初中数学总复习(第六章 圆)

第六章 圆
第一节 圆的基本性质
一、圆的有关概念 1、圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O 叫圆心，线段OA 叫半径。

由圆的意义可知： 圆上各点到定点（圆心O ）的距离等于半径，到定点的距离等于定长的点都在圆上。

2、 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如AC,
3、直径：经过______的弦叫直径,如__________,直径是最长的弦
4、弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。

大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。

如优弧 ，劣弧
5、等圆：能够重合的两个圆叫等圆。

6、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

7、同心圆： 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。

8、圆心角：顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。

9、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

一、垂径定理及其推论
1、垂径定理： _____________________________________________________
2、推理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。

延伸： ① 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

① 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。

3、 垂径定理的简单应用
如图，圆的半径为r,a 是弦长。

d 是弦心距，半径OD 与弦AB 垂直。

RtΔAOE 中， 满足 2
22)21(d a r +=，利用勾股定理可以对半径、
弦长、弦心距“知二求一”
三、弧、弦、、圆心角、之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

推理：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对两个圆心角相等，所对的弦相等
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的圆心角___________所对的优弧和劣弧分别_______
（在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也相等） （满分技法:一条弦(除直线外）所对应的弧有优弧、劣弧之分，因此所对的圆周角也有两种情况：
①优弧所对的圆周角是钝角，②劣弧所对的圆周角是锐角。

优弧所对的圆周角与劣弧所对的圆周角互补； 一条弧只对应一个圆心角，却对着无数个圆周角
四、圆周角定理及其推论
定理：_________________________________________, 如①DAB=_____①DOB
推理: 1：________________________________________,
如①DAB=________(同弧 ) , ①DAB=________ (等弧 , )
2:______________________________________,如①ADB=________,90°的圆周角所对的弦是直径。

五、三角形的外接圆
1.、过三点的圆： 定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆的概念： 经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形
外心是三角形三条边的___________的交点
3、性质： 三角形的外心到三角形_________________________
4、角度关系：①BOC=____①A 六、圆的内接四边形 概念：多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形， 这个圆叫这个多边形的外接圆 圆的内接四边形性质定理：圆的内接四边形的对角互补，
并且任何一个外角都等于它的内对角。

七、正多边形与圆
1、中心角α=________(n 为正多边形的边数）
2、r （边心距），R （半径），a （正多边形的长） 三者关系：_________________
第二节 点、直线和圆的位置关系
一、点和圆的位置关系 （r 为半径，d 任一点 到圆心O 的距离） 点在圆外①_____r,如点A
点在圆上①_____r,如点B
点在圆内①_____r,如点C
二、直线和圆的位置关系（若圆的半径为r ， 圆心到直线的距离为d ）， 1、 直线和圆相交⇔d ＜r ；
直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，
这时直线叫圆的割线
2、直线和圆相切⇔d ＝r ；
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。

2、直线和圆相离⇔d ＞r ；
直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。

三、切线的判定与性质
1、切线的性质： ① 圆的切线垂直于经过切点的半径（或直径）
① 圆心到切线的距离等于圆的半径
2、切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3、判定思路： ① 当直线与圆的公共点已知时，连接圆心和公共点证垂直
① 当直线与圆的公共点未知时。

过圆心向直线作垂线段，证圆心到直线的距离等于半径
四、切线长定理
1、 切线长： 经过圆外一点可作圆的两条切线。

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫
这点到圆的切线长。

2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
如图：PA,PB 为①O 的切线，A,B 为切点，那么PA=________,①APO=________
3、解题思路：切线问题中常作的辅助线是连接圆心和切点，构造直角三角形解题
五、三角形的内切圆
1、概念： 三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆是三角形的内切圆
内心：内切圆的圆心叫内心，三角形三个内角的___________的交点
2、性质：三角形的内心到三角形_____________
3、角度关系： ①BOC+90°+
2
1①A
第三节 与圆有关的计算
一、弧长与圆面积的计算（r 为圆的半径，n 为弧所对的圆心角的度数，l 为扇形的弧长） 1、弧长公式 ① 圆周长： C ＝________
① 弧长：l=_________
2、面积公式 ① 圆的面积： 圆S =________
① 扇形面积：______360r 2
==π扇形n S
二、圆锥的相关计算
1、r 为圆锥底面圆的半径。

则底面圆的面积S=πr°，周长C=2πr 。

2、l 既为圆锥母线长，又为圆锥的侧面展开图扇形的________
3、h 为圆锥的高，l 为圆锥的母线，r 为圆锥底面圆的半径，则r 2+h 2=______
4、圆锥底面圆的周长为圆锥侧面展开图扇形的____________,即2πr = _________
三、阴影部分面积
1、规则图形的面积直接用公式计算。

2.不规则图形的面积要将其转化为规则图形面积的和或差，常用方法如下：
① 分割求和法，① 整体作差法，① 构造和查法 ① 等积转化法。