高中数学人教a版高一必修一_第二章_基本初等函数(ⅰ)_学业分层测评17

学业分层测评（十七） 对数函数的图象
及性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知下列函数：①y ＝log 12
(－x )(x <0)；②y ＝2log 4(x －1)(x >1)；③y ＝ln x (x >0)；④y ＝log (a 2
＋a )
x (x >0，a 是常数)．
其中为对数函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
【解析】 对于①，自变量是－x ，故①不是对数函数；对于②，2log 4(x －1)的系数为2，而不是1，且自变量是x －1，不是x ，故②不是对数函数；对于③，ln x 的系数为1，自变量是x ，故③是对数函数；对于④，底数a 2＋a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋122－14，当a ＝－1
2
时，底数小于0，故④不是对数函数． 【答案】 A
2．(2016·重庆高一检测)函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )
A ．(1,1)
B ．(1,0)
C ．(2,1)
D ．(2,0)
【解析】 ∵函数y ＝log 1
2x 恒过定点(1,0)，而y ＝1＋log 12(x －1)的图象是由y ＝log 12x 的图
象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，∴定点(1,0)也是向右平移一个单位，向上平移一个单位，∴定点(1,0)平移以后即为定点(2,1)，故函数y ＝1＋log 12
(x －1)恒过的定点为(2,1)．故
选C.
【答案】 C
3．(2016·漳州高一检测)函数y ＝1
log 2(x －2)的定义域为( )
A ．(－∞，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(2,3)∪(3，＋∞)
D ．(2,4)∪(4，＋∞)
【解析】 要使原函数有意义，则⎩⎨⎧
x －2>0
log 2(x －2)≠0，解得x ＞2且x ≠3，
所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．故选C. 【答案】 C
4．已知0＜a ＜1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( ) 【导学号：97030107】
【解析】 函数y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，y ＝log a (－x )与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，又0＜a ＜1，根据函数的单调性即可得出．故选D.
【答案】 D
5．函数f (x )＝log a (x ＋2)(0<a <1)的图象必不过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
【解析】 ∵f (x )＝log a (x ＋2)(0＜a ＜1)，∴其图象如下，故选A.
【答案】 A 二、填空题 6．函数f (x )＝
log 12
(3x －2)的定义域是________．
【解析】 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪
⎧
3x －2>0log 1
2
(3x －2)≥0，即⎩⎨⎧
3x －2>0
3x －2≤1，
则0＜3x －2≤1，解得23＜x ≤1，故函数的定义域的⎝ ⎛⎦⎥⎤
23，1.
【答案】 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤
23，1
7．函数y ＝log (2x －1)(x 2－6x ＋8)的定义域为________． 【导学号：97030108】
【解析】
由题意，得⎩⎨⎧
x 2－6x ＋8>0
2x －1>0
2x －1≠1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x <2或x >4x >12
x ≠1，
所以y ＝log (2x －1)(x 2－6x ＋8)的定
义域为x ⎪
⎪⎪
1
2<x <1，或1＜x ＜2，或x >4.
【答案】 x ⎪⎪⎪
1
2<x <1，或1＜x ＜2，或x >4
8．已知函数y ＝log 2
2－x
2＋x
，下列说法： ①关于原点对称；②关于y 轴对称；③过原点．其中正确的是________．
【解析】 由于函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称，又f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 2
2－x
2＋x ＝－f (x )，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x ＝0时，y ＝0，所以③正确．
【答案】 ①③ 三、解答题
9．已知函数f (x )＝log a x ＋1
x －1(a >0，且a ≠1)．
(1)求f (x )的定义域： (2)判断函数的奇偶性．
【解】 (1)要使函数有意义，则有x ＋1
x －1>0，即⎩⎨⎧ x ＋1>0x －1>0或⎩⎨⎧
x ＋1<0x －1<0，解得x >1或x <－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称． (2)f (－x )＝log a
－x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1
x －1
＝－f (x )．
∴f (x )为奇函数．
10．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象．
【解】 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，
∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，
∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧
lg (x ＋1)，x >0
0，x ＝0
－lg (1－x )，x <0，
∴f (x )的大致图象如图所示：
[能力提升]
1．满足“对定义域内任意实数x ，y ，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”的函数可以是( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝2x C ．f (x )＝log 2x
D ．f (x )＝e ln x
【解析】 ∵对数运算律中有log a M ＋log a N ＝log a MN ，∴f (x )＝log 2x ，满足“对定义域内任意实数x ，y ，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”．故选C.
【答案】 C
2．(2016·台州高一检测)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )，若f (x )的图象如图2-2-2所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致为( )
【导学号：97030109】
图2-2-2
【解析】 由二次方程的解法易得(x －a )(x －b )＝0的两根为a 、b ；根据函数零点与方程的根的关系，可得f (x )＝(x －a )(x －b )的零点就是a 、b ，即函数图象与x 轴交点的横坐标；观察f (x )＝(x －a )(x －b )的图象，可得其与x 轴的两个交点分别在区间(－∞，－1)与(0,1)上，又由a ＞b ，可得b ＜－1,0＜a ＜1；在函数g (x )＝a x ＋b 中，由0＜a ＜1可得其是减函数，又由b ＜－1，可得其与y 轴交点的坐标在x 轴的下方；分析选项可得A 符合这两点，B 、C 、D 均不满足，故选A.
【答案】 A
3．(2016·长春模拟)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的图象的交点的个数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解析】 因为f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝2， 又因为x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，
利用图象法分别作出y ＝f (x )与y ＝log 7x 的图象可得有6个交点，故选D.
【答案】 D
4．(1)已知函数y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；
(2)已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(2a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)因为y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，所以x 2＋2x ＋a >0恒成立，所以Δ＝4－4a <0，
所以a >1.故a 的取值范围是(1，＋∞)．
(2)依题意(a 2－1)x 2＋(2a ＋1)x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立．
当a 2
－1≠0时，⎩⎨⎧
a 2
－1>0Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2
－1)<0，
解得a <－5
4.
当a 2－1＝0时，显然(2a ＋1)x ＋1>0，对x ∈R 不恒成立．所以a 的取值范围是⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－54.。