人教课标版高中数学选修4-5基础知识：柯西不等式

柯西不等式
【基础知识】
1、什么是柯西不等式：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则
22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。

几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=•βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，所以柯西不等式的几何意义就||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则： 231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：211212)(∑∑∑===≥n
i i i n i i n i i
b a b a ，其中等号当且仅当n
n a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

柯西不等式有两个很好的变式：
变式1 设),,,2,1(0,n i bi R a i =>∈∑∑∑≥=i i n
i i i b a b a 212)( ，等号成立当且仅当 )1(n i a b i i ≤≤=λ
变式2 设a i ，b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ），则：∑∑∑≥=i i i n
i i i b a a b a 21)(，等号成立当且仅当n b b b === 21。