上甘岭区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

上甘岭区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数
22
z z
+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -
【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 2． 若复数（m 2﹣1）+（m+1）i 为实数（i 为虚数单位），则实数m 的值为（ ） A ．﹣1 B ．0
C ．1
D ．﹣1或1
3． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A ．24 B ．18 C ．48 D ．36
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力． 4． 下列推断错误的是（ ）
A ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1则x 2﹣3x+2≠0”
B ．命题p ：存在x 0∈R ，使得x 02+x 0+1＜0，则非p ：任意x ∈R ，都有x 2+x+1≥0
C ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题
D ．“x ＜1”是“x 2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件
5． 在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点P （a ，﹣）的所有直线中（ ）
A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B ．恰有n （n ≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D ．每条直线至多过一个有理点
6． 已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜a ＜2
B ．﹣3＜a ＜6
C ．a ＜﹣3或a ＞6
D ．a ＜﹣1或a ＞2
7． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形， 则该几何体的体积为（ ）
A ．64
B ．32
C ．
643 D ．323
8． 已知M={（x ，y ）|y=2x
}，N={（x ，y ）|y=a}，若M ∩N=∅，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．（﹣∞，1）
B ．（﹣∞，1]
C ．（﹣∞，0）
D ．（﹣∞，0]
9． 已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，
||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）
A ．240x y +-=
B ．240x y --=
C ．20x y +-=
D ．20x y --=
10．如图，函数f （x ）=Asin （2x+φ）（A ＞0，|φ|＜）的图象过点（0，
），则f （x ）的图象的一个对
称中心是（ ）
A ．（﹣，0）
B ．（﹣，0）
C ．（，0）
D ．（，0）
11．函数
是（ ）
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
12．已知点P （1，﹣），则它的极坐标是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．设f （x ）是（x 2+）6
展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[
，]上恒成立，则实数m 的取值范
围是 ．
14．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （2）=0，则不等式f （log 8x ）＞0的解集是 ．
15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若﹣1＜a 3＜1，0＜a 6＜3，则S 9的取值范围是 ．
16．= ．
17．命题“(0,)2
x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．
18．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()()21x
f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数
0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是 三、解答题
19．在极坐标系下，已知圆O ：ρ=cos θ+sin θ和直线l ：．
（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．
20．（本小题满分12分）
已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+． （1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；
（2）数列{n b }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足20152
2>++n
n T n 的 最小正整数n ．
【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前n 项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高.
21．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为120°．
（1）求及|+|；
（2）设向量+与﹣的夹角为θ，求cosθ的值．
22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，．
求证：PC⊥BC；
（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；
（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；否则，说明理由．
23．如图所示，已知+=1（a＞＞0）点A（1，）是离心率为的椭圆C：上的一点，斜率为的直
线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△ABD面积的最大值；
（Ⅲ）设直线AB、AD的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k1+λk2=0成立？若存在，求出λ的值；否则说明理由．
24．某市出租车的计价标准是4km以内10元（含4km），超过4km且不超过18km的部分1.5元/km，超出18km的部分2元/km．
（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y元与行车里程x km的函数关系式；
（2）如果某人乘车行驶了30km，他要付多少车费？
上甘岭区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A 【
解
析
】
2． 【答案】A
【解析】解：∵（m 2
﹣1）+（m+1）i 为实数，
∴m+1=0，解得m=﹣1， 故选A ．
3． 【答案】A
【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有121
21223=C C C 种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有12121213=C C C 种. 共有24种. 选A.
4． 【答案】C
【解析】解：对于A ，命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1则x 2
﹣3x+2≠0”，正确；
对于B ，命题p ：存在x 0∈R ，使得x 02+x 0+1＜0，则非p ：任意x ∈R ，都有x 2
+x+1≥0，正确；
对于C ，若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，故C 错误；
对于D ，x 2﹣3x+2＞0⇒x ＞2或x ＜1，故“x ＜1”是“x 2
﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．
综上所述，错误的选项为：C ， 故选：C ．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题．
5． 【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由于
也在此直线上，
所以，当x 1=x 2时，有x 1=x 2=a 为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当x 1≠x 2时，直线的斜率存在，且有
，
又x2﹣a为无理数，而为有理数，
所以只能是，且y2﹣y1=0，
即；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；
所以，正确的选项为C．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
6．【答案】C
【解析】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x﹣1，
有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．
若f（x）有极大值和极小值，
则△=4a2﹣12（a+6）＞0，
从而有a＞6或a＜﹣3，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．
7．【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:144432
⨯⨯⨯=，故选B.
2
考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.
【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
8．【答案】D
【解析】解：如图，
M={（x ，y ）|y=2x }，N={（x ，y ）|y=a}，若M ∩N=∅， 则a ≤0．
∴实数a 的取值范围为（﹣∞，0]． 故选：D ．
【点评】本题考查交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
9． 【答案】D
【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．
设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).
