(典型题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测题(答案解析)

一、选择题
1．如图，已知 Rt ABC 中，90,6,8C AC BC ∠︒＝＝＝，将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点 D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ，则 DE 的值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．133
D ．143
2．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）
A ．12
B ．13
C ．15
D ．24 3．用梯子登上20m 高的建筑物，为了安全要使梯子的底面距离建筑物15m ，至少需要（ ）m 长的梯子．
A ．20
B ．25
C ．15
D ．5
4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在网格的格点上，则△ABC 的三条边中边长是无理数的有（ ）
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．3条
5．如图，在Rt ABC △中，90,30,ACB ABC CD ︒∠︒=∠=平分ACB ∠．边AB 的垂直平分线DE 分别交,CD AB 于点,D E ．以下说法错误的是（ ）
A ．60BAC ∠=︒
B ．2CD BE =
C ．DE AC =
D ．122CD BC AB =+ 6．如图，原来从A 村到B 村，需要沿路A →C →B （90C ∠=︒）绕过两地间的一片湖，在A ，B 间建好桥后，就可直接从A 村到B 村．已知5km AC =， 12km BC =，那么，建好桥后从A 村到B 村比原来减少的路程为（ ）
A ．2km
B ．4km
C ．10 km
D ．14 km 7．下列以a ，b ，c 为边的三角形，不是直角三角形的是（ ） A ．1,1,2a b c === B ．1,3,2a b c ===
C ．3,4,5a b c ===
D ．2,2,3a b c ===
8．如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（ ）
A ．93
B ．30
C ．120
D ．无法确定 9．如图，在ABC 中，90C ︒∠=，2AC =，点D 在BC 上，ADC 2B ∠=∠，5AD =，则BC 的长为（ ）
A ．31-
B ．31+
C ．51-
D ．51+ 10．一个长方体盒子长24cm ，宽10cm ，在这个盒子中水平放置一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（ ）
A ．10cm
B ．24cm
C ．26cm
D ．28cm 11．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1.点Q 在直线BC 上，且AQ ＝2，则线段BQ 的长为（ ）
A ．3
B ．5
C ．31+或31-
D ．51+或51-
12．满足下列条件时，ABC 不是直角三角形的是（ ） A ．41AB =，4BC =，5AC = B ．::3:4:5AB BC AC =
C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=
D ．40A ∠=︒，50B ∠=︒ 二、填空题
13．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边18cm AC =，24cm BC =，点D 在边BC 上，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则BD 的长是______cm ．
14．如图所示的长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、4厘米．若一只蚂蚁从A 点出发沿着长方体的表面爬行到棱BC 的中点M 处．则蚂蚁需爬行的最短路程是_______________厘米．
15．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若图2中阴影部分的面积是5，则两个较小正方形重叠部分的面积为____.
16．如图，已知正方形ABCD 的面积为4，正方形FHIJ 的面积为3，点D 、C 、G 、J 、I 在同一水平面上，则正方形BEFG 的面积为__________．
17．如图，在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，10AB =，8AC =，D 是AB 的中点，M 是边AC 上一点，连接DM ，以DM 为直角边作等腰直角三角形DME ，斜边DE 交线段CM 于点F ，若2MDF MEF S S =，则CF 的长为________．
18．已知一个直角三角形三边长的平方和是50，则斜边长为________．
19．如图，AD 是ABC 的中线，45,ADC ∠=︒把ADC 沿AD 折叠，使点C 落在点'C 处，'BC 与BC 的长度比是_______________________．
20．直角三角形的两边长分别为5和3，该三角形的第三边的长为________．
三、解答题
21．中国机器人创意大赛于2014年7月15日在哈尔滨开幕．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A 处先往东走4m ，又往北走1.5m ，遇到障碍后又往西走2m ，再转向北走4.5m 处往东一拐，仅走0.5m 就到达了B ．问机器人从点A 到点B 之间的距离是多少？
22．正方形网格的每个小正方形的边长为1，格点ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13．
