2015年高考山东理科数学试题及答案解析

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
、选择题：本大题共 2015 年山东，理 A ） 1,3 1） 数学（理科）
第Ⅰ 卷（共 50 分）
10小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1】已知集合 {x|x 2
4x 3 0}， B {x|2 x 4}，则 A B （B ） 1,4 （ C ） 2,3 D ） ) 2,4 2）
2015 年山东，理 A ) 1 i 2】若复数 z 满足 z i ，其中 i 是虚数单位，则 1i （B ） 1 i （C ） 1 i D ） 1i 3） 2015 年山东，理 3】要得到函数 y sin （4x ） 的图象，只需将函数 3 y sin4x 的图像 4） 5） 6） 7）
A ）向左平移 个单位（
B ）向右平移 个单位（
C ）向左平移 个单位（
D ）向右平移 个单位
12 3 3 已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ABC 60 ，则 =（ 32 （ B ） a 2 （
4
不等式 |x 1| |x 5| 2的解集是（ （C ） xy0 x y 2 若 z ax y 的最大值为 4，则 y0 （C ）-2 在梯形 ABCD 中， ABC ，AD/ /BC ，BC 2AD 2AB 2．将梯形 ABCD
2 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ 12 2015 年山东，理 32 A ） a 2 2015 年山东，理 A ） （ ,4） 2015 年山东，理 A )
3 2015 年山东，理 4】 5】 6】 7】 C ） B ) ( ,1) 32 a
4 ) (1,4) ) 32
D ) a 2
2 D ） (1,5) 已知 x,y 满足约束条件 B )2 D ） -
3 （ A ） （B ） （C ） 3 3 3
8）【 2015 年山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 其长度误差落在区间 3,6 内的概率为（ ）（附：若随机变量 P （ ） （ A ） 4.56% 9）【 2015 年山东，理 9】 所在的直线的斜率为（ 53
（ A ） 5或 3 35 D )2
N （0,32
） ，从中随机取一件，
服从正态分布 N （ , 2 ），则
10）【 2015 年山东， 间 3, 6 内 的 概 率 为 （
68. 26，%P （ 2 2 ） 95.44%） （B ）13.59% （C ） 27.18% 一条光线从点 （ 2, 3）射出，经 y 轴反射与圆 （x 3）2 （y 2）2 1相切，则反射光线 ） 32 （ B ） 或 23 3x 1,x 1, 23x x , 1,x x 11,.则满足 f （ f （a ）） 2
f （a ）
的取值范围是（ ） 2 , x 1. 10】设函数 f （x ） D ) 31.74% A ) [23 ,1] B ) [0,1] 、填空题：本大题共 11）【 2015 年山
东，
C ) 5 或 4
45 D ) 4 或 3 34 C ) [23, ) D ) [1, )
第 II 卷（共 100 分）
5 小题，每小题 5 分
理 11】观察下列各式：
14）【2015年山东，理14】已知函数 f （x ） a x
b （a 0,a 1）的定义域和值域都是 [ 1,0] ，则a b 22 15 ）【 2015 年山东，理 15】平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C 1: x
2 y
2 1（a 0,b 0）的渐近线与抛物线 a 2 b 2
2 C 2: x 2
2py （p 0）交于点 O, A,B ，若 OAB 的垂心为 C 2的焦点，则 C 1的离心率为 ．
三、解答题：本大题共 6 题，共 75分．
16）【 2015 年山东，理 16】（本小题满分 12分）设 f （x ） sinxcosx cos 2
（x ） ． 4
（Ⅰ）求 f （x ） 的单调区间；
A
（Ⅱ）在锐角 ABC 中，角 A,B,C 的对边分
别为 a,b,c ，若 f （ ） 0,a 1，求 ABC 面积．
2
17）【2015 年山东，理 17】（本小题满分 12 分）如图，在三棱台 DEF ABC 中， AB
2DE,G,H 分别为 AC, BC 的中点． （Ⅰ）求证： BD/ / 平面 FGH ；
（Ⅱ）若 CF 平面 ABC ， AB BC,CF DE, BAC 45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角
