梯子模型 (解析版)--中考数学满分突破

梯子模型
模型的概述：如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图2)，就是所谓的梯子模型。

图1 图2
【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题。

模型一：如图所示，线段AC 的两个端点在坐标轴上滑动，∠ACB =∠AOC =90°，
AC 的中点为P ，连接OP 、BP 、OB ，则当O 、P 、B 三点共线时，此时线段OB
最大值。

思路：∵OP +BP ≥OB (三点共线时，取相等)
∴OB ≤OP +BP
∴当O 、P 、B 三点共线时，此时线段OB 取最大值
OB =OP +BP =12AC +BC 2+PC 2=12AC +BC 2+12
AC 2即已知Rt ∆ACB 中AC 、BC 的长，就可求出梯子模型中OB 的最值。

模型二：如图所示，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当点A 在
边OM 上运动时，点B 随之在ON 上运动，且运动的过程中矩形ABCD 形状保
持不变，AB 的中点为P ，连接OP 、PD 、OD ，则当O 、P 、D 三点共线时，此时
线段OD 取最大值。

思路：∵OP +PD ≥OD (三点共线时，取相等)
∴OD ≤OP +PD
∴当O 、P 、D 三点共线时，此时线段OD 取最大值
OD =OP +DP =12AB +AP 2+AD 2=12AB +12
AB 2+AD 2即已知矩形ABCD 中AB 、AD 的长，就可求出梯子模型中OD 的最值。