-，2这两个点；
（1）在数轴上画出1
（2）请在正方形网格中画出格点ABC；
（3）这个三角形ABC的面积为_________．
23．如图，为了测量湖泊两侧点A和点B间的距离，数学活动小组的同学过点A作了一条
⊥）．量得
AB的垂线，并在这条垂线的点C处设立了一根标杆（即AC AB
BC=，求点A和点B间的距离．
AC=，200m
160m
24．在等腰直角△ABC中，AB＝ AC，∠BAC＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB 上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形；
①求证：∠BDP ＝∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．
25．如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE=DC，BE=AC，点F为BC 的中点，连结EF并延长至点M，使FM=EF，连结CM．
（1）求证：△BDE≌△ADC；
（2）求证：AC⊥MC；
（3）若AC=m，则点A、点M之间的距离为（用含m的代数式表示）．
26．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由折叠可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由点D为边BC的中点，可求
CD=
118422
CB =⨯=，设DE=x ，CE=6-x ，在Rt △CDE 中由勾股定理()22246x x +-=解方程即可．
【详解】
解：∵将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点 D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ，
∴△AEF ≌△DEF ，
∴AE=DE ，
∵点 D 为边 BC 的中点， ∴CD=
118422
CB =⨯=， 设DE=x ，CE=6-x ， 在Rt △CDE 中由勾股定理，
222CD CE DE +=即()2
2246x x +-=， 解得133
x =
． 故选择：C ．
【点睛】 本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．
2．A
解析：A
【分析】
设旗杆的高度为x m ，则AC x =m ，AB=()1x +m ，BC=5，利用勾股定理即可解答．
【详解】
设旗杆的高度为x m ，则AC x =m ，AB=()1x +m ，BC=5m ，
在Rt ABC 中，222AC BC AB +=
()2
2251x x ∴+=+
解得：12x =
故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，利用勾股定理与方程的结合解决实际问题． 3．B
解析：B
【分析】
可依据题意作出简单的图形，结合图形利用勾股定理进行求解，即可．
【详解】
解：如图所示：
∵AC＝20m，BC＝15m，
∴在Rt△ABC中，22
152025
+m，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
4．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理求出三边的长度，再判断即可．
【详解】
解：由勾股定理得：22
AC=+=，是有理数，不是无理数；
345
22
BC=+=
2313
22
1526
AB=+=
即网格上的△ABC三边中，边长为无理数的边数有2条，
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数和勾股定理，能正确根据勾股定理求出三边的长度是解此题的关键．5．B
解析：B
【分析】
利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．
【详解】
解：如图，连接BD、AD，过点D作DM⊥BC于M，DN⊥CA的延长线于N，
A 、在Rt ABC △中，90AC
B ∠=︒，30AB
C ∠=︒，
∴60BAC ∠=︒．故此选项说法正确；
B 、∵DM ⊥B
C ，DN ⊥CA
∴∠DNC ＝∠DMC ＝90°，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠DCN ＝∠DCM ＝45°．
∴∠DCN ＝∠CDN ＝45°．
∴CN=DN ．
则△CDN 是等腰直角三角形．
同理可证：△CDM 也是等腰直角三角形，
∴222DN CN DN +=．222DM CM DM +，
∴DM=DN= CM=CN ，∠MDN ＝90°．
∵DE 垂直平分AB ，
∴BD=AD ，AB=2BE ．
∴Rt △BDM ≌△ADN ，
∴∠BDM=∠AND ．
∴∠BDM+∠ADM =∠AND+∠ADM ＝∠MDN ．
∴∠ADB=90°．
∴222BD AD +=
． 即2．
∵在Rt △AND 中，AD 是斜边，DN 是直角边，
∴AD ＞DN 22DN ．
∴2BE ＞CD ．故此选项说法错误．
C 、∵BD=A
D ，∠ADB=90°，
∴△ABD 是等腰直角三角形．
∴DE=12
AB ． 在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， ∴AC=
12AB ． ∴DE=AC ．故此选项说法正确．
D 、∵Rt △BDM ≌△ADN ，
∴BM=AN．
∴CN=AC+AN=AC+BM=CM．
∴BC=BM+CM=AC+2BM．
∵
，
∴
．∵AC=1
2
AB，
∴
1
2
AB+BC．故此选项说法正确．
故选：B．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
直接利用勾股定理得出AB的长，进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：2222