（锐角）的大小．
12) 13)
041C 31
C 51C 7
10
305
07
C C C
C
1
4
C
4C
照此规律，当 n N * 时， C 20n 1 C 21n 1 C 22n 1
C 2n n 1
1
2015 年山东，
2015 年山东， 理 12】若 “ x [0, ],tan x m ”是真命题，则实数
4
理 13】执行右边的程序框图，输出的 T 的值为
m 的最小值为
18）【2015 年山东，理18】（本小题满分12分）设数列 {a n} 的前n项和为 S n，已知2S n 3n 3．（Ⅰ）求数列 {a n} 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 {b n}满足 a n b n log3 a n ，求数列 {b n}的前n项和T n ．
19）【2015 年山东，理19】（本小题满分12 分）若 n是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n为“三位递增数”（如137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数” 的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分；若能被5 整除，但不能被10 整除，得-1 分；若能被10 整除，得1 分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5 的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．
22
20）【2015 年山东，理 20】（本小题满分 13分）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C: x 2 y 2 a 2 b 2
离心率为 3 ，左、右焦点分别是 F 1, F 2 ,以 F 1为圆心，以 3为半径的圆与以 F 2为圆心，以 2 1 2 1 2 交，交点在
椭圆 C 上．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； 22 （Ⅱ）设椭圆 E: x 2 y
2 1，P 为椭圆 C 上的任意一点， 过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 4a 2 4b 2
射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ．
（i ）求 |OQ |的值；（ii ）求 ABQ 面积最大值．
|OP|
21）【2015 年山东，理 21】（本题满分 14 分）设函数 f （x ） ln （x 1） a （x 2
x ），其中 a R ． （Ⅰ）讨论函数 f （x ）
极值点的个数，并说明理由；
1（a b 0） 的 1 为半径的圆相
E 于 A,B 两点，
Ⅱ)若 x 0 ，f(x) 0 成立，求a 的取值范围．
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（理科）
第Ⅰ 卷（共50 分）
、选择题：本大题共10小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1）【2015年山东，理1】已知集合{x|x2 4x 3 0} ， B {x|2 x 4}，则A B （）
（A）1,3 （B）1,4 （C）2,3 （D ）2,4 答案】C
解析】A {x|x2 4x 3 0} {x|1 x 3} ， A B （2,3），故选C．
2）【2015年山东，理2】若复数 z满足z i ，其中i 是虚数单位，则 z （）
1i
（A）1 i （B）1 i （C）1 i （D）1 i
答案】A
解析】z （1 i）i i 2 i 1 i ，z 1 i ，故选A ．
3）【2015年山东，理3】要得到函数 y sin（4x ）的图象，只需将函数 3
y sin4x 的图像（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位
12 12 3 3 答案】B
解析】 y sin4（x ），只需将函数 y sin4x 的图像向右平移个单位，故选B．
12 12
333
A ） 32
a 2
B )
3
a 2 4 C ) 3
4a 2 4
D ） 32
a
2 答案】 D
ABC 60 可知 BAD 180 60 120 ，
2
2 3 2
AB AD AB a a cos120 a 2
a 2 ，故选 D ．
2
5）【 2015年山东，理 5】不等式 |x 1| |x 5| 2的解集是（ ）
