2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(四川卷)

2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷）
一、单选题
1. 设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）
A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，2}D．∅2. （5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）
A．A B．B C．C D．D
3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）
A ．
B ．
C．D．
4. 设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）
A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉B C．￢p：∃x∉A，2x∈B D．￢p：∃x∈A，2x∉B 5. （5分）函数的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）
A．B．C．D．
6. （5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）
A．B．C．1D．
7. （5分）函数的图象大致是（）
A．B．
C．D．
8. 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）
A．9B．10C．18D．20
9. 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
10. （5分）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）
A．[1，e]B．[e﹣1﹣1，1]C．[1，e+1]D．[e﹣1﹣1，e+1]
二、填空题
11. 二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是（用数字作答）．
12. （5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O ，，则λ= ．
13. （5分）设sin2α=﹣sinα，，则tan2α的值是．
14. 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．
三、解答题15. （5分）设P 1，P 2，…P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…P n 的距离之和最小，则称点P 为P 1，P 2，…P n 的一个“中位点”，例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点，现有下列命题：
①若三个点A 、B 、C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A 、B 、C 、D 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）．
16. 在等差数列{a n }中，a 1+a 3=8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项，公差及前n 项和．
17. （12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别a 、b 、c ，且
（1）求cosA 的值；
（2
）若，求向量在方向上的投影．
18. （12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i （i=1，2，3）；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i （i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表（部分）
运行 次数n 输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值
为3的频数
30
14610… ……
…2100 1027
376697乙的频数统计表（部分）
运行 次数n 输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值
为3的频数
30 1211 7
… ………
2100 1051696353
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．
19. （12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
（I）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
（II）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．
20. （13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．
（I）求椭圆C的离心率：
（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．
21. （14分）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（I）指出函数f（x）的单调区间；
（II）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；
（III）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．。