51213
AB AC BC km
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：512134（km）．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出AB的长是解题关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项分别进行判定，则可得出结论．
【详解】
解：A、因为12＋12）2，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、因为122＝22，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、因为32＋42＝52，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、因为22＋22≠32，所以此三角形不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
8．C
【分析】
由,AD BC ⊥结合勾股定理可得：
2222,AC AB DC BD -=-2222MC MB DC BD -=-，再把已知线段的长度代入计算即可得到答案．
【详解】
解：,AD BC ⊥
222222,,AB AD BD AC AD DC ∴=+=+
22222222,AC AB AD DC AD BD DC BD ∴-=+--=-
1713AC AB ==，，
22221713304120DC BD ∴-=-=⨯=，
,AD BC ⊥
222222,,MC MD DC BM BD DM ∴=+=+
22222222120.MC MB MD DC DM BD DC BD ∴-=+--=-=
故选：.C
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解决问题是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理求出CD ，根据三角形的外角的性质得到∠B ＝∠BAD ，求出BD ，计算即可．
【详解】
∵∠C ＝90°，AC ＝3，AD =
∴CD ，
∵∠ADC ＝2∠B ，∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，
∴∠B ＝∠BAD ，
∴DB ＝AD =
∴BC ＝BD ＋CD
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2是解题的关键． 10．C
解析：C
【分析】
根据题意可知木棒最长是底面长方形的对角线的长，利用勾股定理求解即可．
解：长方体的底面是长方形，水平放置木棒，当木棒为该正方形的对角线时木棒最长， 根据勾股定理得：22241026+=，
则最长木棒长为26cm ，
故选：C ． 【点睛】
本题考查立体图形、勾股定理，由题意得出木棒最长是底面长方形的对角线的长是解答的关键．
11．C
解析：C
【分析】
分Q 在CB 延长线上和Q 在BC 延长线上两种情况分类讨论，求出CQ 长，根据线段的和差关系即可求解．
【详解】
解：如图1，当Q 在CB 延长线上时，
在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =
-=-=，
∴BQ=CQ-BC=31-；
如图2，当Q 在BC 延长线上时，
在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =
-=-=，
∴BQ=CQ+BC=31+；
∴BQ 3131．
故选：C
【点睛】
本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．
12．C
解析：C
【分析】
根据三角形内角和公式和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【详解】
A 、 22245=+符合勾股定理的逆定理，故A 选项是直角三角形，不符合题意；
B 、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故B 选项是直角三角形，不符合题意；
C 、根据三角形内角和定理，求得各角分别为45°，60°，75°，故C 选项不是直角三角形，符合题意；
D 、根据三角形内角和定理，求得各角分别为90°，40°，50°，故D 选项是直角三角形，不符合题意．
故选：C
【点睛】
.本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
二、填空题
13．15【分析】根据勾股定理计算得AB ；再根据折叠的性质分析得cm 从而得到BE ；设cm 则cm 根据勾股定理列方程并求解即可得到答案【详解】∵∴cm ∵点在边上现将直角边沿直线折叠使它落在斜边上且与重合∴cm 解析：15
【分析】
根据勾股定理计算得AB ；再根据折叠的性质分析，得18AE AC ==cm ，DE DC =，DEA C 90∠=∠=，从而得到BE ；设BD x =cm ，则()24DE DC x ==-cm ，根据勾股定理列方程并求解，即可得到答案．
【详解】
∵18cm AC =，24cm BC =， ∴
30AB ==cm ， ∵点D 在边BC 上，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，
∴18AE AC ==cm ，DE DC =，DEA C 90∠=∠= ，
∴12BE AB AE =-=cm ，
∴设BD x =cm ，则()24DE DC x ==-cm ， ∴
12BE ==cm ，
∴212x x +22(24-)=
∴15x = ，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理、折叠问题、一元一次方程，从而完成求解．