（A ） （ ,4） （B ）（ ,1） （C ） （1,4） （ D ） （1,5） 答案】 A 解析】当 x 1时， 1 x （5 x ） 4 2 成立；当 1 x 5时， x 1 （5 x ） 2x 6 2，解得 x 4 ，则
1 x 4 ；当 x 5时， x 1 （x 5） 4 2不成立．综上 x 4 ，故选 A ．
xy0
6）【 2015年山东，理 6】已知 x, y 满足约束条件 x y 2若 z ax y 的最大值为 4，则 a （ ） y0
（ A ） 3 （B ）2 （C ）-2 （D ） -3
答案】 B 解析】由 z ax y 得 y ax z ，借助图形可知：当 a 1，即 a 1时在 x y 0时有最大值 0，不符合题
意；当 0 a 1，即 1 a 0时在 x y 1时有最大值 a 1 4,a 3 ，不满足 1 a 0；当 1 a 0， 即 0 a 1时在 x y 1时有
最大值 a 1 4,a 3，不满足 0 a 1；当 a 1，即 a 1时在 x 2,y 0
时有最大值 2a 4,a 2 ，满足 a 1，故选 B ．
7）【 2015年山东，理 7】在梯形 ABCD 中， ABC
， AD/ /BC ， 2
绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（
A ）
B ）
BC 2AD 2AB 2 ．将梯形 ABCD ) (D )2
4）【 2015年山东，理 4】已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ABC 60 ，则 =（ ） 答案】 C
15
解析】 V
12 2 1
12 1 5
，故选 C ．
33
8)
【 2015年山东，理 8】已知某批
零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布
N (0,32
) ，从中随机取一件，
其长度误差落在区间 3,6 内的概率为( )(附：若随机变量 服从正态分布 N( , 2)，则 P( ) 68. 26，%P( 2 2 ) 95.44%) (A ) 4.56% (B )13.59% (C ) 27.18% (D ) 31.74% 答案】 D
1
解析】 P(3 6) (95.44% 68.26%) 13.59% ，故选 D ．
2
9) 【 2015 年山东，理 9】一条光线从点 ( 2, 3)射出，经 y 轴反射与圆 (x 3)2
(y 2)2
1相切，则反射光线 所在的直线的
斜率为( )
5
3
3 2
5 4
4 3 ( A )
或
( B )
或 (C )
或 (D ) 或
3
5
2
3 4
5
3
4
答案】 D
解析】 ( 2, 3)关于 y 轴对称点的坐标为 (2, 3) ，设反射光线所在直线为 y 3 k(x 2), 即kx y 2k 3 0， 则 d | 3k 22 2k 3| 1,|5k 5| k 2
1，解得 k 4
或 3
，故选 D ．
k 2
1 3 4
3x 1,x 1,
解析】由菱形 ABCD 的边长为 a ，
BD CD (AD AB) ( AB)
5
3 3 3
10)
【2015 年山东，理 10】设函数 f(x) x 则满足 f (f(a)) 2 f (a)的取值范围是( )
2x
, x 1. 22
(A ) [ ,1]
(B ) [0,1]
(C )[ , )
(D )[1, )
33
答案】 C
a 1
a 1 2
解析】由 f( f(a)) 2f(a)可知 f(a) 1，则 a 或 ，解得 a 2
，故选 C ．
2 1 3a 1 1 3
第 II 卷(共 100 分)
、填空题：本大题共 5小题，每小题 5 分 11) 【 2015 年山东，理 11】观察下列各式：
照此规律，当 n N *时， C 20n 1 C 12n1 C 22n 1 C 2n n 11
解析】 C 20n 1 C 21n 1 C 22n1 C 2n n 11 1
(2C 20n 1 2C 21n 1 2C 22n 1 2C 2n n 11) 21[(C 20n 1 C 22n n 11) (C 21n 1 C 22n n 12 ) (C 22n 1 C 22n n 13) (C 2n n 11 C 2n n 1)] 1(C 20n 1 C 21n1
C 22
n 1 C 2n n 11 C 2n n1 C 22n n 11) 1 22n 1 4n1
22
12) 【2015年山东，理12】若“ x [0, ],tan x m”是真命题，则实数 m 的最小值为 答案】 1
解析】 “ x [0, ],tan x m ”是真命题，则 m tan 1，于是实数 m 的最小值为 1． 44 13) 【2015 年山东，理 13】执行右边的程序框图，输出的 T 的值为 ．
答案】
11
1
5
1
4CC
131517 1