【培优过关练】
3.如图，∠MON =90°，矩形ABCD 在∠MON 的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，AB =4，BC
=2，则点D到点O的最大距离是()　
A.22-2
B.22+2
C.25-2
D.2+2
【答案】B
【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E、D 三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
【详解】取AB中点E，连接OE、DE、OD，
∵∠MON=90°，
∴OE=1
2
AB=2．
在RtΔDAE中，利用勾股定理可得DE=22．
在ΔODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE>OD，
∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE=22+2．
故选B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．
4.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离
最小时进行捕捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=6，E为MN的中点，点D到BA，BC 的距离分别为6和4，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为()
A.213-3
B.413-3
C.213-6
D.
【答案】A
【分析】连接BE，BD，点D到BA，BC的距离分别为6和4得BD=213，根据∠ABC=90°，MN=6
得BE=1
2
MN=3，根据B、D两点之间线段最短得BE+DE≥BD，且只有当E点位于线段BD上
时，等号成立，将BE=3，BD=213，代入BE+DE≥BD，计算即可得．
【详解】解：如图所示，连接BE，BD，
∵点D到BA，BC的距离分别为6和4，
∴BD=62+42=213，
∵∠ABC=90°，MN=6，
MN=3，
∴BE=1
2
∵B、D两点之间线段最短，
∴BE+DE≥BD，且只有当E点位于线段BD上时，等号成立，
将BE=3，BD=213，代入BE+DE≥BD，得
3+DE≥213，
DE≥213-3，
∴DE的最小值为213-3，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
5.如图所示，一架长5m的梯子(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，这时梯子的顶端A距地
面4m．梯子的正中间P点处有一只老鼠，梯子顶端A的正下方墙角O处有一只猫．下列说法错误的是()
A.梯子的底端B到墙的距离为3m
B.P处的老鼠离地面的距离为2m
C.梯子顶端沿墙下滑的长度和梯子底端沿地面向右滑行的距离不一定相等
D.梯子下滑的时候老鼠就会离猫越来越近
【答案】D
【分析】利用勾股定理可求出OB，则可判断A选项；过点A作x轴的垂线，根据平行线分线段成比例，可以求出P到x轴的距离，可判断B选项；在梯子下滑的两种特例下，应用勾股定理可求出，B点的滑动的距离，与假设的A点的滑动比例比较，即可判断C选项；根据直角三角形斜边上的中线是斜边的
一半的性质，可求出OP的长度，即可判断D选项．
【详解】解：由题意可得：AB=5m，OA=4m，AP=BP，∠AOB=90°，
A、由勾股定理可得：OB=AB2-OA2=3m，选项正确，不符合题意；
B、过点P作PC⊥OB，如图
∵点P是AB的中点，
∴AB
=2，
PB
又∵AO⊥BO,PC⊥OB，
∴PC∥AO，
∴PC=1
AO=2m，
2
∴PC=2m，B选项正确，不符合题意；
C、假设梯子顶端沿墙下滑1m至点C，梯子的底端沿地面向右滑行至点D，如图所示：
由题意可得：CD=5m，OC=3m，由勾股定理可得OD=4m，
BD=OD-OB=1m，
此时梯子顶端沿墙下滑的长度等于梯子的底端沿地面向右滑行的长度，
假设梯子顶端沿墙下滑2m至点C，梯子的底端沿地面向右滑行至点D，如图所示：
由题意可得：CD =5m ，OC =2m ，由勾股定理可得OD =21m ，
BD =21-3≠2，
此时梯子顶端沿墙下滑的长度不等于梯子的底端沿地面向右滑行的长度，
故C 选项正确，不符合题意；
D 、连接OP ，如下图
则OP =12
AB =2.5m ，梯子下滑的时候老鼠离猫的距离不变，D 选项错误，符合题意；故选：D ．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质．
6.如图，有互相垂直的两面墙OM ，ON ，梯子AB =6m ，两端点A ，B 分别在两面墙上滑动(AB 长度不变)，P 为AB 的中点，柱子CD =4m ，底端C 到墙角O 的距离为6m ．在此滑动过程中，点D 到点P 的距离的最小值为m ．
【答案】213-3
【分析】连接OD，OP，DP，根据三角形三条边的关系可知当D、P、O共线时点D到点P的距离最小
求解即可．
【详解】解：连接OD，OP，DP．
∵P为AB的中点，AB=6m，
AB=3m．
∴OP=1
2
∵DP+OP≥OD，
∴当D、P、O共线时点D到点P的距离最小．
∵OC=6m，CD=4m，
∴OD=62+42=213m，
∴点D到点P的距离最小为213-3
m．
故答案为：213-3．
【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，勾股定理，确定出当D、P、O共线时点D到点P的距离最小是解答本题的关键．
7.已知AB=10m的梯子斜靠在墙上，AC⊥BC，∠BAC=30°，当梯子下滑到A´B´时，∠CA´B´=
60°，记梯子的中点为M，则下滑的过程中，中点M运动的路程长是m．
【答案】56
π【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出∠MCM 的度数，再由弧长公式即可得出答案．
【详解】解：设AB 的中点为M ，A B 的中点为M ，连接CM 、CM ，如图所示：
由题意得：A B =AB =10m ，
∵AC ⊥BC ，
∴∠ACB =90°，
∴CM =12AB =AM =5m ，CM =12
A B =B M =5m ，∴CM =CM ，∠MCA =∠BAC =30°，∠M CB =∠A B C ，
∴中点M 运动的路径是以C 为圆心，CM 长为半径的MM ，
∵∠CA B =60°，
∴∠A B C =30°，
∴∠M CB =∠A B C =30°，
∴∠MCM =90°-30°-30°=30°，
∴中点M 运动的路程为
30π×5180=56
π(m )；故答案为：56
π．【点睛】本题考查了轨迹、直角三角形斜边上的中线性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及弧长公式等知识；熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
8.如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C 落在第二象限．其斜边两端点A 、B 分别落在x 轴、y 轴上且AB =12cm
(1)若OB =6cm ．
①求点C 的坐标；
②若点A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
(2)点C 与点O 的距离的最大值是多少cm ．
【答案】(1)①点C 的坐标为(-33，9)；②滑动的距离为6(3-1)cm ；(2)OC 最大值12cm ．