14．【分析】先把长方体展开根据勾股定理求出AM的长即可【详解】解：长方体部分展开如图所示连接AM则线段AM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程根据已知数据可得AN=4cmMN=4cmBM=故答案为：【点睛】此题
解析：42
【分析】
先把长方体展开，根据勾股定理求出AM的长即可．
【详解】
解：长方体部分展开如图所示，连接AM，则线段AM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，根据已知数据可得，AN=4cm，MN=4cm，
BM=2222
AN MN
+=+=，
4442
故答案为：42．
【点睛】
此题考查了几何体的展开图的应用，以及线段的性质：两点之间，线段最短，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解．
15．5【分析】根据勾股定理可知大正方形面积等于两个小正方形面积和再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积【详解】解：由图可知阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积根据勾股定
解析：5
【分析】
根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积．
【详解】
解：由图可知，阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积，根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，
所以阴影部分面积=重叠部分面积，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题关键是树立数形结合思想，知道大正方形面积等于两个小正方形面积和，通过面积和差得出阴影部分面积等于重叠部分面积．
16．7【分析】根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG≌△GJF从而得到正方形BEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积【详解】解：
∵∠BGC+∠FGJ=90°∠GFJ+∠FGJ=90
解析：7
【分析】
根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG≌△GJF，从而得到正方形BEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积．
【详解】
解：∵∠BGC+∠FGJ=90°，∠GFJ+∠FGJ =90°
∴∠BGC =∠GFJ
∵∠BCG=∠GJF，BG=GF
∴△BCG≌△GJF
∴CG=FJ，BC=GJ，
∴BG2=BC2+CG2=BC2+FJ2
∴正方形DEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积=4+3=7．
【点睛】
本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
17．3【分析】作DG⊥AC于GEH⊥AC于H则∠DGM＝∠MHE＝90°DG∥BC由勾股定理得出BC＝6证出DG是△ABC的中位线得出DG＝BC＝3AG＝CG＝AC＝4证明△MDG≌△EMH（ASA）得
解析：3
【分析】
作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，则∠DGM＝∠MHE＝90°，DG∥BC，由勾股定理得出BC＝
6，证出DG是△ABC的中位线，得出DG＝1
2
BC＝3，AG＝CG＝
1
2
AC＝4，证明
△MDG≌△EMH（ASA），得出MG＝EH，由三角形面积关系得出DG＝2EH＝3，得出MG
＝EH＝3
2
，再证明∆DGF~∆EHF，从而求出GF，进而即可得出答案．
【详解】
作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，如图所示：则∠DGM＝∠MHE＝90°，DG∥BC，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC ＝221086-=， ∵DG ∥BC ，D 是AB 的中点，
∴DG 是△ABC 的中位线，
∴DG ＝12BC ＝3，AG ＝CG ＝12
AC ＝4， ∵△DME 是等腰直角三角形，
∴∠DME ＝90°，DM ＝ME ，
∵∠DMG ＋∠GDM ＝∠DMG ＋∠EMH ＝90°，
∴∠GDM ＝∠EMH ，
在△MDG 和△EMH 中，
DGM MHE DM ME
GDM EMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴△MDG ≌△EMH （ASA ），
∴MG ＝EH ，
∵S △MDF ＝2S △MEF ，
∴DG ＝2EH ＝3，
∴MG ＝EH ＝
32， ∵DG ∥EH ，
∴∆DGF~∆EHF ，
∴21
DG GF EH HF ==， ∵GH=MH-MG=DG-MG=3-
32=32， ∴GF=32×221
+=1， ∴CF=AC-AG-GF=8-4-1=3，
故答案是：3．
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的
判定和性质；添加辅助线，构造三角形全等是解题的关键．
18．5【分析】设两直角边长分别为ab 斜边长为c 则根据题意列得即可求出答案【详解】设两直角边长分别为ab 斜边长为c 则∵三边长的平方和是∴∴解得c=5（负值舍去）故答案为：5【点睛】此题考查勾股定理正确掌握
解析：5
【分析】
设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则222+=a b c ，根据题意列得2250c =即可求出答案.