0103050
1
1
2 1 1 11
解析】
T 1 0 xdx 0 x dx 1 21
3
1 16
1 ．
14) 【2015 年山东， 理 14】已知函数 f (x) a x
b (a 0,a 1)的定义域和值域都是 [ 1,0] ，则 a b
答案】 2
2
1 1 1 1 1 1
解：(Ⅰ)由
f(x) sin2x [1 cos(2x )] sin2x sin2x sin2x ，
2 2 2 2 2 2 2
由
2k 2x 2k ,k Z 得 k x k ,k Z ， 2 2 4 4
则
f(x)
的递增区间为
[k ,k ],k Z ；
44
33
由 2k 2x 2k ,k Z 得 k x k ,k Z ，
2 2 4 4
则 f(x) 的递增区间为 [k ,k 3
],k Z ．
44
Ⅱ)在锐角 ABC 中， f (A
) sinA 1
0,sin A 1
， A ，而 a 1，
2 2 2 6
由余弦定理可得 1 b 3 c 2 2bccos 2bc 3bc (2 3)bc ，当且仅当 b c 时等号成立，
6
1
1 1 1
2
3 2 3 即 bc 1 2 3 ， S ABC
1
bcsin A 1
bc sin 1bc 2 3
故
ABC 面积的最大值为 2
3
（Ⅱ）若 CF 平面 ABC ， AB BC,CF DE, BAC 45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小． 解：（Ⅰ）证明：连接 DG ， DC ，设 DC 与GF 交于点 T ， 在三棱台 DEF ABC 中， AB 2DE ，则 AC 2DF ， 而 G 是
AC 的中点， DF AC ，则 DF / /GC ， 所以四边形 DGCF 是平行四边形， T 是 DC 的中点， DG FC ．
3 3 2 2 6
4 4 4
（17）【2015 年山东，理 17】（本小题满分 12分）如图，在三棱台 DEF ABC 中， AB 2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中
点．
解析】当 a
11
a 1
b 1，无解；当 0 a 1时
a 1
b 0 a 0 b 0
a 0
b 1
1 1 3
，解得
b 2,a 2，则 a b 2 2 2
15)【 2015
年山东，理 15】平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C 1 : 2 a 2 2
y
2 1（a 0,b 0） 的渐近线与抛物线
C 2 : x 2
答案】 3
2
2py （p 0） 交于点 O,A,B ，若 OAB 的垂心为
C 2 的焦点，则 C 1的离心率为
x
2 y 2
b
解析】 C 1: x 2 y 2 1(a 0,b 0)的渐近线为 y b
x ，则 a b a
A(
2pb
22
2pb 22),B( 2pb 2pb 2
2
2pb
2
p
C 2 : x 2
2py(p 0) 的焦点 F(0,2)，则 k AF
2 a 2pb
2 b 2 2
a
2
c 2
a
2
b 2
c3 e a2
三、解答题：本大题共 6题，共 75 分．
16）【2015 年山东，理 16】（本小题满分 12 分）设
2
f(x) sin xcosx cos (x ) ．
4
Ⅰ）求 f （x ） 的单调区间；
Ⅱ）在锐角 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为
a,b,c ，若 f (A
) 0,a 1，求 ABC 面积．
又在 BDC ，是 BC 的中点，则 TH DB ，
又 BD 平面 FGH ， TH 平面 FGH ，故 BD // 平面 FGH ．
Ⅱ）由 CF 平面 ABC ，可得 DG 平面 ABC 而， AB BC ， BAC 45 ， 则 GB AC ，于
是 GB,GA,GC 两两垂直，以点 G 为坐标原点， GA,GB,GC 所在的直线，分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系， 设 AB 2,则 DE CF 1,AC 2 2,AG 2 , B （0,
2,0）, C （ 2,0,0）, F （ 2,0,1）, H （ 2, 2
,0） ，
22
则平面 ACFD 的一个法向量为 n 1 （0,1,0） ，设平面 FGH 的法向量为
2
x 2
y 0
，即 2 x 2 2 y 2 0 ， 2x 2 z 2 0
n 2 GH 0
n 2 (x 2,y 2,z 2 ) ，则
n 2 GF 0
取 x
2
1，则 y 2 1,z 2
2 ， n 2 （1,1, 2） ，
11 cos n 1,n 2
1 1
，故平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小为 60 ．
