黑龙江省哈六中高三数学上学期期末考试(文) 新人教版

哈六中2009—2010学年度上学期期末考试
高三数学（文史类）试题
参考公式：线性回归方程的系数公式为11
2
2
2
1
1
()()
,()
n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nx y x x y y b
a y bx x
nx
x x ====---=
=
=---∑∑∑∑.
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分． 1．函数12
1cos -=x y π的最小正周期为（ ）
（A ）π4 （B ）π2 （C ）4 （D ）2
2．已知集合}2,1,0,1,2{--=M ，},822
1
|
{1R x x N x ∈<<=+，则=⋂N M （ ） （A ）}1,0{ （B ）}1,0{- （C ）}1,1,0{- （D ）}2,1,0,1,2{--
3．已知a 为实数，若
2
3
21>++i a i ，则=a （ ） （A ）1 （B ）2- （C ）31 （D ）21
4．在ABC ∆中，若b a 2
5
=，B A 2=，则=B cos （ ） （A ）35 （B ）45 （C ）55 （D ）6
5
5．已知函数)(x f y =与x e y =互为反函数，函数)(x g y =的图象与)(x f y =的图象关于x 轴对称，若1)(=a g ，则实数a 的值为（ ）
（A ）
e 1 （B ）e
1
- （C ）e - （D ）e 6．设函数3x y =与2)2
1
(-=x y 的图象的交点为),(00y x ，则0x 所在的区间是（ ）
（A ）)1,0( （B ）)2,1( （C ）)3,2( （D ）)4,3(
7．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且20101-=a ，
22008
20102008
2010=-S S ，则=2010S （ ） （A ）2010- （B ）2009- （C ）2009 （D ）2010 8．设直线n m ,和平面βα,，下列四个命题中正确的是（ ） （A ）若α//m ，α//n ，则n m //
（B ）若α⊂m ，α⊂n ，β//m ，β//n ，则βα// （C ）若βα⊥，α⊂m ，则β⊥m （D ）若βα⊥，β⊥m ，α⊄m ，则α//m
9．如图所示的程序框图输出的结果是（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）72 （D ）720
10．已知a 是使表达式x
x -+>2142成立的最小整数，则方程
1|12|1-=--x a x 实数根的个数为（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
11．点),(y x P 满足042422≤+--+y x y x ，则点P 到直线01=-+y x 的最短距离为（ ） （A ）2 （B ）0 （C ）12- （D ）12+
12．已知点P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 右支上一点，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，
I 为21F PF ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为（ ）
（A ）2
2b a a
+ （B ）a b a 222+ （C ）a b （D ）b a
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分．
13．每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以1，2，3，4，5，6），连续抛掷2次，则2次向上的数之和不小于10的概率为
14．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，
60=∠BAD ，E 为CD 中点，则
=⋅
15．甲：函数()f x 是奇函数；乙：函数()f x 在定义域上是增函数，对于函数①x
x f 1)(-
=；②x x f tan )(=；③||)(x x x f =；④21,0()21,0
x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，能使甲、乙均为真命题的所有函
数的序号是
16．（考生在下列两小题任选其一作答，若两题都答，则按第1小题计分） （1）已知曲线C 的极坐标方程是)4
sin(4π
θρ+
=，则曲线C 的普通方程为
（2）已知R z y x ∈,,，且3=++z y x ，则222z y x ++的最小值
三、解答题：本大题共有6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）已知函数12cos 32)4
(sin 4)(2--+=x x x f π
，且
2
4
π
π
≤
≤x
（1）求)(x f 的在定义域上的单调区间； （2）求)(x f 的最大值及最小值．
18．（本小题12分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D ． （1）求证：AD ⊥平面BC C 1 B 1； （2）设E 是B 1C 1上的一点，当11
B E
EC 的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明．
19．（本小题12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；
B 1
A 1
A
B
C
C 1
D
20．（本小题12分）已知数列}{n a 的首项51=a ，前n 项和为n S ，且)(52*1N n n S S n n ∈++=+． （1）求数列}{n a 的通项； （2）令n n x a x a x a x f +++= 221)(，求函数)(x f 在1=x 处的导数
)1('f ．
21．（本小题12分）已知函数)(1
1
2)(2
2R x x a ax x f ∈++-=，其中0>a ． （1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调区间与极值．
22．（本小题12分）已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y x 42=的焦点，离心率5
2
=
e ，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于B A ,两点． （1）求椭圆方程； （2）设点)0,(m M 是线段OF 上的一个动点，且AB MB MA ⊥+)(，求m 的取值范围；
