GIS中基于Voronoi图的公共设施选址研究_张龙

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侧向邻近特性
在实际地理空间中，两个侧向相邻的空间实 体 % " 和 % & 不
（ !）
一定相连， 如高速公路旁的一栋房屋与高速公路相邻， 但它们 在几何上并不相连。当 % " 和 % & 之间不存在任何其它实体（ 即直 接相邻） 时， 它 们 的 &’(’)’* 多 边 形 必 有 一 条 公 共 的 边 ， 因此只 要根据 % " 和 % & 是否具有公共的 &’(’)’* 边， 即可判断两者之间 是否侧向相邻。而且，除了公共边之外， &’(’)’* 图 中 的 诸 且构成对整个二维空间的完全划分。 &’(’)’* 多边形互不重合， 上述定 义 的 &’(’)’* 图 是 最 近 点 意 义 下 的 &’(’)’* 图 。 还 有一种另外定义的 &’(’)’* 结点和 &’(’)’* 图：以这些 &’(’)’* 结点为圆心， 作 过 点 集 $’-% ,， …， 中三个点的 % !， % (. （ + !( /0） 圆， 该圆正好包含中其它全部点， 这 种 &’(’)’* 结 点 称 为 最 远 点意义下的 &’(’)’* 结 点 ； 这 种 最 远 点 意 义 下 的 &’(’)’* 结 点 及相应的无限凸多边形组成最远点意义下的 &’(’)’* 图 1!2。
公共设施的选址或布局是城市规划与管理、 国家及区域持 续协调发展的一项重要工作，也是 <=3 中的一项关键技术， 其 主要任务是： 根据用户或服务对象的需求和具体设施布局的要 求， 在一定的地域空间（ 区域或城市） 中确定公共设施的空间布 局与服务范围。一般说来， 可根据公共设施的用途分为急救设 施和非急救设施， 前者应在一定的响应时间内满足和提供一定 标准和规格的服务， 如急救中心、 消防队； 后者指邮局、 图书馆、
;.,’: 6%’:< ;.%0 =,(>,’? & （ 0FJK2(*8 L*+M3)4+N7 (E <G+3*G3 J*C 13G2*(6(87 ， OF2J* #?""H#） ! （ P3+Q+*8 ;*4N+NFN3 (E <74N3R S*8+*33)+*8 ， P3+Q+*8 &""&"&）
这样除最外层的点形成开放的区域外其余每个点都形成凸多边形如图voronoi图及其空圆特性示意图voronoi图可以理解为对空间的一种分割方式一个voronoi多边形内的任意一点到本voronoi多边形中心点的距离都小于到其它voronoi多边形中心点的距离也可以理解为对空间的一种内插方式空间中的任意一个未知点的值都可以由距离它最近的已知点即采样点的值来代替
’()(*(+ 多边形的中心点其实就是包含于该多边形内的离散点。
? ’()(*(+ 图的性质 ! ’()(*(+ 图的定义
假 设 !"=# &， …， 是欧 ’()(*(+ 图 的 定 义 是 ： # !， # $> （ ? !$ @A） 几里德平面上的一个离散点集， 并且这些点不共线， 四点不共 表示点 # &， 圆， 用 %（ # &， # ’） # ’ 的欧几里德距离。设 ( 为 点 集 ! 上 的点， 则区域 ) （ ， …， "=("*!B% （ (， # &） !C （ (， # ’） ’"& ， !， $， ’ #&> 称 &） 为 ’()(*(+ 多 边 形 ， 各 点 的 ’()(*(+ 多 边 形 共 同 组 成 ’()(*(+ 图 。 平 面 上 的 ’()(*(+ 图 可 以 看 作 是 离 散 点 集 D 中 的 每 个 点 （ 也称生长点） 的生长核， 以相同的速度向外扩张， 直到彼此相 遇为止而在平面上形成的图形。这样， 除最外层的点形成开放
’()(*(+ 图进行了广泛而深入的研究。’()(*(+ 图最早由俄国数 学家 ,$-$’()(*(+ 在 &%". 年提出，并将其扩展至高维空间； 荷
兰气象学家泰森（ /$0$12+3443* ） &%&& 年 采 用 ’()(*(+ 划 分 每 一 气象观测站的最近区域，以改进大范围平均降水量的预测能 力。为 了 纪 念 这 些 科 学 家 ， 后 人 将 之 称 为 ’()(*(+ 图 或 泰 森 多
!"# 中基于 $%&%’%( 图的公共设施选址研究
张
& !