1 1
2 2 18）【2015 年山东，理 18】（本小题满分 12分）设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 2S n 3n 3． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）若数列 {b n } 满足 a n b n log
3 a n ，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ． n 1 1 n 2S n 3n 3可得 a 1 S 1 （3 3） 3 ， a n S n S n 1 （3n
22 3, n 1 ． 3n 1,n 1 ．
解：（Ⅰ）由 11
a 1 3 31 1
，则 a n Ⅱ）由 a n b n log 3 a n 及 a n 3, n 1 33n , 1,n n 11，可得 bn log 3 a n
a n
1
3 n1 3n 1 3) 1(3n 1 3) 3n 1
(n 2) ， 2 n1 n1
T n 1 1 22 33
n n 1
1
，
3 3 32 33
3
n 1
2
1 1
1
1
1
T
n
2 2 3
3
n
3
3
3
2 3
2 3
3 11
2 3 3n
9 1 1
3
T
13 2n 1
T
n
n 1
n
12 4 3n 1
19)【 2015 年山东，理 19】 n 1 2 1 3n
9 2
1T n 3
1 3n 1
n
12 12
23 34
n 2 n 1
32 32
3 4
n 1 1 n2
3
n
3 3
2
3 2 3n
2 2
3
4 n 1 n
3 3 3 3
1 1 1 1 1 n 1 (
2 3
n1 ) n
32 3
3 3
n 1
3
n
n 1 13 2n 1 3n 18 2 3n
若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位 数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数 ”（如 137， 359， 567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加
者需从所有的 “三位递增数 ”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的 的三个数字之积不能被 5 整除， 整除，得 1 分． （Ⅰ）写出所有个位数字是 5 的 （Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分 解：（Ⅰ） 125， 135， 145， 235， 245，
本小题满分 12 分） 三位递增数 ” 参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得 -1 分；若能被 10 “三位递增数 ”；
X 的分布列和数学期望 EX ．
345；
Ⅱ） X 的所有取值为 -1， 0，1．
P(X 0) C C83 32
,P(X
1) C
C4
3
C
9
3
C
9
1 ,P(X 1) C 41 C 413 C 42
11
14 C 93 42
C 93
X
0 -1 1
甲得分 X 的分布列为：
2
2 1
11 P
3 14
42
2 1 11 4
EX 0 32
11
4 ( 1) 411
2 1 24
1
由两圆相交可得 2 2 3b 4，即 1 3b 2，交点
4 1 (
3b
则 2 4 2
3b
2 3b 2 4b
2
b 2
故 b 2 1， a 2 4，椭圆 C 的方程为 x y 2 1．
64k 2m 2
16(4 k 2 1)(m 2
4) 16(16k 2
4 m 2
)
0，| AB |
1 k
2
16(16k 2 4 m 2
)
1 4k 2
2
m 1 4k 2
y kx m y 2 kx 2 m 有解， x 4y 4
即 x 2 4(kx m)2 4,(1 4k 2)x 2 8kmx 4m 2 4 0 有解，
其判别式 1 64k 2m 2 16(1 4k 2)(m 2 1) 16(1 4k 2 m 2) 0 ，即1 4k 2 m 2， 则上述 m 2 8k 2 2 不成立，等号不成立， 设t |m| 2 (0,1] ，则 S 6|m| 16k 24 m 6 (4 t)t 在 (0,1]为增函数， 1 4k 2 1 4k 2
2
Ⅱ）（i ）椭圆 E 的方程为 x y
1，设点 P （x 0, y 0） ，满足
16 4
代入
16 4
1可得点
Q( 2x
0, 2 y 0)
，于是 |OP|
2
x0
y 02 1，射线 PO: y y0
x(xx 0 0) ， 4 x 0
( 2x 0)2