【详解】
设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则222+=a b c ，
∵三边长的平方和是50，
∴22250a b c ++=，
∴2250c =，
解得c=5（负值舍去），
故答案为：5.
【点睛】
此题考查勾股定理，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键.
19．【分析】设BD=CD=x 由题意可知∠ADC=45°且将ADC 沿AD 折叠故则可运用勾股定理将用x 进行表示即可得出的值【详解】解：∵点D 是BC 的中点设BD=CD=x 则BC=2x 又∵∠ADC=45°将AD
2
【分析】
设BD=CD=x ，由题意可知∠ADC=45°，且将ADC 沿AD 折叠，故ADC'=45∠︒，则Rt C'DB △可运用勾股定理，将BC'用x 进行表示，即可得出BC':BC 的值．
【详解】
解：∵点D 是BC 的中点，设BD=CD=x ，则BC=2x ，
又∵∠ADC=45°，将ADC 沿AD 折叠，故ADC'=45∠︒，C'D =x ，
∴C'DC=C'DB=90∠∠︒，C'DB △是直角三角形，
根据勾股定理可得：， ∴
2:，
2．
【点睛】
本题主要考察了折叠问题与勾股定理，解题的关键在于通过折叠的性质，得出直角三角形，并运用勾股定理．
20．或【分析】本题已知直角三角形的两边长但未明确这两条边是直角边还是斜边因此两条边中的较长边5既可以是直角边也可以是斜边所以求第三边的长
必须分类讨论即5是斜边或直角边的两种情况然后利用勾股定理求解【详解 解析：4或34 【分析】 本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边5既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即5是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】
设第三边为x ，
①若5是直角边，则第三边x 是斜边，
由勾股定理得：x=2253+=34；
②若5是斜边，则第三边x 为直角边，
由勾股定理得：x=2253-=4
所以第三边的长为4或34．
故答案为：4或34
【点睛】
本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理，并且分情况讨论是解题关键．
三、解答题
21．132
【解析】
试题分析：过点B 作BC ⊥AD 于C ，可以计算出AC 、BC 的长度，在直角△ABC 中根据勾股定理即可计算AB ．
试题
过点B 作BC ⊥AD 于C ，
所以AC=4﹣2+0．5=2．5m ，BC=4．5+1．5=6m ，
在直角△ABC 中，AB 为斜边，则22225136()22AB BC AC =
+=+=m, 答：机器人从点A 到点B 之间的距离是
132
m ． 考点：勾股定理．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）72 【分析】 （1）在数轴上1的位置向上垂直画一条长度为1的线段，接原点和另一端点，边长就是2然后用圆规，以原点为圆心，斜边为半径做圆，交数轴于一点，该点表示的数即为2；
（2）由于22512，221013=+，221323=+，然后利用网格特征可得到AB 、BC 、AC ，从而得到△ABC ；
（3）用矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积即可算出△ABC 的面积．
【详解】
解：（1）在数轴上1的位置向上垂直画一条长度为1的线段，接原点和另一端点，边长就是2，然后用圆规，以原点为圆心，斜边为半径做圆，交数轴于一点，该点表示的数即为2；
-1，2两个点的位置见数轴：
（2）如图，△ABC 为所作，
（3）△ABC 的面积1117333132212222=⨯-
⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， 故答案为：
72
． 【点睛】 本题主要考查勾股定理与网格问题，解题的关键是熟知勾股定理．
23．点A 和点B 间的距离为120m
【分析】
在Rt △ABC 中利用勾股定理计算出AB 长即可．
【详解】
解：∵AC AB ⊥．
∴90BAC ︒∠=，
∴在Rt ABC △中，222AB AC BC +=．
∵160AC =，200BC =， ∴2222200160120(m)AB BC AC =-=-=． 答：点A 和点B 间的距离为120m ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