龙&
周海燕 !
（ 华中科技大学， 武汉 #?""H#）
（ 北京系统工程研究所， 北京 &""&"& ）
摘
要
首先介绍了 ’()(*(+ 图的定义和其与 -;< 中公共设施选址有关的几个性质， 然后提出了公共设施选址中满足最
并给出了实验结果。 小覆盖圆原则的一种基于 ’()(*(+ 图的设施选址优化算法， 关键词
这样，就把上述的 ) 个急救中心 站 选 址 的 全 局 求 解 转 化 为 ) 个 &’(’)’* 区中的各个中心站的单一选址的求 解 ， 再对 ) 个分区进行调整比较，优选出 ) 个急救 中 心 站 选 址 的 全 局 的 解决方案。事实上， 单个 &’(’)’* 区内的急救中心站的求解， 实 质上是寻求覆盖该多边形内所有用户的最小覆盖圆的圆心。 针 对单个设施选址的问题， 3456’7 设 计 了 一 个 复 杂 度 为 0 （ 的算法， 算法具体描述如下 1!2： (B’C( ） （ 计算点集 1’-% ,， …， …， ； ,） % !， % ".， "A, ， !， ( 的凸壳 D8（ 1） 计算 D8 （ 的直径， 设为 % " % & 。以 % " % & 为直径作圆 D ， 如 （ !） 1） 则圆 D 为所求最小圆， 否则， 转步骤（ ； 果 1 点都在圆 D 内， +） （ 计算点集 1 的最远点意义下的 &’(’)’* 图， 即 / 23(>,（ ； +） 1） （ 设 4 是 / 23(>, （ 中 的 一 个 &’(’)’* 顶 点 ， 以 4 为圆心， #） 1） 以 4 至点集 1 中最远点的距离为半径作圆， 该圆即为所求最小 覆盖圆， 其对应的圆心即为急救中心站的最佳位置。 因此， 为了求得满足 6*)65? 准则的 ) 个急救中心 站 的 最 佳位置， 可根据 3456’7 算法， 进行以下迭代过程： 步骤 , 在所有用户凸包内给定 ) 个 急 救 中 心 站 的 初 始 位 置， 生成各急救 中 心 站 的 &’(’)’* 多 边 形 ， 并 计 算 &’(’)’* 多 边 形内的用户到相应急救中心站的距离总和 E ； 步 骤 ! 对 每 个 急 救 站 对 应 的 &’(’)’* 多 边 形 内 的 所 有 用 户使用 3456’7 算法获得其最小覆盖圆（ 主要为圆心和半径） ； 步骤 + 将各急救站移至相应的最小覆盖圆的圆心处； 步 骤 # 重 新 生 成 各 急 救 中 心 站 的 &’(’)’* 多 边 形 ， 并计算
#
矢量 &’(’)’* 图的生成算法
矢量 &’(’)’* 图的生成方法有多种， 常见的有基于半平面的
交的算法、 增量构造算法、 分治算法、 减量算法和平面扫瞄算法 等 1!2。该文采用 3456’7 和 8’9: 提出的分治算法来构建 &’(’)’* 图， 具体算法参见文献 1!2。
; 基于 &’(’)’* 图的公共设施选址 ;$, 公共设施选址的优化问题概述
’()(*(+ 图
公共设施选址
最小覆盖圆
最小 I最大问题 中图分类号 1D!".
文章编号 &""!I.??&I（ !""# ） "%I"!!?I"!