( 2y 0)2
2
．
x 02
y 02
ii )点
Q( 2x 0, 2 y 0 )到直线 AB 距离等于原点 O 到直线 AB 距离的 3倍： y kx m
x 2 y 2 ，得 x 2 4(kx m)2 16 ， 1
16 4 整理得 (1 4k 2 )x 2 8kmx 4m 2 16 0 ． | 2kx 0 2y 0 m| |m| ，
d 3
1 k
2 ，
1 k
2
20）【2015 年山东，理 20】（本小题满分 13 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆
2
xy C: 22 ab
1(a b 0) 的
离心率为 3 ，左、右焦点分别是 F 1, F 2 ,以 F 1为圆心，以
2
1 2 1 交，交点在椭圆 C 上．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
22
（Ⅱ）设椭圆 E: x 2 y 2 1，P 为椭圆 C 上的任意一点，
4a
2 4b
2
射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ．
（i ）求 |OQ |的值；（ii ）求 ABQ 面积最大值．
|OP| 解：（Ⅰ）由椭圆 C : x
2 y
2 1（a b 0） 的离
心率为 3
可知
a 2
b 2
2 3 为半径的圆与以 F 2 为圆心，以 过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 c e a 右焦点分别是 F 1( 3b,0), F 2 ( 3b,0) ,圆 F 1：(x 3b)2 y 2
1 为半径的圆相
E 于 A,B 两点，
3 2 2 2
3 ，而 a 2 b 2 c 2则 a 2b,c 3b ， 左、 2
9,圆 F 2： (x 3b)2
y 2
1,
3b ）2
1
1，整理得 4b 4
5b 2
1 0，解得 b 2
1， b 2 1
（舍去）， 4
2 2 2 m 16k 4 m 6
2 2(4k
2
1)
1 1 |m|
2 2 |m| 16k 2
4
S
| AB |d 3 2 4 16k 2 4 m 2
6
2 2 1 4k 2
当且仅当 |m| 16k 2 4 m 2,m 2 8k 2 2 等号成立．
x 2
而直线 y kx m 与椭圆 C: x y 2 1有交点 P ，则 12 ，
,1
2
2
）在椭圆 C 上，
于是当 1 4k 2 m 2时 S max 6 (4 1) 1 6 3 ，故 ABQ 面积最大值为 12． 21)【2015 年山东，理 21】(本题满分
14 分)设函数 f (x) ln(x 1) a(x 2
x)，其中 a R ．
(Ⅰ)讨论函数 f(x) 极值点的个数，并说明理由； (Ⅱ)若 x 0， f(x) 0成立，求 a 的取值范围．
11
且
x 1 x
2
2
，而 g( 1) 1 0，则 1 x 1 x 2 ，所以当 x ( 1,x 1),g(x) 0, f (x) 0,f(x)单调
递增；当 x (x 1,x 2),g(x) 0,f (x) 0, f (x)单调递减；当 x (x 2, ),g(x) 0, f (x) 0, f (x)单调递增． 因此此时函数 f (x) 有两个极值点；
当 a 0时 0，但 g( 1) 1 0， x 1 1 x 2 ，所以当 x ( 1,x 2 ), g (x) 0, f (x) 0,f (x)单调 递増；当 x (x 2, ),g(x) 0,f (x) 0,f (x) 单调递减，所以函数只有一个极值点．
88
综上可知当 0 a 时 f ( x)的无极值点；当 a 0时 f (x)有一个极值点；当 a 时， f (x)的有两个
99 极值点． Ⅱ)由(Ⅰ)可知当 0 a 8
时 f(x) 在(0, ) 单调递增，而 f(0) 0，
9
则当 x (0, )时， f (x) 0 ，符合题意； 8
当 8
a 1时， g(0) 0,x 2 0， f (x) 在(0, )单调递增，而 f(0) 0， 9
则当 x (0, ) 时， f (x) 0 ，符合题意； 当 a 1时， g(0) 0,x 2 0 ，所以函数 f(x)在 (0,x 2)单调递减，而 f(0) 0， 则当 x (0,x 2) 时， f(x) 0，不符合题意；
当 a 0 时，设 h(x) x ln(x 1)，当 x (0, ) 时 h(x) 1 1 x
0 ，
x11x
h(x)在(0, )单调递增，因此当 x (0, ) 时 h(x) h(0) 0,ln(x 1) 0，
1
于是 f (x) x a(x 2 x) ax 2 (1 a)x ，当 x 1 时 ax 2 (1 a)x 0，
a 此时 f (x) 0 ，不符合题意． 综上所述， a 的取值范围是 0 a 1 ．