由2114y x =，2224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，
而1222y y +=，∴12
12
1y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=，选D ． 10．【答案】 B
【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），
可得：2sin φ=，即sin φ=
，由于|φ|＜
，
解得：φ=
，
即有：f （x ）=2sin （2x+）．
由2x+
=k π，k ∈Z 可解得：x=
，k ∈Z ，
故f （x ）的图象的对称中心是：（，0），k ∈Z
当k=0时，f （x ）的图象的对称中心是：（，0），
故选：B ．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．
11．【答案】B
【解析】解：因为
=
=cos（2x+）=﹣sin2x．
所以函数的周期为：=π．
因为f（﹣x）=﹣sin（﹣2x）=sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数．
故选B．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．
12．【答案】C
【解析】解：∵点P的直角坐标为，∴ρ==2．
再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，结合所给的选项，可取θ=﹣，
即点P的极坐标为（2，），
故选C．
【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】[5，+∞）．
【解析】二项式定理．
【专题】概率与统计；二项式定理．
【分析】由题意可得f（x）=x3，再由条件可得m≥x2在区间[，]上恒成立，求得x2在区间[，]上的最大值，可得m的范围．
【解答】解：由题意可得f（x）=x6=x3．
由f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，可得m≥x2
在区间[，]上恒成立，
由于x2在区间[，]上的最大值为5，故m≥5，
即m的范围为[5，+∞），
故答案为：[5，+∞）．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问题，属于中档题．
14．【答案】（0，）∪（64，+∞）．
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（log8x）＞0，等价为：f（|log8x|）＞f（2），
又f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴|log8x|＞2，∴log8x＞2或log8x＜﹣2，
∴x＞64或0＜x＜．
即不等式的解集为{x|x＞64或0＜x＜}
故答案为：（0，）∪（64，+∞）
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．
15．【答案】（﹣3，21）．
【解析】解：∵数列{a n}是等差数列，
∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d，
由待定系数法可得，解得x=3，y=6．
∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18，
∴两式相加即得﹣3＜S9＜21．
∴S9的取值范围是（﹣3，21）．
故答案为：（﹣3，21）．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
16．【答案】2．
【解析】解：=2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，
故答案为：2． 【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
17．【答案】()
0,2x π
∃∈，sin 1≥
【解析】
试题分析：“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是()
0,2
x π
∃∈，sin 1≥ 考点：命题否定
【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题. 18．【答案】
【解析】试题分析:设
,由题设可知存在唯一的整数0x ，使得
在直线
的下方.因为
,故当
时,
,函数
单调递减;
当时,
,函数
单调递增;故,而当
时,
,故当
且
,解之得,应填答案
3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
. 考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．
【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点0x ，使得()00f x <为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数0x ，使得在直线
的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依
据题设建立不等式组求出解之得
.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）圆O ：ρ=cos θ+sin θ，即ρ2
=ρcos θ+ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2=x+y ，即x 2+y 2
﹣x ﹣y=0．
直线l ：
，即ρsin θ﹣ρcos θ=1，则直线的直角坐标方程
为：y ﹣x=1，即x ﹣y+1=0．
（2）由，可得 ，直线l 与圆O 公共点的直角坐标为
（0，1），
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为
．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．
20．【答案】
【解析】（1）当111,12n a a =+=时，解得11a =. （1分）
当2n ≥时，2n n S n a +=，
① 11(1)2n n S n a --+-=，
②
①-②得，1122n n n a a a -+=-即121n n a a -=+， （3分） 即112(1)(2)n n a a n -+=+≥，又112a +=. 所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.
即12n n a +=故21n n a =-（*
n N ∈）.
（5分）
21．【答案】
【解析】解：（1）=；
∴=；
∴；
（2）同理可求得；
；
∴=．
【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，根据求的方法，以及向量夹角余弦的计算公式．
22．【答案】
【解析】解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PDICE=D，
∴BC⊥平面PCD，又∵PC⊂面PBC，∴PC⊥BC．
（II）解：∵BC⊥平面PCD，
∴GC是三棱锥G﹣DEC的高．
∵E是PC的中点，∴．
∴．
（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．
下面证明之：
∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥平面PA，
又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG，
在正方形ABCD中，∵O是AC中点，∴△OCG≌△OAM，
∴，∴所求AM的长为．
【点评】本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵，∴a=c，
∴b2=c2
∴椭圆方程为+=1
又点A（1，）在椭圆上，
∴=1，
∴c2=2
∴a=2，b=，
∴椭圆方程为=1 …
（Ⅱ）设直线BD方程为y=x+b，D（x
，y1），B（x2，y2），
1
与椭圆方程联立，可得4x2
+2bx+b2﹣4=0
△=﹣8b2+64＞0，∴﹣2＜b＜2
x1+x2=﹣b，x1x2=
∴|BD|==，
设d为点A到直线y=x+b的距离，∴d=
∴△ABD面积S=≤=
当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为…
（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点（﹣，0）时，k
==2﹣，k2==﹣2
1
此时k1+k2=0，猜想λ=1时成立．
证明如下：k
+k2=+=2+m=2﹣2=0
1
当λ=1，k1+k2=0，故当且仅当λ=1时满足条件…
【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，考查存在性问题的处理方法，椭圆方程的求法，韦达定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．
24．【答案】
【解析】解：（1）依题意得：
当0＜x≤4时，y=10；…（2分）
当4＜x≤18时，y=10+1.5（x﹣4）=1.5x+4…
当x＞18时，y=10+1.5×14+2（x﹣18）=2x﹣5…（8分）
∴…（9分）
（2）x=30，y=2×30﹣5=55…（12分）
【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．。