【教案】函数模型的应用教学设计高一下学期数学人教A版(2019)必修第一册

4.5.3 函数模型的应用
一、教学内容分析
本节课的教学内容选自《人教版 2019 年高中数学教科书必修第一册(A 版)》第四章指数函数第五节第三课时.函数是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具，函数模型在生活中有广泛的应用．
《函数模型的应用》是在学生学习了函数、指数函数、对数函数和幂函数的概念与性质后进行的一次综合应用，学生已经掌握了多种函数模型，具备了一定的建模基础．本节课选择了“城市机动车保有量情况”为研究背景，这是各地的热点问题，具有实际意义，不仅能调动学生的积极性，也能体现数学的应用价值．
二、学情分析
1
学生当前已经掌握了函数的概念以及简单的性质，如单调性、奇偶性等，在函数类型上，初中就学习了一次函数、二次函数以及反比例函数，到了高中又学习了指数函数、对数函数以及幂函数等初等函数模型，因此学生具备一些函数方面的基本前在知识，此外从小学开始接触的应用题也是数学模型的简单应用基础，这些知识为学生学习本课时提供了经验上的可能.
2
学习本课时的学生是刚进入高中阶段的学生，在生理、心理方面逐渐趋于成人，此外学生的智力也日趋成熟，抽象逻辑思维由“经验型”向“理论型”转化. 函数部分作为整个中学数学的重难点，在初中学习的二次函数，可能对一部分学生的学习造成了不少困难，而到了高中函数集合概念的抽象性可能再次让学生困惑，甚至产生一定的恐惧心理.本课时的学习是对以前函数学习的一个巩固和应用，用函数知识解决问题，通过实际应用加深学生对函数理解的同时，也为后面进一步学习函数相关知识打下坚实基础.此外，本课时也涉及数学建模的初步思想，可以利用学生对于数学实践的兴趣来进行教学，使学生达到教学目标.
三、目标及目标解析
(1)了解函数模型在实际生活中的应用；通过生活实例问题解决的学习，初步
理解数学建模的基本过程.
(2)经历实际问题解决的完整过程，归纳利用函数模型解决实际问题的一般思维过程；能建立适当函数模型解决简单的生活问题.
(3)通过实际问题的函数解决，体会数学的实际应用功能；经历实际问题的函数模型解决过程，增强解决问题的自信心，学会用数学的眼光观察生活.
2
达成上述目标的标志是：
(1)能够想到用函数的思想解决问题，对于不同的实际情况，会选择不同的函数模型针对性的加以解决.
(2)在总结部分可以自己总结得到数学建模的一般步骤：实际问题→ 提出问题→建立模型→求解模型→检验结果→ 实际结果；通过合作探究的方式完成问题2，并能够评价问题与反思求解过程.
(3)通过对所在城市与首都北京的实际问题—“机动车保有量”的解决，感受到函数并不只是存在于课本的这一章，而是真切的可以应用于生活中；在解决问题过后对问题的反思中，能够通过言语以及语气感受到对实际问题得到成功解决这一行为的自豪感.
四、教学重点与难点
1学会通过建立函数模型解决实际问题.
2能针对不同问题灵活的选取模型，会对数据进行适当的处理.
五、方法与策略
1.
(1)问答法
(2)讨论法
(3)探究法
2.
为了突出重点，本课时采用了问题导向式教学.
(1)课程标准对本课时的要求为“体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义. ”而教师仅仅通过对教材例题的讲解很难达成目标，采用问题导向式教学可以让学生始终保持对问题的探究，从而在解决实际
问题中学会数学建模的基本过程.
(2) 教材上的例题虽多但都与学生的生活有一定距离，而通过问题导向式教学可以使得教学富有生活化气息，学生能被激发兴趣，主动探究数学问题.
(3)问题导向式教学还能够正确建立学生合作氛围，激励学生相互探究，参研逻辑，整理思路，取得合作能力、沟通能力、表达能力的同步提升.
