一元二次方程——公式法及因式分解法

一元二次方程——公式法及因式分解法
知识点1：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，式子x=242b b ac a
-±-就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式． 知识点2：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况
① b 2-4ac>0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不等的实根，反之也成立；
② b 2-4ac=0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；
③ b 2-4ac<0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）没实根，反之也成立；
知识点3：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
应用公式法解一元二次方程的步骤: 1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.
2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号．．．．．．．．．．．。

3)计算b 2-4ac ，若0ac 4b 2<-，方程无解； 4）若0ac 4b 2≥-，代入求根公式，算出结果。

【经典例题】
例1.不解方程，判断下列方程的根的情况。

（1）04x 3x 22
=-+ （2）y 249y 162=+ （3）0x 7)1x (52=-+
例2．用公式法解下列方程．
（1）2x 2-4x+2=0 (2)2x 2-3x+2=0 （3）-3x 2
+2=5x
（4）02y y 2=-- （5）1622=+x x （6）x x 4322=+-
例3．已知方程0k x 4x 22
=+-。

（1）当k 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当k 时，方程有两个相等的实数根；
（3）当k 时，方程没有实数根。

例4. 已知关于x 的一元二次方程)0a (01bx ax 2
≠=++有两个相等的实数根，求4b )2a (ab 222
-+-的值。

拓展：（1）已知关于x 的方程04k kx 2x )1k (222=++-+，求证：此方程没有实数根。

（2）已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边，若方程a c b x c b ax 2)(22222=++++有两个等根，试判断△ABC 的形状.
知识点4：因式分解法
(1)其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
（2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0 例5．解方程
（1）10x-4.9 x 2 =0 （2）x （x-2）+x-2 =0 (3)(x-1) 2 =(3-2x)
2
（4）(x －1)2－4(x －1)－21＝0． (5)x 2－4x －21＝0；
(6)x 2
-5x +6＝0；
【课堂练习】
一、选择题
1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．
A ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7
B ．（2-5x ）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=
25 ，x 2=35 C ．（x+2）2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2
D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=1
2．下列命题①方程kx 2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x 2=1是同解方程；③方程x 2=x 与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（ ）．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
3．如果不为零的n 是关于x 的方程x 2-mx+n=0的根，那么m-n 的值为（ ）．
A ．-12
B ．-1
C ．12
D ．1 4．若一元二次方程()68212=+-x x k ，无实数根，则k 的最小整数值是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
5．在方程()002≠=++a c bx ax 中，若0=++c b a ，则此方程必有根为（ ）
A 、1
B 、-1
C 、1或-1
D 、0
6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A 、0122=++x x
B 、02222=++x x
C 、0122=++x x
D 、02=++-x x 7.方程x 2
-3x+1=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D.只有一个实数根
8.若关于x 的一元二次方程mx 2-2x+1=0有实数根，则m 的取值范围是 ( )
A.m ＜1
B. m ＜1且m ≠0
C.m ≤1
D. m ≤1且m ≠0
9．已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，则m 的值等于（ ）.
A ．22
B. 22-
C. 22-或22
D. 8或-8 10．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．
A ．4
B ．-2
C ．4或-2
D ．-4或2
二、填空题
11．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
12．一元二次方程022
=-+m x x ，当m= 时，方程有两个相等的实根；当m 时，方程有两个不相等的实根；当m = 时，方程有一个根为0．
13．如果关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个实数根，则k 得取值范围是 ．
14．若关于x 的方程0)2()1(222=+---b x a x 有两个相等的实数根，则a b = 。

三、综合提高题
15.用合适的方法解下列一元二次方程
（1）0562=++x x （2）x x 4322=+- （3）()()()33112-=-+x x x x
（4）3y 2-6y=0 （5）25y 2-16=0 （6）(y －5)(y ＋2)＝1
16．已知关于x 的方程x 2+2(a-3)x+a 2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.
(1)求a 、b 的值；
(2)已知k 为一实数，求证：关于x 的方程(-a+b)x 2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.。