2021学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法习题新人教A版选修2_2

第一章 2.2 反证法
A 级 根底稳固
一、选择题
1．设a 、b 、c ∈(－∞，0)，那么a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a
( C )
A ．都不大于－2
B ．都不小于－2
C ．至少有一个不大于－2
D ．至少有一个不小于－2
[解析] 假设都大于－2，那么a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1
a
>－6，
但(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )
＝(a ＋1a
)＋(b ＋1b
)＋(c ＋1
c
)≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．
2．(2021·湖北期中)a ，b ，c ∈(0，＋∞)，那么以下三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16
a
( D )
A ．都大于6
B ．至少有一个不大于6
C ．都小于6
D ．至少有一个不小于6
[解析] 设a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16
a
都小于6，
那么a ＋4b ＋b ＋9c
＋c ＋16
a
＜18，
利用根本不等式可得a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16
a
≥2
a ·16
a
＋2
b ·4
b
＋2c ·9
c
＝8＋4＋
6＝18，
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
故以下三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16
a
至少有一个不小于6，
应选D ．
3．(2021·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．〞乙说：“甲、丙都未获奖．〞丙说：“我获奖了．〞丁说：“是乙获奖．〞四位歌手的话只有两名是对的，那么获奖的歌手是( C )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
[解析] 假设甲获奖，那么甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
4．(2021·济南高二检测)设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，那么a 、b 、c 中至少有一个数不小于( B )
A ．0
B ．13
C ．12
D ．1
[解析] 三个数a 、b 、c 的和为1，其平均数为13，故三个数中至少有一个大于或等于1
3．假
设a 、b 、c 都小于1
3
，那么a ＋b ＋c <1，与矛盾．
5．设a 、b 、c ∈R ＋
，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，那么“PQR >0”是P 、Q 、
R 同时大于零的( C )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
[解析] 假设P >0，Q >0，R >0，那么必有PQR >0；反之，假设PQR >0，也必有P >0，Q >0，
R >0．因为当PQR >0时，假设P 、Q 、R 不同时大于零，那么P 、Q 、R 中必有两个负数，一个
正数，不妨设P <0，Q <0，R >0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，两式相加得b <0，这与b ∈R ＋
矛盾，因此必有P >0，Q >0，R >0．
6．假设m 、n ∈N *
，那么“a >b 〞是“a m ＋n
＋b
m ＋n
>a n b m ＋a m b n
〞的( D )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] a
m ＋n
＋b
m ＋n
－a n b m
－a m b n
＝a n
(a m
－b m
)＋b n
(b m
－a m
)＝(a m
－b m
)(a n
－b n
)>0⇔
⎩⎪⎨⎪
⎧
a m
>b m
a n >b
n 或⎩⎪⎨⎪
⎧
a m <
b m
a n <b
n
，不难看出a >b ⇒/ a m ＋n
＋b
m ＋n
>a m b n ＋a n b m ，a
m ＋n
＋b
m ＋n
>a m b n
＋b m a n
⇒/ a >b ．
二、填空题
7．(2021·思明区校级期中)用反证法证明某命题时，对于“a 1＋a 2＋a 3＋a 4＞100，求证：
a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25”．正确的反设为a 1，a 2，a 3，a 4都不大于25．
[解析] 根据反证法的步骤，那么应先假设a 1，a 2，a 3，a 4都不大于25． 故答案为a 1，a 2，a 3，a 4都不大于25． 8．完成反证法证题的全过程．
题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7
－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，那么a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．
因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋...＋a7)－(1＋2＋ (7)
＝0．
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
[解析] 假设p为奇数，那么a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0．
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
三、解答题
9．(2021·吉林高二检测)a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
[解析] 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1，
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，
这与ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数．