24．（1）见解析；①见解析；②BC -BD =2BP ；见解析；（2）BD -BC =2BP
【分析】
（1）根据题意补全图形即可：
①设PD 与BC 的交点为E ，根据三角形内角和定理可求解；
②过点P 作PF ⊥BP 交BC 于点F ．证明△BPD ≌△FPC ，即可得到结论；
（2）过点P 作PH ⊥BP 交CB 的延长线于点H ，证明△HPC ≌△BPD 即可．
【详解】
解：（1）补全图形，如图．
①证明：如图①，设PD 与BC 的交点为E ．
根据题意可知，∠CPD =90°．
∵BC ⊥l ，
∴∠DBC =90°．
∴∠BDP+∠BED=90°，∠PCB+∠PEC= 90°．
∵∠BED=∠PEC
∴∠BDP=∠PCB ．
②BC -BD 2BP ．
证明：如图②，过点P 作PF ⊥BP 交BC 于点F ．
∵AB= AC， A=90°，
∴∠ABC=45°．
∴BP=PF，∠PFB=45°．
∴∠PBD=∠PFC=135°．
∴△BPD≌△FPC．
∴BD=FC．
∵BF=2BP，
∴BC-BD=2BP．
（3）过点P作PH⊥BP交CB的延长线于点H，如图③，
∵∠DPC=∠CBM=90°，∠PMD=∠BMC
∴∠PDM=∠BCM
∵∠ABC=∠ACB=45°
∴∠HBP=45°
∴∠DBP=45°
∵∠BPH=90°
∴∠BHP=45°
∴HP=BP
∴HB =
又∠DPC=90°
∴∠HPC=∠BPD ，
在△HPC 和△BPD 中，
HP BP BPD HPC PHC PBD =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
∴△HPC ≌△BPD
∴
BC +
∴BD -BC
BP ．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质运用和勾股定理的应用，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3
．
【分析】
（1）先根据垂直的定义可得BDE 和ADC 都是直角三角形，再利用HL 定理证明三角形全等即可；
（2）先根据（1）中的全等三角形可得DBE DAC ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得DBE FCM ∠=∠，从而可得DAC FCM ∠=∠，然后根据角的和差、等量代换即可得证；
（3）先根据（2）中的全等三角形可得BE CM =，从而可得CM AC m ==，再在Rt ACM △中，利用勾股定理即可得．
【详解】
（1）AD BC ⊥，
90BDE ADC ∠∴∠==︒，
∴BDE 和ADC 都是直角三角形，
在BDE 和ADC 中，DE DC BE AC =⎧⎨=⎩
， ()BDE ADC HL ∴≅；
（2）
BDE ADC ≅，
DBE DAC ∠=∠∴，
点F 为BC 的中点，
BF CF ∴=，
由对顶角相等得：BFE CFM ∠=∠，
在BEF 和CMF 中，BF CF BFE CFM EF MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BEF CMF SAS ∴≅，
FBE FCM ∴∠=∠，即DBE FCM ∠=∠，
DAC FCM ∠=∠∴， 又在Rt ACD △中，90DAC ACD ∠+∠=︒，
90FCM ACD ∴∠+∠=︒，即90ACM ∠=︒，
AC MC ∴⊥；
（3）如图，连接AM ，
BEF CMF ≅，
BE CM ∴=，
,BE AC AC m ==，
CM AC m ∴==，
AC MC ⊥，
ACM ∴是直角三角形，
222AM AC CM m ∴+，
即点A 、点M 2m ．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
26．2米
【分析】
先根据勾股定理求出AB 的长，同理可得出BD 的长，进而可得出结论．
【详解】
解：在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，0.7BC =米， 2.4AC =米，
2220.7 2.4 6.25AB ∴=+=．
在Rt △A BD '中，90A DB ∠'=︒，2A D '=米，222BD A D A B +'='，
222 6.25BD ∴+=，
2 2.25
∴=，
BD
BD>，
∴=米，
BD
1.5
∴=+=+=米，
0.7 1.5 2.2
CD BC BD
答：小巷的宽度为2.2米．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．。