为了突破难点，本课时采用了合作探究的学习方式．
(1)首先，通过合作互助，学生能及时发现解题过程中的困难并予以克服，突破学习的难点．
(2)其次，在合作探究的过程中，学生能及时交流解题思路并在Geogebra 软件的支持下进行充分探索，有利于发展学生的创新思维．
六、教学过程
在本节课之前，对班级学生进行前测，以评估他们的学习情况．前测如下：近几年，芜湖市机动车保有量急剧增长，为了研究芜湖市机动车保有量的发展情况，小明调查了三年的机动车保有量数据：
x123
y
39 45 54
若机动车保有量y 是年份x 的二次函数，请解答下面的问题：
(1)到第4 年，芜湖市机动车保有量将达到多少万辆？
(2)芜湖市机动车保有量将在哪一年超100 万辆？
【】前测的条件清楚准确，原始问题数学化的过程比较简单，学生只需要利用待定系数法确定函数模型即可解决相关问题．但在题后反思中，大部分同学可能无法作出清晰的评价或仅能作出如“挺实用的”等简单评价．由此可以看出，学生的基本知识和基本技能掌握得较好，但是应用数学的意识不强，也缺乏对问题进行评价与反思的经验．
基于对学生学情的把握，本节课的教学分四个环节进行．
1.
在引入阶段，师生共同回顾前测并交流题后反思．学生认识到常见的应用问题往往条件有限、数据量少、函数模型唯一确定，与现实生活有一定的差距，引出后续的探究活动．
2.
在学生交流的基础上，展示本节课的问题情境，并引导学生自主探究问题1．
作为一个人口约为2000 万的特大城市，北京市的交通拥堵问题一直比较严重．为了缓解拥堵，2010 年12 月，北京市公布了《关于进一步推进首都交通科学发展加大力度缓解交通拥堵工作的意见》，其中一条重要的措施就是实施小客车(含私人小客车和非私人小客车)限购政策．
2011 年，小客车限购政策正式实施，从2011 到2015 年，小客车限购指标分别为24 万、24 万、24 万、12 万、12 万．在未来几年中，小客车限购指标将减少至每年10 万．通过调控，北京市机动车(包含摩托车，小客车，货车等)增长趋势得到了一定的控制(见下图)，截至2015 年年底，北京市机动车保有量为562 万．市交通委此前发布规划：力争到2025 年将全市机动车保有量控制在730 万辆以内．
根据材料中的信息，请你尝试解决下面的问题．
1请你估计若不实行限购，2015 年底北京市机动车保有量约为多少？
【】阅读材料比前测更贴近实际，包含的数据和信息量较大，材料中的可用信息有待学生自己挖掘，学生需要对信息进行分析、筛选并利用不同的函数模型进行数据拟合和结果预测.
：为了落实教学重点，采用自主探究、展示交流、讨论小结三个学习活动，引导学生逐步掌握建立函数模型解决实际问题的步骤.
(1)
在这个环节中，学生借助Geogebra 软件进行自主探究．多数学生能正确的
选择数据 (2002—2010 年机动车保有量) 并利用不同的函数模型进行拟合， 得 到相应的预测结果如下：
(2) 在自主探究的基础上， 请一名同学从数据提取、函数拟合、结果预测等方面 展示他的研究过程，并鼓励其他同学进行补充．
【】一方面， 这是对问题进行再分析的过程． 学生在阐述方案的同 时， 有意识的分析方案的合理性， 探究能力得到提高； 另一方面， 通过交流， 学 生直观的感受到现实问题结论的多样性．
(3)
为什么会有不同的预测结果？
是不是所有的预测结果都是合理的？
：利用模型 y ＝a · X b 预测的结果(470 万) 比实行限购后的实际数据
(562 万)小，不合常理，利用三次函数进行拟合的预测数据过大(1207 万)， 不符合实际.
函数模型 3 ：y = a . b
预测结果：789 万 函数模型 1： y = aX + b
预测结果 ：607 万 函数模型 2 ：y = aX 3 + bX 2 + CX + d
预测结果：1207
函数模型 4 ：y = a . X b 预测结果：470 万
】问题
有量与年份之间函数关系，从而提供了对结果的不同预测．在对结果合理性的讨论中，学生结合实际对结果进行了评价，学生对问题的认识得到提升，反思的意识得到加强．
3.