【分析】(1)①过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，根据30°的直角三角形的性质解答即可；
②设点A 向右滑动的距离为x ，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x ，根据锐角三角函数和勾股定
理解答即可；
(2)设点C 的坐标为(x ，y )，过C 作CE ⊥x 轴，CD ⊥y 轴，垂足分别为E ，D ，证得△ACE ∽△BCD ，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：(1)①过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，如图1：
在Rt △AOB 中，AB =12，OB =6，则sin ∠BAO =
12
∴∠BAO =30°，∠ABO =60°，
又∵在Rt △ACB 中，∠CBA =60°，
∴∠CBD =60°，∠BCD =30°，BC =AB ·sin30°=6
∴BD =BC ·sin30°=3，CD =BC ·cos30°=33，
∴OD =OB +BD =9
∴点C 的坐标为(-33，9)；
②设点A 向右滑动的距离为x ，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x ，
如图2：
AO =12×cos ∠BAO =12×cos30°=63．
∴A 'O =63-x ，B 'O =6+x ，A 'B '=AB =12
在△A 'O B '中，由勾股定理得，
(63-x )2+(6+x )2=122，解得：x =6(3-1)，
∴滑动的距离为6(3-1)；
(2)设点C 的坐标为(x ，y )，过C 作CE ⊥x 轴，CD ⊥y 轴，垂足分别为E ，D ，如图3：
则OE =-x ，OD =y ，
∵∠ACE +∠BCE =90°，∠DCB +∠BCE =90°，
∴∠ACE =∠DCB ，
又∵∠AEC =∠BDC =90°，
∴△ACE ∽△BCD ，
∴CE CD =AC BC ，即CE CD =tan60°=3，∴y =-3x ，
OC 2=x 2+y 2=x 2+(-3x )2=4x 2，
∴当|x |取最大值时，即C 到y 轴距离最大时，OC 2有最大值，即OC 取最大
值，
如图，即当C 'B '旋转到与y 轴垂直时．此时|x |=6，OC =4x 2=2x =12，
故点C 与点O 的距离的最大值是12cm ．
考点：相似三角形综合题．
9.我们知道，圆可以看成到定点的距离等于定长的点的集合．我们又知道了在平面内点与圆有三种位
置关系．如图1，点P 在⊙O 外，点A 是⊙O 上一个动点，连接PO 交⊙O 于点B ，我们发现，当点A 与点B 重合时，线段PA 长最短．
(1)利用图1 ，说明PA >PB ；
(2)如图2，一架10米长的梯子沿墙壁下滑，一只距离墙壁12米，距离地面5米的小鸟看到梯子的中点位置有食物，小鸟想用最短时间吃到食物，请在图中画出小鸟飞行的路径，并计算出小鸟飞行的距离；
(3)如图3，矩形ABCD 中，AB =2，AD =3，点E 、F 分别为AD 、DC 边上的点，且EF =2，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，直接写出PA +PG 的最小值．
【答案】(1)见详解；(2)小鸟飞行的路径见详解图，小鸟飞行的距离为8米；(3)4．
【分析】(1)据三角形两边之和大于第三边解之；
(2)连接EC ，由ED +DC ≥EC (当D 、C 、E 三点共线时取等号)，由于此过程中CD 恒等于5，故当D 在EC 上时小鸟飞行距离最短，由勾股定理求出CE 减去梯子长的一半5即可；
(3)作A 关于BC 的对称点H ，连接HD ，求出HD 再减去1即是AP +PG 的最小值．
【详解】(1)解：如下图2
在⊙O 中，连接OA ，由于A 是不同于B 的点，A 不在OP 上，由题知O 、A 、P 三点构成三角形∴PA +OA >PO =PB +OB
又A 、B 都在⊙O 上
∴OA =OB
∴PA >PB ；
(2)如下图2
连接CE ，在CE 上取一点G ，使GC =12
AB ，当梯子下滑到如图的MN (MN 过点G )位置时，梯子中点的位置G ，如图2 ，GE 就是小鸟飞行的路径．理由如下：当梯子下滑的过程中，梯子的中点D 到墙角C 的距离CD =
12AB =12×10=5∴梯子中点的运动轨迹是以C 为圆心，以5米为半径的四分之一
圆，
∴梯子中点必过G 点∴由(1)的结论知小鸟到食物的距离≥EG ，
∴小鸟到食物的最短距离为EG 的长．
下面计算EG
在RT△EFC中：CE=CF2+EF2=122+52=13(米)∴EG=CE-CG=13-5=8(米)；
(3)如下图3
作A关于BC的对称点H，边接HD交BC于R，在DH上取一点S，使DS=1
2
EF，由图及对称性知：
AP+PG+GD=HP+PG+GD≥HS+SD=AR+RS+SD(当P、R重合时，大于等于号取等号)
又DG=DS=1
2 EF
∴AP+PG≥HS
又当EF运动时，其中点在以D为圆心，以1
2
EF为半径的四分之一圆上运动，动线段EF的中点必过
S，如图3的MN所示，
∴上面的不等式能取到等号
∴AP+PG的最小值就是HS的值．
下面计算HS
在RT△HAD中：
易知AH=2AB=4，AD=3
由勾股定理知HD=5
∴HS=HD-1
2
EF=5-1=4
∴AP+PG的最小值是4．
【点睛】此题是典型几何最值问题，考查圆外一定点到圆上各点的最短距离．此类问题包括定和算两部分：定就是运用“两点之间线段最短”、“垂线段最段”等有关最短的几何性质，找到取最值的几何图形；算就是运用勾股定理等相关知识计算最值是多少和其它需要确定的量．
10.如图(1)所示，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为
60度.
(1)求图(1)中的AO与BO的长度;
(2)若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.
①如图(2)所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，请计算AC的长度;
②如图(3)所示，当A点下滑到A′，B点向右滑行到B'点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，
若∠POP'=15°，试求AA'的长度.
【答案】(1)23米，2米；(2)①163-24
13米；②(23-22)米
【分析】(1)根据锐角三角函数的定义，即可求解；
(2)①设AC=2a，BD=3a，根据勾股定理，列方程，即可求解；②根据直角三角形的性质，可知：OP =AP=OP'=A′P′=2，从而可得∆OP′A′是等腰直角三角形，进而得A'O=22，即可求解．【详解】(1)∵梯子与地面所成的角α为60°，
∴AO=4×sin60°=4×3
2=23(米)，BO=4×cos60°=4×1
2
=2(米)；
(2)①设AC=2a，BD=3a，
∵RtΔCOD中，OC2+OD2=CD2，
∴23-2a
2+2+3a
2=42，解得：a1=83-12
13，a2
=0(舍去)，
∴AC=2a=163-24
13
(米)；
②∵点P，P'分别是AB，A'B'的中点，
∴OP=AP=OP'=A′P′=2(米)，
∴∠PAO=∠POA=30°，
∵∠POP'=15°，
∴∠P'OA'=∠P'A'O=45°，即∆OP′A′是等腰直角三角形，
∴A'O=22(米)，
∴AA'=AO-A'O=(23-22)米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质以及勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．。