2020-2021学年高中创新设计物理教科版必修2：第四章 学案10 习题课：机械能守恒定律

学案10 习题课：机械能守恒定律
[学习目的定位] 1.进一步理解机械能守恒的条件及其断定.2.能灵敏应用机械能守恒定律的三种表达方式.3.在多个物体组成的系统中，会应用机械能守恒定律解决相关问题.4.明确机械能守恒定律和动能定理的区别． 一、机械能守恒定律
1．机械能包括动能、重力势能和弹性势能． 2．机械能守恒的条件 (1)只有重力或弹力做功．
(2)除重力、弹力外，物体还受其他力，但其他力不做功． (3)除重力、弹力外，还有其他力做功，但其他力做功之和为零． 3．机械能守恒定律的表达式 (1)E k1＋E p1＝E k2＋E p2 (2)ΔE k 增＝ΔE p 减 (3)ΔE A 增＝ΔE B 减 二、动能定理
1．内容：合外力所做的功，等于物体动能的变化．
2．公式：W 合＝12m v 22－12m v 21或W 1＋W 2＋W 3
＋……＝12m v 22－12m v 2
1. 一、机械能是否守恒的判断 1．从做功角度判断
首先判断分析的是单个物体(其实是单个物体与地球组成的系统)还是系统，看机械能是否守恒，然后根据守恒条件做出判断．
(1)单个物体：除重力外无其他力做功(或其他力对这个物体做功之和为零)，那么物体的机械能守恒．
(2)系统：外力中除重力外无其他力做功，内力做功之和为零，那么系统的机械能守恒． 2．从能量转化角度判断
只有系统内动能、重力势能、弹性势能的互相转化，无其他形式能量的转化，系统机械能守恒．
例1 如图1所示，以下关于机械能是否守恒的判断正确的选项是( )
图1
A ．甲图中，物体A 将弹簧压缩的过程中，物体A 机械能守恒
B ．乙图中，物体B 沿斜面匀速下滑，物体B 的机械能守恒
C ．丙图中，不计任何阻力时，A 加速下落，B 加速上升过程中，A 、B 组成的系统机械
能守恒
D ．丁图中，小球沿程度面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
解析 甲图中重力和弹力做功，物体A 和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A 机械能不守恒，A 错．乙图中物体B 除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，弹力不做功，但摩擦力做负功，物体B 的机械能不守恒，B 错．丙图中绳子张力对A 做负功，对B 做正功，代数和为零，A 、B 组成的系统机械能守恒，C 对．丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D 对． 答案 CD
二、系统机械能守恒问题的分析
多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的．对系统列守恒方程时常有两种表达形式：E k1＋E p1＝E k2＋E p2或ΔE A 增＝ΔE B 减，运用前者需要选取适宜的参考平面，运用后者无需选取参考平面，只要判断系统内哪个物体的机械能减少了多少，哪个物体的机械能增加了多少就行了．
图2
例2 如图2所示，质量为m 的木块放在光滑的程度桌面上，用轻绳绕过桌边的光滑定滑轮与质量为M 的砝码相连．M ＝2m ，让绳拉直后使砝码从静止开场下降h 的间隔 (未落地)时，木块仍没分开桌面，那么砝码的速度为多少？ 解析 解法一：用ΔE k 增＝ΔE p 减求解． 在砝码下降h 的过程中，系统增加的动能为 ΔE k 增＝1
2
(M ＋m )v 2，
系统减少的重力势能ΔE p 减＝Mgh ， 由ΔE k 增＝ΔE p 减得： 1
2(M ＋m )v 2＝Mgh ， 解得v ＝
2Mgh M ＋m ＝2
3
3gh . 解法二：用E 初＝E 末求解．
设砝码开场离桌面的间隔 为x ，取桌面所在的程度面为参考面，那么系统的初始机械能E 初＝－Mgx ，系统的末机械能E 末＝－Mg (x ＋h )＋1
2(M ＋m )v 2.
由E 初＝E 末得：
－Mgx ＝－Mg (x ＋h )＋12(M ＋m )v 2，解得v ＝2
3
3gh .