在问题1 的基础上，向学生展示问题2．
2请你预测一下按照现行的小客车限购政策，2025 年北京市机动车保有量控制在730 万以内的目标能否达到？
2，学生需要理解机动车、小客车、私人小客车之间的关系，并对数据进行适当的处理，这为本节课的难点．为了突破难点，本阶段学生采用了合作探究的学习方式．
在充分的探究后，学生从数据选取和函数模型两方面交流了他们的方案．方案一：对2002-2014 年机动车保有量数据进行函数拟合；
方案二：对2011-2014 年机动车保有量数据进行函数拟合；
方案三：将2015 年机动车保有量加上每年的小客车限购指标；
方案四：对每年小客车保有量增量与限购指标的比值进行函数拟合；
……
对学生的探究成果教师予以肯定，并引导他们对方案进行评价和改进．在这个过程中，学生对问题的认识逐步深入，也提出了一个相对更合理的方案．
(1)根据相关数据，计算2002 年到2015 年非小客车(不限购部分) 保有量，选择适当的函数模型进行拟合，预测2025 年的非小客车数量；
(2)计算出2015 年小客车(限购部分) 保有量并以此为基础，根据之后每年的小客车限购指标预测2025 年的小客车数量；
(3)将(1)(2)的结果相加，得到最后的预测结果(约720 万)，并得出结论——基本能完成630 万的控制目标．
【 2 的探究，学生获得了将数学知识运用于实际问题的成功体验，本节课的难点得以突破．之后，通过“请你评价一下这个应用问题”这一设问，学生再次经历了题后反思的过程．与前测相比，学生已经能有意识的从问题背景、解题方法、探究结果等方面来评价这个问题，反思的层次得到提升. 4.
师生共同总结建立数学模型解决实际问题的基本步骤：
在此基础上， 教师指出， 由于所学知识的限制， 在问题解决的过程中， 并未 考虑更多的影响因素.并留下拓展作业——上网搜集与芜湖市交通有关的数据， 提出相应的问题，并尝试利用所学的知识解决问题．
七、板书设计
①为什么会有不同的预测结果？ ②是不是所有的预测结果都是合理 的？
多媒体投影区
y = aX + b 607 万 y = aX 3 + bX 2 + CX + d 1207 万 y = a . b 789 万 y = a . X b 470 万
八、设计理念说明
1.在数学建模活动中， 学生是认知活动的主体， 教师是帮助者、促进者、引 导者． 在建模的教学中， 方案的探索、实施、调整和反思应尽量由学生自主或合 作探究完成， 同时在评价学习效果时， 无需过多的强调结果的正确性， 应主要考 查学生使用的数学方法是否得当， 求解过程是否合乎常理， 建模的结果是否有一 定的实际意义．
2.数学建模本质上是一个问题解决的过程， 因此问题的设置是教学中关键的 一环．数学建模的问题应来自于学生熟悉的日常生活、现实世界等多方面． 同时， 解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系． 由于课堂教 学面对的是全体学生，因此问题的设计应该有梯度，以使所有学生都能有所收
获．本节课中，“前测——问题1——问题2——拓展作业”难度逐渐加大，不同发展水平的学生都可以在适当的层次上获得数学建模的经验．
3. 《普通高中数学课程标准(2017 年版)》指出，“教师应整体设计、分步实施数学建模活动与数学探究活动，引导学生从类比、模仿到自主创新，从局部实施到整体构想，……”．考虑到高一学生数学建模的经验不足，在本节课中，“发现和提出问题”这个环节主要由教师课前完成，在呈现问题情境时，也剔除了一些复杂的现实因素．随着学生数学知识的扩充，数学能力的发展，我们还可以开展以数学应用和数学建模为主题的课外活动，让学生进一步经历数学建模的全过程．
4. 由于数学建模的问题的来源更生活化，可用信息和数据量很大，因此，在问题解决的过程中，信息技术(如Geogebra 等)的使用是必要的．利用Geogebra ，学生能从多角度、多层次研究问题，为发展他们的创新思维提供了支持．史宁中教授指出：“抽象、推理、模型”是高中阶段的数学核心素养中最重要的三个要素”，数学建模的教学应当贯穿高中数学教育教学的全过程．作为学科教学的硕士，我们应当积极研究教学内容，在未来的课堂教学中为学生提供适于数学建模的素材和课题，让学生积累发现和提出问题，分析和解决问题的经验，促进学生核心素养的发展．。