文献标识码 /
)*+*,&-. %’ /012(- 3+4,12(+.5*’4 6%-,4(%’ #*2*-4(%’ 7,+*8 %’ 4.* $%&%’%( 9(,:&,5 (’ !"#
’()(*(+ 图的具有许多有趣而惊人的数学特性，为研究解
决地学、 计算机科学和数学等领域中的一些问题提供了有力的 工具。该文介绍 ’()(*(+ 图与 -;< 中公共设施选址问题有关的 几个性质（ +*E6F3*G3 )38+(* ）
每一个空间生长点唯一地对应一个 ’()(*(+ 多边形。对一
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空圆特性
每 个 &’(’)’* 结 点 恰 好 是 三 条 &’(’)’* 边 的 交 点 。 若 过
且使 #" 过结点 ! " 所在的 &’(’)’* 图中的任意结点 ! " 作一圆 #"， 三条 &’(’)’* 边所对应的三个离散点， 则 #" 内不包含点集 $ 中 的任何其它离散点（ 如图 , 所示） 。
@1+4&,-4： ;* N2+4 5J53)， E+)4N67 ， N23 C3E+*+N+(* (E ’()(*(+ T+J8)JR J*C +N4 43M3)J6 G2J)JGN3)4 )36JN3C N( 5FU6+G 34NJU6+42R3*N 6(GJN+(* 4363GN+(* +* -;< J)3 +*N)(CFG3C$/*C N23*， J* (5N+R+K3C J68()+N2R (E 5FU6+G 34NJU6+42R3*N 6(GJN+(* 4363GN+(* UJ43C (* N23 ’()(*(+ T+J8)JR N2JN R33N4 N23 5)+*G+563 (E N23 R+*+RFR G(M3)3C G+)G63 +4 5FN E()VJ)C$WJ4N67， N23 3X53)+R3*NJN+(* )34F6N (E N2+4 J68()+N2R +4 8+M3*$ A*>B%&8+： ’()(*(+ T+J8)JR， DFU6+G S4NJU6+42R3*N W(GJN+(* <363GN+(*， N23 ,+*+RFR Y(M3)3C Y+)G63 ， N23 ,+*RJX D)(U63R
9&: 。 边形（ 12+3443* 5(678(* ）
图&
’()(*(+ 图及其空圆特性示意图
近 年 来 ， 专 家 们 对 ’()(*(+ 图 的 概 念 有 了 新 的 延 伸 ，
’()(*(+ 图理论成功地解决了计算机图形学中找最近点，求最 短路径， 求 * 个点的凸包， 求最小树等问题， 因此， ’()(*(+ 图在 、 生态研究、 城市规划以及优化配置等许多 地理信息系统（ -;< ）
领域有着广泛的应用。 该文着重研究了在 -;< 中应用该理论进 行公共设施选址的问题及其相关算法。
一个 ’()(*(+ 图 可 以 理 解 为 对 空 间 的 一 种 分 割 方 式 （ ’()(*(+ 多 边 形 内 的 任 意 一 点 到 本 ’()(*(+ 多 边 形 中 心 点 的 距 离 都 小 于 到 其 它 ’()(*(+ 多 边 形 中 心 点 的 距 离 ） ，也可以理解 为对空间的一种内插方式（ 空间中的任意一个未知点的值都可 以由距离它最近的已知点，即采样点的值来代替） 。这里的
&
引言
’()(*(+ 图 是 计 算 几 何 中 一 个 被 广 泛 研 究 的 问 题 。 由 于
。 的区域外， 其余每个点都形成凸多边形（ 如图 & 所示）
并具有惊人的数学特性， ’()(*(+ 图与一些自然结构十分相象， 因此 ， 它是解决相关几何问题强有力的工具， 在气象、 地质、 测 绘、考古、分子化学、生态学和计算机科学等领域中都对
个空 间 点 来 说 ， 凡 落 在 其 ’()(*(+ 多 边 形 内 的 空 间 点 均 距 其 最 近。 因 此 ， 该 ’()(*(+ 多 边 形 在 一 定 程 度 上 反 映 了 其 空 间 影 响 范 围 9&:。 若 这 个 空 间 生 长 点 被 删 除 的 话 ， 则其相应的影响范围 计算机工程与应用
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也会随之消失。对于二维空间中任意一点来 （ &’(’)’* 多边形） 说， 除非其位于公共边上， 否 则 必 然 落 在 一 个 &’(’)’* 多 边 形 之内， 即处在一个生长点的影响范围之中。
最大（ 问题， 其优化模型可以描述如下为 1,2： 6*)65? ） ， …， ， …， 6*)-@5? （ *"&+, （ - "， .& ） & A, ， (" ） "A, ， ). （ ,） 其中， - " 表示第 " 个急救中 心 站 的 位 置 ， (" 表 示 第 " 个 急 救 中心站的用户数， .& 表示第 & 个用户， *"& 是 .& 处的权重， ,（ - "， .& ） 是 .& 到 - " 的欧几里德距离。 由于急救中心站总是根据“ 就近” 原则服务于用户， 因此， 可以考 虑 将 - " 的 &’(’)’* 多 边 形 选 择 作 为 其 服 务 范 围 ， 即在每 一 个 - " 的 &’(’)’* 多 边 形 内 求 解 满 足 上 述 准 则 的 中 心 站 的 最 佳位置， 于是， 式（ 变为： ,） ・ ） ， …， 6*)-@5? （ *"& ,（ - "， .& ） "A, ， ).