z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi .
(2)共轭复数的性质 ①在复平面内，两个共轭复数对应的点关于 实轴 对称. ②实数的共轭复数是它本身，即z＝z ⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复 数为实数.
③若z≠0且z＋z ＝0，则z为纯虚数 复数为纯虚数.
，利用这个性质，可证明一个
④a.z·z ＝|z|2＝| z |2；b.|z|＝| z |；c.z＋ z ＝2a，z－ z ＝2bi(z＝a＋bi，a，b∈R).
知识点三 复数的除法法则
1.复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则 z1＝
解析 答案
4.若
z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且zz12为纯虚数，则实数
a
8 的值为__3__.
解析 zz12＝a3＋ －24ii＝a＋2i253＋4i
3a－8＋6＋4ai
＝
25
，
根据已知条件，得 a＝83.
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解析 答案
5.计算： 1＋i7 1－i7 3－4i2＋2i3
(1) 1－i ＋ 1＋i － 4＋3i ； 解 原式＝[(1＋i)2]311＋ －ii＋[(1－i)2]3·11－ ＋ii－83－4i3－1＋4iii21＋i
＝－16
2＋14＋(16
2－1)i.
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解答
1.复数代数形式的乘除运算
规律与方法
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换
律、结合律以及乘法对加法的分配律.
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，
再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的
解析 答案
(2)若复数z满足(2－i)z＝5i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数的模5是
____. 解析
由已知 z＝25－i i＝25－ii2＋2＋i i＝i(2＋i)＝－1＋2i，故|z |＝|z|＝
5.
解析 答案
反思与感悟 (1)已知关于 z 和 z 的方程，而复数 z 的代数形式未知，求
题型探究
类型一 复数的乘、除法运算
命题角度1 复数乘、除法基本运算
例1 (1)i(1－i)2的值等于
A.－4 C.－2i
√B.2
D.4i
解析 i(1－i)2＝i(－2i)＝2.
解析 答案
(2)若复数z满足(1－z)(1＋2i)＝i，则在复平面内表示复数z的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2ii1＋i
＝8＋8－16－16i ＝－16i.
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解答
1 (2) i (
2＋
2i)5＋1＋1 i4＋11－＋ii7.
解
1 i(
2＋
2i)5＋1＋1 i4＋11－＋ii7
＝－i·( 2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋1＋1 i22＋i7
＝16 2(－1＋i)－14－i
∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.
解答
达标检测
1.若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2等于
√A.4＋2i
C.2＋2i
B.2＋i D.3＋i
解析 z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i＝4＋2i.
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解析 答案
2.若 i 是虚数单位，则 3＋i 3i等于
A.41－123i
√B.14＋
3 12i
C.12＋
3 6i
D.21－
3 6i
解析
3＋i 3i＝
i 3－3i
3＋
3＋3i 3－3i＝ 12
3i＝41＋123i.
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解析 答案
3.计算：11＋－ii10＝_－__1_. 解析 11＋－ii10＝－1i＋1＋i i10＝(－i)10＝－1.
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解答
反思与感悟 根据复数相等的充要条件解决复系数方程是否有实根 问题时，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而 可确定两个独立参数，化复数问题为实数问题来解决.
跟踪训练 3 (1)复数 2＋2 3i 的平方根是
A. 3＋i
B. 3±i
C.± 3＋i
√D.±( 3＋i)
解析 答案
(2)已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，
2(1＋i
)2]
2 4－－2i25
＝1＋(4i)4－i25＝257－i.
解答
(2)21－
3 2i
6.
解
原式＝21－
3 2i
3
2＝21－
3 2i
212－
23i
2＝(－1)2＝1.
解答
反思与感悟 复数四则运算的解答策略 (1)复数的加法、减法、乘法运算法则可以类比多项式的运算法则，除法 的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最 简形式.
－2 3＋i
1＋i
解 原式＝－i－2 3＋i＋(－i)1 000＋3－i
＝i＋1＋51＋52i＝56＋57i.
解答
②1＋in＋i2n＋…＋i2 000n(n∈N*). 解 当n＝4k(k∈N*)时，原式＝1141 2 L4 3 1 ＝2 001.
2 001个
当n≠4k(k∈N*)时， 1－i2 001n 1－i2 000n·in 1－in
跟踪训练 1 (1)已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则ba的 值为_2__. 解析 因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a， 又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0， 得 a＝2，b＝1，所以ab＝2.
解析 答案
(2)已知复数 z 满足 z (z＋2)＝4＋3i，求 z. 解 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则 z ＝x－yi. 由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i.
第三章 §3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
学习目标 1.掌握复数代数形式的四则运算法则，熟练地运用复数的乘法、 除法的运算法则. 2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律. 3.理解并掌握共轭复数的性质及应用.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 复数的乘法及运算律
q为实数)的一个根，则p＋q的值为
A.22
B.36
√C.38
D.42
解析 答案
类型三 共轭复数的概念及其应用
1＋2i 例 4 (1)若 z＝ i ，则复数z 等于
A.－2－i
B.－2＋i
C.2－i
√D.2＋i
1＋2i i＋2i2 i－2 解析 ∵z＝ i ＝ i2 ＝ －1 ＝2－i，
∴ z ＝2＋i.