另解：(Ⅰ) f(x) ln(x 1) a(x 2 x) ，定义域为 ( 1, )
f (x)
1 a(2x 1) a(2x 1)(x 1) 1 2ax
2 ax 1 a ，
x 1 x 1 x 1
1
当 a 0时， f (x)
0，函数 f (x)在 ( 1, )为增函数，无极值点．
x1
设 g(x) 2ax 2 ax 1 a,g( 1) 1, a 2 8a(1 a) 9a 2 8a ，
当 a 0时，根据二次函数的图像和性质可知 g(x) 0的根的个数就是函数 f(x) 极值点的个数．
8
若 a(9a 8) 0，即 0 a 时， g(x) 0， f (x) 0函数在 ( 1, )为增函数，无极值点．
解：(Ⅰ) f(x) ln(x 1) a(x 2
x) ，定义域为 ( 1, ) ，
2
1 a(2x 1)(x 1) 1 2ax ax 1 a
2 a(2x 1)
，设 g(x) 2ax 2 ax 1 a ，
f (x)
x 1
x1
当 a 0 时， x1
1
g(x) 1,f (x) 1
0，函数 f(x) 在( 1, )为增函数，无极值点． x1
22
a 8a(1 a) 9a 8a ，
当 a 0 时， 8
若
0 a 时 0， g(x) 0,f (x) 0，函数 f(x)在 ( 1, )为增函数，无极值点． 9
8
若 a 时 0，设 g(x) 0的两个不相等的实数根 x 1,x 2 ，且 x 1 x 2 ，
9
9
8
若 a(9a 8) 0，即 a
或a 0，而当 a 0时 g( 1) 0 9
此时方程 g(x) 0在 ( 1, )只有一个实数根，此时函数 f ( x)只有一个极值点； 8
当 a 时方程 g(x) 0在 ( 1, )都有两个不相等的实数根，此时函数 f (x)有两个极值点；
9
88
综上可知当 0 a 9时 f (x)的极值点个数为 0；当 a 0时 f (x)的极值点个数为 1；当 a 9 时，
99
f (x) 的极值点个数为 2．
22 (Ⅱ)设函数 f (x) ln(x 1) a(x 4 x)， x 0，都有 f(x) 0成立，即 ln( x 1) a(x 2
x) 0 当 x 1时， ln2 0 恒成立； 当 x
1时， x 2 x 0， ln(2x 1)
a 0；
x 2 x
当 0 x 1时， x 2 x 0 ， ln(2x 1) a 0；由 x 0均有 ln(x 1) x 成立．
x 2 x
故当 x 1时，， ln(2x 1) 1
(0, ) ，则只需 a 0 ；
x x x 1
当 0 x 1时， ln(2x 1) 1
( , 1)，则需 1 a 0 ，即 a 1．综上可知对于 x 0，都有
x 2 x x 1
f(x) 0 成立，只需 0 a 1即可，故所求 a 的取值范围是 0 a 1．
另解：(Ⅱ)设函数 f (x) ln(x 1) a(x x)， f(0) 0，要使 x 0，都有 f (x) 0成立，只需函数函数 f (x) 在
1
(0, )上单调递增即可，于是只需 x 0， f (x) a(2x 1) 0 成立，
x1
1 1 2
当 x 1 时 a ，令 2x 1 t 0， g(t)
( ,0) ，
2 (x 1)(2x 1) t(t 3)
1 2 1
f ( ) 0 ；当 0 x 1 ， a 2 3 2 (x 1)(2x 1) g(t) 2
关于 t ( 1,0)单调递增， t(t 3)
1，则 a 1，于是 0 a 1 ．
1( 1 3)
又当 a 1时， g(0) 0,x 2 0 ，所以函数 f(x) 在(0, x 2 )单调递减，而 f (0) 0， 则当 x (0, x 2 )时， f (x) 0，不符合题意；
1x 当 a 0时，设 h(x) x ln(x 1)，当 x (0, )时 h(x) 1 0，
x 1 1 x h(x) 在(0, )单调递增，因此当 x (0, ) 时h(x) h(0) 0,ln( x 1) 0，
2 2
1 2
于是 f (x) x a(x 2 x) ax 2 (1 a)x ，当 x 1 时 ax 2 (1 a)x 0，此时 f (x) 0 ，不符合题意．
a
综上所述， a 的取值范围是 0 a 1 ． 评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数
a 的讨论来研究函数的单调性，进一步
确定参数的取值范围； 二是分离参数法， 求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的； 三是凭 借函数单调性确定参数的取值范围， 然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意， 即可 确定所求．
1
则 a 0；当 x 1 时 2
令 2x 1 t ( 1,0) ，
则 g(t) g( 1)。