解法三：用ΔE A 增＝ΔE B 减求解．
在砝码下降的过程中，木块增加的机械能ΔE m 增＝1
2m v 2，砝码减少的机械能ΔE M 减＝Mgh
－1
2
M v 2. 由ΔE m 增＝ΔE M 减得： 12m v 2＝Mgh －1
2M v 2， 解得v ＝2
33gh .
答案
2
3
3gh 图3
针对训练 如图3所示，一轻质弹簧固定于O 点，另一端系一小球，将小球从与O 点在同一程度面且弹簧保持原长的A 点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力．在小球由A 点摆向最低点B 的过程中( ) A ．小球的重力势能减少 B ．小球的重力势能增大 C ．小球的机械能不变 D ．小球的机械能减少 答案 AD
解析 小球从A 点无初速度地释放后，在从A 点向B 点运动的过程中，小球的重力势能逐渐减少，动能逐渐增大，弹簧逐渐被拉长，弹性势能逐渐增大．所以，小球减少的重力势能，一局部转化为弹簧的弹性势能，一局部转化为小球的动能．对小球、弹簧和地球组成的系统而言，机械能守恒；但对小球与地球组成的系统而言，机械能减少． 三、应用机械能守恒定律解决综合问题
例3 如图4所示，光滑细圆管轨道AB 局部平直，BC 局部是处于竖直平面内半径为R 的半圆，C 为半圆的最高点．有一质量为m ，半径较管道略小的光滑的小球以程度初速度v 0射入圆管．
图4
(1)假设要小球从C 端出来，初速度v 0应满足什么条件？
(2)在小球从C 端出来瞬间，对管壁压力有哪几种情况，初速度v 0各应满足什么条件？ 解析 (1)小球恰好能到达最高点的条件是v C ＝0，由机械能守恒定律，此时需要初速度v 0满足12m v 20
＝mg ·2R ，得v 0＝2gR ，因此要使小球能从C 端出来需满足入
射速度v 0＞2gR .
(2)小球从C 端出来瞬间，对管壁作用力可以有三种情况：
①刚好对管壁无作用力，此时重力恰好充当向心力，由圆周运动知识mg ＝m v 2C
R .
由机械能守恒定律，12m v 20＝mg ·2R ＋12m v 2
C ，联立解得v 0＝5gR . ②对下管壁有作用力，此时应有mg ＞m v 2C R ，
此时相应的入射速度v 0应满足2gR ＜v 0＜5gR . ③对上管壁有作用力，此时应有mg ＜m v 2C
R ，
此时相应的入射速度v 0应满足v 0＞5gR . 答案 见解析
图5
1．(机械能是否守恒的判断)如图5所示，具有一定初速度v 的物块，在沿倾角为30°的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力F 作用，这时物块的加速度大小为5 m/s 2，方向沿斜面向下，g 取10 m/s 2，那么在物块向上运动的过程中，以下说法正确的选项是( ) A ．物块的机械能一定增加 B ．物块的机械能一定减少 C ．物块的机械能不变
D ．物块的机械能可能增加，也可能减少 答案 C
解析 以物体为研究对象进展受力分析如图．根据牛顿第二定律得 mg sin 30°＋f －F ＝ma
代入数据得f ＝F ，故此过程中只有重力做功，物块的机械能不变，C 正确．
2．(系统机械能守恒问题分析)如图6甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在程度面上，t ＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起分开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复，不计空气阻力．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F 随时间t 变化的图像如图乙所示，那么( )
图6
A ．t 1时刻小球动能最大
B ．t 2时刻小球动能最大
C ．t 2～t 3这段时间内，小球的动能先增加后减少
D ．t 2～t 3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能 答案 C
解析 0～t 1时间内小球做自由落体运动；落到弹簧上并往下运动的过程中，小球重力与弹簧对小球弹力的合力方向先向下后向上，故小球先加速后减速，t 2时刻到达最低点，动能为0，A 、B 错；t 2～t 3时间内小球向上运动，合力方向先向上后向下，小球先加速后减速，动能先增加后减少，C 对；t 2～t 3时间内由机械能守恒知小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能减去小球增加的重力势能，D 错．
