高三数学 立体几何中的有关证明与综合问题教案

立体几何中的有关证明与综合问题
例1． 已知斜三棱柱ABC-A ’B ’C ’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°<α<90°），B ’在底面上的射影D 落在BC 上。

（1）求证：AC ⊥面BB ’C ’C 。

（2）当α为何值时，AB ’⊥BC ’，且使得D 恰为BC 的中点。

讲解：（1）∵ B ’D ⊥面ABC ，AC ⊂面ABC ，
∴ B ’D ⊥AC ，
又AC ⊥BC ，BC ∩B ’D=D ， ∴ AC ⊥面BB ’C ’C 。

（2）由三垂线定理知道：要使AB ’⊥BC ’，需且只需AB ’在面BB ’C ’C 内的射影B ’C
⊥BC ’。

即四边形BB ’C ’C 为菱形。

此时，BC=BB ’。

因为B ’D ⊥面ABC ，所以，BD B '∠就是侧棱B ’B 与底面ABC 所成的角。

由D 恰好落在BC 上，且为BC 的中点，所以，此时BD B '∠=︒60。

即当α=︒60时，AB ’⊥BC ’，且使得D 恰为BC 的中点。

例2． 如图：已知四棱锥ABCD P -中，底面四边形为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 中点。

（1）求证：平面EDB ⊥平面PBC ； （2）求二面角C DE B --的平面角的正切值。

讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一
A
C
C'
条垂线。

首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC 为正三角形，所以，PC DE ⊥，
那么我们自然想到：是否有PBC DE 面⊥？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。

∵ 面PDC ⊥底面ABCD ，交线为DC ，
∴ DE 在平面ABCD 内的射影就是DC 。

在正方形ABCD 中，DC ⊥CB ， ∴ DE ⊥CB 。

又C BC PC =⋂，PBC BC PC 面⊂,， ∴ DE ⊥PBC 面。

又⊂DE 面EDB ， ∴ 平面EDB ⊥平面PBC 。

（2）由（1）的证明可知：DE ⊥PBC 面。

所以，BEC ∠就是二面角C DE B --的平
面角。

∵ 面PDC ⊥底面ABCD ，交线为DC ，
又平面ABCD 内的直线CB ⊥ DC 。

∴ CB ⊥面PDC 。

又⊂PC 面PDC ，
∴ CB ⊥PC 。

在Rt ECB ∆中，2tan ==
∠CE
BC
BEC 。

点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。

例3．如图：在四棱锥ABCD S -中，SA ⊥平
面ABCD ，∠2
π
=
∠=ADC BAD ，a AD AB 2==，a CD =，E 为SB 的中点。

（1）求证：//CE 平面SAD ；
（2）当点E 到平面SCD 的距离为多少时，平面SBC 与平面SAD 所成的二面角为
︒45？
讲解：题目中涉及到平面SBC 与平面SAD 所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。

另一方面，要证//CE 平面SAD ，应该设法证明CE 平行于面SAD 内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。

（1）延长BC 、AD 交于点F 。

在FAB ∆中，∠2
π
=
∠=ADC BAD ，
所以，AB 、CD 都与AF 垂直，所以，CD//AB ，所以，CDF ∆∽BAF ∆。

又a AB 2=，
a CD =，所以，点D 、C 分别为线段AF 、BF
的中点。

又因为E 为SB 的中点，所以，EC 为
SBC ∆的中位线，所以，EC//SF 。

又SAD EC 面⊄，SAD SF 面⊂，所以，//CE 平面SAD 。

（2）因为：SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以，AB ⊥SA 。

又AB ⊥AF ，
A SA AF =⋂，所以，A
B ⊥面SAF 。

过A 作AH ⊥SF 于H ，连BH ，则BH ⊥SF ，所以，BHA ∠就是平面SBC 与平面SAD 所
成的二面角的平面角。

在Rt BHA ∆中，要使BHA ∠=︒45，需且只需AH=AB=a 2。

此时，在∆SAF 中，()a
a a SA AF
AH
SF SA 4242
2⋅+=
⋅=，所以，a SA 33
4=。

在三棱锥S-ACD 中，设点A 到面SCD 的距离为h ，则
h=a AD SA SA AD SD SA AD CD SD SA
DC
AD S SA S SCD ACD 4
142
22
2=
+⋅=
⋅=⋅⋅⋅=⋅∆∆ 因为AB//DC ，所以，AB//面SCD 。

所以，点A 、B 到面SCD 的距离相等。

又因为E 为SB
中点，所以，点E 到平面SCD 的距离就等于点B 到面SCD 距离的一半，即8
142=h 。

点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。

例4．如图，已知⊥PA 面ABC ，BC AD ⊥于D ，
1===AD CD BC 。

（1）令x PD =，θ=∠BPC ，试把θtan 表示为x 的函数，并求其最大值；
（2）在直线PA 上是否存在一点Q ，使得
BAC BQC ∠>∠？
讲解 （1）为寻求θtan 与x 的关系，首先可以将θ转化为PBD PCD ∠-∠。

