2014年11月山东青岛二中高二期中考试数学(理)试卷含答案

青岛二中高二年级期中考试数学试题
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线2
x y =的准线方程是（ ） A ．014=+x
B ．014=+y
C ．012=+x
D ．012=+y
2．已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是（ ） A ．1x ∀>，210x -> B ．1≤∀x ，210x -≤ C ．1>∀x ，210x -≤ D ．1x ∃≤，210x -≤
3．右图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间
20[，)30内的概率为（ ）
A ．2.0
B ．4.0
C ．5.0
D ．6.0
4．已知命题p ：若y x >，则y x -<-；命题q ：若y x <，则2
2
y x >． 在命题：①q p ∧；②q p ∨；③)(q p ⌝∧；④q p ∨⌝)(中，真命题是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
5．已知抛物线)0(22
>=p px y 的准线与圆0542
2
=--+x y x 相切，则p 的值为（ ） A ．10 B ．6 C ．4 D ．2 6．“21≠≠b a 或”是“3≠+b a ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．若双曲线0122
=--y tx 的一条渐近线与直线012=++y x 垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
1 2 3 8 9
0 2 3 7 9 0 1 3
A ．5
B ．
2
5 C ．
2
3 D ．3
8．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样
C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 9．已知x 与y 之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b y
ˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据1(，)0和2(，)2求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）
A ．a a b b
'>'>ˆˆ， B ．a a b b '<'>ˆˆ， C ．a a b b '>'<ˆˆ， D ．a a b b '<'<ˆˆ， 10．已知点P 是椭圆)00(18
162
2≠≠=+y x y x ，上的动点，21F F 、为椭圆的左、右焦点，O 是
坐标原点，若M 是12F PF ∠平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r ，则OM u u u u r
的取值范围是（ ）
A ．0(，)3
B ．0(，)22
C ．22(，)3
D ．0(，)4
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．
11．圆022
2
=-+x y x 与圆042
2
=++y y x 的公切线有_________条．
12．已知实数0[∈x ，]8，随机输入x ，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为__________．
13．若命题p 的逆命题是q ，命题r 是命题q 的否命题，则p 是r 的________命题．
14．过抛物线2
4y x =焦点的直线l 的倾斜角为3
π
，且l 与抛物线相交于A B 、两点，O 为原
点，那么AOB ∆的面积为 ．
15．设椭圆122
22=+b y a x 与双曲线22221(0)x y a b a b
-=>>其中的离心率分别为1e ，2e ，有下
列结论：①121<e e ；②22
22
1=+e e ；③121>e e ；④121=e e ；⑤221<+e e ． 其中正确的是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知：0>a ，02082
>--x x p ：，0122
2
>-+-a x x q ：，且
p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．
17．(本小题满分12分) 袋中有大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三
次．
（Ⅰ）写出所有基本事件；
（Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率； （Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率．
18．(本小题满分12分) 某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n 份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在50[，)60的学生人数为6． （Ⅰ）求直方图中x 的值；
（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；
（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩
70≥”的概率．
19．(本小题满分12分)已知点2(-P ，)3-，圆C ：
9)2()4(22=-+-y x ，过P 点作圆C 的两条切线，切点分
别为A 、B ．
（Ⅰ）求过P 、A 、C 三点的圆的方程； （Ⅱ）求直线AB 的方程．
20．(本小题满分13分) 已知抛物线2
:4C y x =与直线
24y x =-交于A ，B 两点．
（Ⅰ）求弦AB 的长度；
（Ⅱ）若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求
x
点P 的坐标．
21．(本小题满分14分) 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于1
2
，它的一
个顶点恰好是抛物线2x =的焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点P 2(，)3， Q 2(，)3-在椭圆上，A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点． ①若直线AB 的斜率为
1
2
，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当A 、B 运动时，满足于BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 附加题：本题满分10分．
已知21A A 、是平面内两个定点，且()02||21>=c c A A ，若动点M 与21A A 、连线的斜率之积等于常数)0(≠m m ，求点M 的轨迹方程，并讨论轨迹形状与m 值的关系．
青岛二中2014—2015学年第一学段模块考试
高二数学（理科）参考答案
一、选择题：
三、解答题：
17．3．（I ）（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白）；（Ⅱ）4
3；（Ⅲ）
8
7． 【解析】
试题解析：（I ）所有基本事件：（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白）共8种．
（Ⅱ）记“三次摸到的球恰有两次颜色相同”为事件A ：则Ａ所包含的基本事件为（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），共６种，所以P(A)＝
4
386=； （Ⅲ）记“三次摸到的球至少有1个白球”为事件Ｂ：则Ｂ所包含的基本事件为（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白），共７种，所以P(Ｂ)＝8
7
． 考点：列举法计算基本事件及事件发生的概率． 18．（1）；（2）；（3）；
19. 【答案】（1）()4612112
2
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++-y x ；（2）02556=-+y x
【解析】试题分析：(Ⅰ)设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),
由2244y x y x
=-⎧⎨=⎩得x 2-5x+4=0,Δ>0． 法一：又由韦达定理有x 1+x 2=5,x 1x 2=4,
∴21212|x x +- 2
2
121212()45251635,x x x x ++-=-= 法二：解方程得：x=1或4，∴A 、B 两点的坐标为（1,-2)、（4,4） ∴22(41)(42)35,-++=
(Ⅱ)设点2(,)4
o o y P y ,设点P 到AB 的距离为d,则
2
42
5
o o y y d --=
,∴S △PAB =
2
1
·53·2
42
5
o o y y --=12，
∴2482o o y y --=． ∴2
482
o o y y --=±，解得6o y =或4o y =- ∴P 点为（9，6）或（4，-4）． 考点：直线与椭圆的位置关系
点评：直线与圆锥曲线相交，联立方程利用韦达定理是常用的思路21．（Ⅰ）22
11612
x y +=;（Ⅱ）
①max 123S =；②2
1． 【解析】
试题分析：
（Ⅰ）利用椭圆中的相关定义和方程，可知b =2
221,2
c a c b a ==+，即可求出求解a ，b ，进而求得标准方程．（Ⅱ）设直线方程，将直线方程和椭圆方程联立，通过消元，转化为一元二次方程去解决．①设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=
2
1
，
代入2211612
x y +=，得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t ，由韦达定理得
12,22121-=-=+t x x t x x ． 四边形APBQ 的面积221348362
1
t x x S -=-⨯⨯=
，可知当0=t ，max S ．②当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=-，将其与椭圆方程联立整理得
222(34)8(32)4(32)480k x k kx k ++-+--= ，可得2
143)32(82k k
k x +-=
+
同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得22
8(23)
234k k x k
++=
+，2121222161248,3434k k x x x x k k --+=-=++，12121212
()4AB
y y k x x k
k x x x x -+-==--，化简即可求得AB 的斜率为定值．
试题解析：解：(1）设椭圆C 的方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，
则b =．由
2
221,2
c a c b a ==+，得4a = ∴椭圆C 的方程为22
11612
x y +=．
（2）①解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=2
1
， 代入2211612x y +=，
得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t 由韦达定理得12,2
2121-=-=+t x x t x x ．
四边形APBQ 的面积
221348362
1
t x x S -=-⨯⨯=
∴当0=t
，max S =． ②解：当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k
则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=- 由223(2)(1)1(2)1612
y k x x y -=-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩L L L L L。