（3）设点C 是点A 关于x 轴对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得N B C ,,三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
高三上学期期末考试文科数学答案
一、选择题：CCDBA BADDC CA 二、填空题
13．
6
1
14．5 15．（３）（４） １6．（1）.4)2()2(22=-+-
y x （2）3
17．解：①1)3
2sin(4)(+-
=π
x x f
2
4π
π
≤≤x
3
23
26
π
π
π
≤
-
≤∴
x
5)(max =∴x f
3)(=nim x f
②由2326π
ππ≤-≤x ，得)(x f 的单调递增区间4[π，125π
] 由32322πππ≤-≤x ，得)(x f 的单调递减区间]2
,125[ππ 18．解: （1）在正三棱柱中，C C 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，
∴ AD ⊥C C 1．………………………………………2分
又AD ⊥C 1D ，C C 1交C 1D 于C 1，且C C 1和C 1D 都在面BC C 1 B 1内，
∴ AD ⊥面BC C 1 B 1． ………………………………………………………5分
（2）由（1），得AD ⊥BC ．在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点．………………6分
当
11
1B E
EC =，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1．…………………………7分
事实上，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BC C 1 B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，所以B 1B ∥DE ，B 1B= DE ． …………………………………………9分 又B 1B ∥AA 1，且B 1B=AA 1，
∴DE ∥AA 1，且DE =AA 1． …………………………………………………10分 所以四边形ADE A 1为平行四边形，所以E A 1∥AD ．
而E A 1⊄面AD C 1内，故A 1E ∥平面AD C 1． ……………………………12分
19．解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， ………………2分
所以 43
()1105
P A =-
=．…………………………………………………………4分 答：略． ……………………………………………………………………………5分 （2）由数据，求得12,27x y ==．………………………………………………………7分
由公式，求得5
2
b =
，3a y bx =-=-． …………………………………………9分 B 1
A 1
A
B
C
C 1
D
所以y 关于x 的线性回归方程为5
ˆ32
y
x =-． ……………………………………10分 21．解: （Ⅰ）解：当1a =时，2
2()1x f x x =
+，4
(2)5
f =，……………1分 又222
2222
2(1)422()(1)(1)x x x f x x x +--'==
++，则6(2)25f '=-．…………………3分 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46
(2)525
y x -=-
-， 即625320x y +-=．……………4分
（Ⅱ）解：222222
2(1)2(21)2()(1)
()(1)(1)
a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++．…………6分 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．
（1）当0a >时，令()0f x '=，得到11
x a
=-，2x a =,
当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：
所以()f x 在区间a ⎛
⎫--
⎪⎝
⎭，∞,()a +，∞内为减函数，在区间a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，内为增函数 故函数()f x 在点11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且2
1f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，
函数()f x 在点2x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =．…………………10分
20解：（1）由521++=+n S S n n 得421++=-n S S n n ，相减得121+=+n n a a ，即
)1(211+=++n n a a ----2分
当1=n 时，6212+=S S ，所以62121+=+a a a ，得112=a ，所以1212+=a a ，--------2分 所以1261-⋅=+n n a ，即123-⋅=n n a --------2分
（2）则n n x a x a x a x f +++= 221)(，所以121'2)(-+++=n n x na x a a x f --------1分 n na a a f +++= 21'2)1(，则n n n na n n n -⋅=-⋅=23)123(，所以
2
)
1(]2221[32)1(221'+-
++⋅+⋅=+++=n n na na a a f n n --------1分 由错项相减法得2
)
1(62)33()1(1'+-+-=+n n n f n --------4分
22解：（1）由题意知1=b ，又542
22222
=-==a
b a a
c e ，所以52
=a ，所以1522=+y x --------4分
（2）由（1）得)0,2(F ，所以20≤≤m ，设l 的方程为)0)(2(≠-=k x k y ，联立得
052020)15(2
2
2
2
=-+-+k x k x k ，15202
221+=+k k x x ，1
55
202221+-=k k x x ，--------2分),2(2121y y m x x MB MA +-+=+，),(1212y y x x --=，由题意得
0))(())(2(12211221=-++--+y y y y x x m x x ，代入可得0)58(2=--m k m ，所以
0582>-=
m m k 得5
8
0<<m --------4分
（3）设)0,(t N ，则有CN CB //，所以),(1212y y x x +-=，),(11y x t -=，所以
))(()(112112x t y y y x x -+=-，代入解得2
5
=
t --------2分。