∵⊥PA 面ABC ，BC AD ⊥于D ， ∴BD PD ⊥。

∴2
tan ,tan x
BD PD PBD x DC PD PCD ==∠==
∠。

∴θtan ()22
12tan 2+=⋅
+-
=
∠-∠=x x x x x x PBD PCD 。

∵AD 为PD 在面ABD 上的射影。

∴1=>AD PD ，即1>x 。

∴θtan 4
22
21212
2
=
≤
+
=+=
x
x x x。

即θtan 的最大值为
4
2
，等号当且仅当2=x 时取得。

（2）由正切函数的单调性可知：点Q 的存在性等价于：是否存在点Q 使得
tan BAC BQC ∠>∠tan 。

()3
1tan tan =
∠-∠=∠ABD ACD BAC 。

令θtan 22+=
x x 3
1
>
，解得：21<<x ，与1>x 交集非空。

∴ 满足条件的点Q 存在。

点评 本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。

例5．如图所示：正四棱锥
ABCD P -中，侧棱PA 与底面ABCD
所成角的正切值为
2
6。

（1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小；
（2）若E 是PB 中点，求异面直线
PD 与AE 所成角的正切值；
（3）在侧面PAD 上寻找一点F ，使得EF ⊥侧面PBC 。

试确定点F 的位置，并加以证明。

讲解： （1）连BD AC ,交于点O ，连PO ，则PO ⊥面ABCD ， ∴∠PAO 就是PA 与底面ABCD 所成的角，
B
∴ tan ∠PAO=
2
6。

设AB=1，则PO=AO •tan ∠PAO =
2
3。

设F 为AD 中点，连FO 、PO ，则OF ⊥AD ，所以，PF ⊥AD ，所以，PFO ∠就是侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的平面角。

在Rt PFO ∆中，3tan ==∠FO
PO
PFO ， ∴3
π
=
∠PFO 。

即面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小为
3
π （2）由（1）的作法可知：O 为BD 中点，又因为E 为PD 中点，所以，EO =//PD 2
1。

∴EOD ∠就是异面直线PD 与AE 所成的角。

在Rt PDO ∆中，2
522=
+=
PO OD PD 。

∴4
5=
EO 。

由BD AO ⊥，PO AO ⊥可知：⊥AO 面PBD 。

所以，EO AO ⊥。

在
Rt
AOE ∆中，
5
10
2tan ==
∠EO AO AEO 。

∴ 异面直线PD 与AE 所成的角为5
10
2arctan。

（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面PBC 的一条垂线，然后再平移到点E 即可。

为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：PBC PFO 面面⊥。

延长FO 交BC 于点G ，连接PG 。

设H 为PG 中点，连接GH EH ,。

∵ 四棱锥ABCD P -为正四棱锥且F 为AD 中点，所以，G 为BC 中点， ∴PG BC ⊥，FG BC ⊥。

∴PFG BC 面⊥。

∴ 面PBC ⊥PFG 面。

∵PG PF =，3
π
=
∠PFO ，∴PFG ∆为正三角形。

∴PG FH ⊥，∴PBC FH 面⊥。

取AF 中点为K ，连EK ，则由FK HE //及FK HE =得四边形HEKF 为平行四边形，所以，FH KE //。

∴PBC KE 面⊥。

点评 开放性问题中，“退一步去想”（先只满足部分条件）、“将命题加强”往往是找到解题的突破口的方法。

1．（2000年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且
CB C 1∠=BCD ∠= 60。

（I ）证明：C C 1⊥BD ； （II ）假定CD=2，C C 1=
2
3
，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值； （III ）当
1
CC CD
的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明。

[答案与提示：（Ⅰ）略；（Ⅱ）
33；（Ⅲ）1
CC CD
=1。

2．（2002年全国高考）如图：正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。

C
D
点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a (
)
20<<a .
（Ⅰ）求MN 的长；
（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；
（Ⅲ）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小。

[答案与提示：（Ⅰ）21222
+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=a MN ()
20<<a ；（Ⅱ）22=a 时，MN 的长最小，为
22；（Ⅲ）⎪⎭
⎫
⎝⎛-31arccos ] 3．（2002年高考）如图：在多面体1111D C B A ABCD -中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E 、F 两点，上下底面矩形的长、宽分别为d c 、与b a 、，且d b c a >>,，两底面间的距离为h 。

（1）求侧面11A ABB 与底面ABCD 所成二面角的大小；
（2）证明：ABCD EF 面//
（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式h S V ⋅=中截面估来计算。

已知它的体积公式是()下底面中截面上底面S S S h
V ++=
46。

试判断估V 与V 的大小关系，并加以证明。

（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面） 答案与提示：（1）d
b h
-2arctan ；（3）V V <估。

4.(1997年全国高考)如图,在正方体
1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是CD BB ,1的中
A 1
D C 1
a
点.
Ⅰ.证明AD ⊥F D 1; Ⅱ.求AE 与F D 1所成的角; Ⅲ.证明面AED ⊥面11FD A ;
Ⅳ.设1AA ＝2,求三棱锥11ED A F -的体积11ED A F V -
[答案与提示： （2）90º； （4）11ED A F V -=1]。