3．(应用机械能守恒定律解决综合问题)小物块A 的质量为m ＝2 kg ，物块与坡道间的动摩擦因数为μ＝0.6，程度面光滑．坡道顶端距程度面高度为h ＝1 m ，倾角为θ＝37°.物块从坡道进入程度滑道时，在底端O 点处无机械能损失，将轻弹簧的一端连接在程度滑道M 处并固定墙上，另一自由端恰位于坡道的底端O 点，如图7所示．物块A 从坡顶由静止滑下，重力加速度为g ＝10 m/s 2，求：
图7
(1)物块滑到O 点时的速度大小； (2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能； (3)物块A 被弹回到坡道上升的最大高度． 答案 (1)2 m/s (2)4 J (3)1
9
m
解析 (1)由动能定理得mgh －μmgh cot θ＝1
2m v 2
解得v ＝
2gh (1－μcot θ)，代入数据得v ＝2 m/s
(2)在程度滑道上，由机械能守恒定律得 12
m v 2
＝E p 那么 E p ＝mgh －μmgh cot θ，代入数据得E p ＝4 J
(3)设物块A 可以上升的最大高度为h 1，物块被弹回过程中由动能定理得 0－1
2
m v 2＝－mgh 1－μmgh 1cot θ 解得h 1＝(1－μcot θ)h 1＋μcot θ
，代入数据得h 1＝1
9 m.
题组一 机械能是否守恒的判断
图1
1．如图1所示，电动小车沿斜面从A 匀速运动到B ，那么在运动过程中( ) A ．动能减小，重力势能增加，总机械能不变 B ．动能增加，重力势能减小，总机械能不变 C ．动能不变，重力势能增加，总机械能不变 D ．动能不变，重力势能增加，总机械能增加 答案 D
图2
2．2021年9月16日，首届矮寨国际低空跳伞节在湖南吉首市矮寨大桥拉开帷幕．来自全球17个国家的42名跳伞运发动在矮寨大桥上奉献了一场惊险刺激的低空跳伞极限运动表演．他们从离地350米高的桥面一跃而下，实现了自然奇观与极限运动的完美结合．如图2所示，假设质量为m 的跳伞运发动，由静止开场下落，在翻开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度为4
5g ，在运发动下落h 的过程中，以下说法正确的选项是( )
A ．物体的重力势能减少了mgh
B ．物体的动能增加了4
5mgh
C ．物体克制阻力所做的功为4
5mgh
D ．物体的机械能减少了4
5mgh
答案 AB
题组二 系统机械能守恒问题分析
图3
3．如图3所示，在两个质量分别为m 和2m 的小球a 和b 之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过细杆中心的程度轴无摩擦转动，现让细杆程度放置，静止释放小球后，小球b 向下转动，小球a 向上转动，在转动90°的过程中，以下说法正确的选项是( ) A ．b 球的重力势能减少，动能增加 B ．a 球的重力势能增大，动能减少 C ．a 球和b 球的机械能总和保持不变 D ．a 球和b 球的机械能总和不断减小 答案 AC
解析 在b 球向下、a 球向上转动过程中，两球均在加速转动，使两球动能增加，同时b 球重力势能减少，a 球重力势能增加，a 、b 两球的总机械能守恒．
图4
4．如图4所示，可视为质点的小球A 、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍．当B 位于地面时，A 恰与圆柱轴心等高．将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( ) A ．2R B.5R 3 C.4R 3 D.2R 3
答案 C
解析 设A 、B 的质量分别为2m 、m ，当A 落到地面上时，B 恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A 、B 整体为研究对象，那么A 、B 组成的系统机械能守恒，故有2mgR －mgR ＝12(2m ＋m )v 2
，A 落到地面上以后，B 以速度v 竖直上抛，又上升的高度为h ′＝v 22g ，解得h ′＝13R ，故B 上升的总高度为R ＋h ′＝4
3
R ，选项C 正确．
