法线方程-

法线方程
法线方程是解析几何中的一个重要概念，指直线的法向量所构成的方程。

通过法线方程，我们可以得到直线与平面的关系，从而解决一些几何问题。

一、法线方程的定义
给定一个平面曲线$y=f(x)$，其中$f(x)$是一个可微函数，如果对于曲线上的每一个点$(x_0,f(x_0))$，都有一条垂直于曲线的直线过该点，那么由这些垂直线所构成的直线称为曲线的法线。

法线方程就是描述法线的数学关系式。

二、向量法求法线方程
通过向量法，我们可以比较方便地求得一个平面曲线的法线方程。

假设有一点$P_0(x_0,y_0)$在曲线上，其切线的斜率为$k$，那么切线的方程可以表示为$y-y_0=k(x-x_0)$。

直线的方向向量为$\\vec{v}=[1,k]$，那么曲线的法线的方向向量为$\\vec{n}=[-k,1]$，因为$\\vec{v}\\cdot \\vec{n}=0$。

令$P(x,y)$为法线上的任意一点，则$\\vec{P_0P}=[x-x_0,y-y_0]$是法线的方向向量。

因此，法线的方向向量可以表示为$\\vec{n} \\cdot
\\vec{P_0P}=0$，即：
$(-k,1)\\cdot(x-x_0,y-y_0)=0.$
将$\\vec{n}$和$\\vec{P_0P}$代入上面的式子，可以得到法线方程：
$-k(x-x_0)+(y-y_0)=0.$
化简后即为：
$k(x-x_0)=y-y_0.$
这就是平面曲线$y=f(x)$在点$(x_0,y_0)$处的法线方程。

三、参数法求法线方程
另一种求解法线方程的方法是通过参数方程求解。

假设对于平面曲线
$y=f(x)$，我们有一个参数方程$\\begin{cases} x=\\varphi(t) \\\\ y=\\psi(t) \\end{cases}$，其中$t$是参数，那么曲线上任意一点的坐标可以表示为
$P(\\varphi(t),\\psi(t))$。

如果我们能够求出曲线上任意一点处的切向量，则法向量就是其垂直向量。

假设$t=t_0$时，曲线上的点为$P_0(\\varphi(t_0),\\psi(t_0))$，那么曲线的切向量为：
$\\vec{v}=\\begin{pmatrix}
\\frac{dx}{dt} \\\\ \\frac{dy}{dt}
\\end{pmatrix}_{t=t_0}
=\\begin{pmatrix}
\\varphi'(t_0) \\\\ \\psi'(t_0)
\\end{pmatrix}$.
曲线的法向量为垂直于切向量的向量，即：
$\\vec{n}=\\begin{pmatrix}
-\\psi'(t_0) \\\\ \\varphi'(t_0)
\\end{pmatrix}$.
那么，在点$P_0(\\varphi(t_0),\\psi(t_0))$处的法线方程为：
$-\\psi'(t_0)(x-\\varphi(t_0))+\\varphi'(t_0)(y-\\psi(t_0))=0.$
化简后即为：
$\\psi'(t_0)(x-\\varphi(t_0))+\\varphi'(t_0)(y-\\psi(t_0))=0.$
这也是平面曲线$y=f(x)$在点$(\\varphi(t_0),\\psi(t_0))$处的法线方程。

四、实例分析
以一条双曲线$y=\\frac{1}{x}$为例，求该曲线在点$(1,1)$处的法线方程。

首先，我们需要将双曲线的方程表示为参数方程。

可以令$x=t$，那么
$y=\\frac{1}{t}$，曲线的参数方程为：
$\\begin{cases}x=t \\\\ y=\\frac{1}{t}\\end{cases}$.
在点$(1,1)$处求该曲线的法线方程。

这里$t_0=1$，$\\varphi(t)=t$，
$\\psi(t)=\\frac{1}{t}$，那么切向量为：
$\\vec{v}=\\begin{pmatrix}
\\varphi'(t_0) \\\\ \\psi'(t_0)
\\end{pmatrix}
=\\begin{pmatrix}
1 \\\\ -\\frac{1}{t_0^2}
\\end{pmatrix}_{t_0=1}
=\\begin{pmatrix}
1 \\\\ -1
\\end{pmatrix}$。

法向量垂直于切向量，即：
$\\vec{n}=\\begin{pmatrix}
-1 \\\\ -1
\\end{pmatrix}$。

在点$(1,1)$处的法线方程为：
$-1(x-1)-1(y-1)=0$。

化简后即为：
$x+y=2$。

这就是双曲线$y=\\frac{1}{x}$在点$(1,1)$处的法线方程。

五、总结
通过向量法和参数法，我们可以求解平面曲线的法线方程。

在向量法中，我们根据切线斜率求出切向量，然后通过切向量和法向量的关系求出法向量，最后利用点和向量的关系化简得到法线方程；在参数法中，我们先通过参数方程求出切向量和法向量，然后利用点和向量的关系化简得到法线方程。

无论采用哪种方法，求解法线方程都需要先求出曲线的切向量和法向量，然后进行化简，因此需要对向量的运算和几何意义有一定的了解。