10．(2021·深圳高二检测)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．
求证：f(x)＝0无整数根．
[解析] 假设f(x)＝0有整数根n，
那么an2＋bn＋c＝0，
由f(0)为奇数，即c为奇数，
f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，
又an2＋bn＝－c为奇数，
所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，
所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数，
所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．
所以f(x)＝0无整数根．
B级素养提升
一、选择题
1．a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( C ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线
D ．不可能是相交直线
[解析] 假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线．故应选C ．
2．(2021·龙岩期中)“函数f (x )＝x 2
＋ax ＋a (a ∈R )，求证：|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不小于1
2
．〞用反证法证明这个命题时，以下假设正确的选项是( B )
A ．假设|f (1)|≥12且|f (2)|≥1
2
B ．假设|f (x )|<12且|f (2)|<1
2
C ．假设|f (1)|与|f (2)|中至多有一个不小于1
2
D ．假设|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不大于1
2
[解析] 由于反证法是命题的否认的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否认成立进展推证．
假设|f (1)|＜12且|f (2)|＜12，
应选B ． 二、填空题
3．(2021·嘉峪关校级期中)x ，y ∈R 且x ＋y ＞2，那么x ，y 中至少有一个大于1，在反证法证明时假设应为x ≤1且y ≤1．
[解析] ∵x ，y 中至少有一个大于1， ∴其否认为x ，y 均不大于1，即x ≤1且y ≤1， 故答案为x ≤1且y ≤1．
4．(2021·天心区校级模拟)n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1
n －1＝
2(
1n ＋2＋1n ＋4＋…＋1
2n
)时，假设已证假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，那么还需要用归纳假设再证( B )
A ．n ＝k ＋1时等式成立
B ．n ＝k ＋2时等式成立
C ．n ＝2k ＋2时等式成立
D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立
[解析] 假设已证假设n ＝k (k ≥2，k 为偶数)时命题为真，因为n 只能取偶数，所以还需要证明n ＝k ＋2成立．
应选B ． 三、解答题
5．如下图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 为BC 边上的高，AM 是BC 边上的中线，求证：点M 不在线段CD 上．
[证明] 假设点M 在线段CD 上，那么BD <BM ＝CM <CD ，且AB 2
＝BD 2
＋
AD 2，AC 2＝AD 2＋CD 2，所以AB 2＝BD 2＋AD 2<BM 2＋AD 2<CD 2＋AD 2＝AC 2，即AB 2<AC 2
，
所以AB <AC ．这与AB >AC 矛盾，故假设错误．所以点M 不在线段CD 上．
6．设f (x )＝x 2
＋bx ＋c ，x ∈[－1,1]，证明：b <－2时，在其定义域范围内至少存在一个x ，使|f (x )|≥1
2
成立．
[证明] 假设不存在x ∈[－1,1]使|f (x )|≥1
2
．
那么对于x ∈[－1,1]上任意x ，都有－12<f (x )<12成立．当b <－2时，其对称轴x ＝－b
2
>1，
f (x )在x ∈[－1,1]上是单调递减函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
f
－1＝1－b ＋c <1
2，
f
1＝1＋b ＋c >－1
2
.
⇒b >－1
2
与b <－2矛盾．
∴假设不成立，因此当b <－2时在其定义域范围内至少存在一个x ，使|f (x )|≥1
2
成立．
C 级 能力拔高
数列{a n }满足：a 1＝12
，
3
1＋a n ＋11－a n ＝21＋a n
1－a n ＋1
，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：
b n ＝a 2n ＋1－a 2
n (n ≥1)．
(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；
(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． [解析] (1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2
n )．
令c n ＝1－a 2
n ，那么c n ＋1＝23
c n ．
又c 1＝1－a 2
1＝34，那么数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23
)n －1，
故1－a 2
n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1．
又a 1＝1
2>0，a n a n ＋1<0，
故a n ＝(－1)
n －1
1－34·23n －1
． b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34
·(23
)n ]－[1－34
·(23
)
n －1]＝14
·(23
)n －1
． (2)用反证法证明．
假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为2
3
的等比数列，于是有b r >b s >b t ，那么只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1
，
两边同乘以3
t －121－r
，化简得3
t －r
＋2
t －r
＝2·2
s －r 3t －s
．
由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。