5．如图5所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m 的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A 点，弹簧处于原长时，圆环高度为h .让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．那么在圆环下滑到底端的过程中(杆与程度方向夹角为30°)( )
图5
A ．圆环机械能守恒
B ．弹簧的弹性势能先减小后增大
C ．弹簧的弹性势能变化了mgh
D ．弹簧与光滑杆垂直时圆环动能最大 答案 C
解析 圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环机械能不守恒，A 错误；弹簧形变量先增大后减小然后再增大，所以弹性势能先增大后减小再增大，B 错误；由于圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh ，所以弹簧的弹性势能增加mgh ，C 正确；弹簧与光滑杆垂直时，圆环所受合力沿杆向下，圆环具有与速度同向的加速度，所以做加速运动，D 错误．
题组三 应用机械能守恒定律解决综合问题
图6
6．如图6所示，长度为L 的细线下挂一个质量为m 的小球，小球半径忽略不计，现用一个程度力F 拉小球，使悬线偏离竖直方向θ角并保持静止状态． (1)求拉力F 的大小；
(2)撤掉F 后，小球从静止开场运动到最低点时的速度为多大？ (3)在最低点绳子拉力为多少？
答案 (1)mg tan θ (2)2gL (1－cos θ) (3)3mg －2mg cos θ
解析 (1)小球处于静止状态，合外力为零，对其进展受力分析，得 F ＝mg tan θ
(2)根据机械能守恒定律：mgL (1－cos θ)＝m v 2/2 v ＝
2gL (1－cos θ)
(3)拉力与重力的合力提供向心力：T －mg ＝m v 2/L T ＝3mg －2mg cos θ
7．如图7所示，轻弹簧k 一端与墙相连，质量为4 kg 的木块沿光滑程度面以5 m/s 的速度运动，并压缩弹簧，求弹簧在被压缩的过程中最大弹性势能及木块速度减为3 m/s 时的弹性势能．
图7
答案 50 J 32 J
解析 木块压缩弹簧的过程中，只有弹力做功，木块的动能与弹簧的弹性势能之和守恒． 从开场压缩至木块速度为零，根据机械能守恒12m v 20＝E p
可得：E p ＝50 J
从开场压缩至木块速度为3 m/s ，根据机械能守恒 12m v 20－12
m v 2
＝E p ′，可得：E p ′＝32 J 8．如图8所示，一内壁光滑的细管弯成半径为R ＝0.4 m 的半圆形轨道CD ，竖直放置，其内径略大于小球的直径，程度轨道与竖直半圆轨道在C 点连接完好．置于程度轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B 处为弹簧原长状态的右端．将一个质量为m ＝0.8 kg 的小球放在弹簧的右侧后，用力程度向左推小球而压缩弹簧至A 处，然后将小球由静止释放，小球运动到C 处后对轨道的压力大小为F 1＝58 N ．程度轨道以B 处为界，左侧AB 段长为x ＝0.3 m ，与小球间的动摩擦因数为μ＝0.5，右侧BC 段光滑．g ＝10 m/s 2，求：
图8
(1)弹簧在压缩时所储存的弹性势能；
(2)小球运动到轨道最高处D 点时对轨道的压力． 答案 (1)11.2 J (2)10 N ，方向竖直向上
解析 (1)对小球在C 处，由牛顿第二定律及向心力公式得F 1－mg ＝m v 21
R ，
v 1＝
(F 1－mg )R
m
＝ (58－0.8×10)×0.4
0.8
m/s ＝5 m/s.
从A 到B 由动能定理得E p －μmgx ＝1
2m v 21
，
E p ＝12m v 21＋μmgx ＝12×0.8×52 J ＋0.5×0.8×10×0.3 J ＝11.2 J. (2)从C 到D ，由机械能守恒定律得： 12m v 21＝2mgR ＋12m v 22， v 2＝
v 21－4gR ＝
52－4×10×0.4 m/s ＝3 m/s ，
由于v 2＞gR ＝2 m/s ，
所以小球在D 处对轨道外壁有压力．
小球在D 处，由牛顿第二定律及向心力公式得F 2＋mg ＝m v 22R ，F 2＝m ⎝⎛⎭⎫v 22R －g ＝
0.8×⎝⎛⎭
⎫3
2
0.4－10 N ＝10 N. 由牛顿第三定律可知，小球在D 点对轨道的压力大小为10 N ，方向竖直向上．。