山东省潍坊市2020届高三数学第一次模拟考试 理(潍坊市一模,含解析)新人教B版

20 1 3年高考模拟考试数 学（理工农医类）
本试卷共4页，分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．
第1卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．复数31i z i +=
-的共轭复数z =
(A) 12i + (B)12i - (C)2i + (D)2i -
【答案】B 【解析】
3(3)(1)24121(1)(1)2i i i i z i i i i ++++=
===+--+，所以12z i =-，选B. 2．设集合
{}|24x A x =≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =I (A)()1,2 (B)[]1,2 (C)[1,2) (D) (1,2]
【答案】D 【解析】{}|24{2}
x A x x x =≤=≤，由10x ->得1x >，即{1}B x x =>,所以{12}
A B x x =<≤I ，所以选D. 3．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】当//αβ时，由l ⊥平面α得，l β⊥，又直线m ∥平面β，所以l m ⊥。

若l m ⊥，则推不出//αβ，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，选A.
4．设随机变量~X N (3，1)，若(4)P X p >=，，则P(2<X<4)=
( A)12p + ( B)l —p (C)l-2p (D)12p -
【答案】C
【解析】因为(4)(2)P X P X p >=<=，所以P(2<X<4)= 1(4)(2)12P X P X p ->-<=-，选C.
5．设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数
2()y x g x =的部分图象可以
为．
【答案】C
【解析】'cos y x =,即()cos g x x =，所以
22()cos y x g x x x ==，为偶函数，图象关于y 轴对称，所以排除A,B.当2cos 0y x x ==，得0x =或
,2x k k Z ππ=+∈，即函数过原点，所
以选C. 6．运行右面框图输出的S 是254，则①应为
(A) n ≤5
(B) n ≤6 (C)n ≤7
(D) n ≤8
【答案】C 【解析】本程序计算的是212(12)2222212n n
n S +-=+++==--L ，由122254n +-=，得12256n +=，解得7n =。

此时18n +=，不满足条件，输出，所以①应为7n ≤，选C.
7．若不等式231x x k -+->-对任意的x R ∈恒成恒成立，则实数k 的取值范围
(A) (-2，4) (B) (0,2) (C) [2，4] (D) [0,2] 【答案】B 【解析】因为23x x -+-的最小值是1，所以要使不等式231x x k -+->-对任意的x R ∈恒成恒成立，则有11k >-，即111k -<-<，所以02k <<，即实数k 的取值范围
(0,2)，选B.
8．某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为
(A)360 (B)520 (C)600 (D)720
【答案】C
【解析】若甲乙只有一个参加，则有
124254480C C A =.若甲、乙同时参加,则有222523120C A A =，
所以共有600种排法，选C. 9．定义12
142334 a a a a a a a a =-，
若函数sin 2 cos2x () 1 x f x =，则将()f x 的图象向右平移3π个单位所得曲线的一条对称轴的方程是
(A)
6x π=
(B)4x π= (C)2x π= (D)x π=
【答案】A 【解析】
由定义可知，()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=-，将()f x 的图象向右平移3
π个单位得到52sin[2()]2sin(2)366y x x πππ=--=-，由52,62x k k Z πππ-=+∈得对称轴为2,32k x k Z ππ=
+∈，当1k =-时，对称轴为
2326x πππ=-=，选A. 1 0．已知,(0,)
2παβ∈，满足tan()4tan αββ+=，则tan α的最大值是
(A)14 (B)34
(D)32
【答案】B
【解析】由tan()4tan αββ+=tan tan 4tan 1tan tan αββαβ+=-，得
23tan tan 14tan βαβ=+，因为(0,)2πβ∈，所以tan 0β>。

所以
3
3tan 144tan tan αββ=≤=+，当且仅当14tan tan ββ=，即
21tan 4β=，1tan 2β=时，取等号，所以tan α的最大值是34，所
以选B.
1 1．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲22
145x y -=的右焦点重合，抛物线的准
线与x 轴的交点为K ，点A
在抛物线上且AK =，则A 点的横坐标为
(A) (B)3
(C) (D)4
【答案】B 【解析】抛物线的焦点为(,0)2p ，准线为2p x =-。

双曲线的右焦点为(3,0)，所以32p =，
即6p =，即
26y x =。

过F 做准线的垂线，垂足为M,
则AK ==，即KM AM =，设(,)A x y ，则3y x =+代入2
6y x =，解得3x =。

选B. 1 2．已知
()(2)(3),()22x f x a x a x a g x -=+--=-，同时满足以下两个条件： ①,()0()0x R f x g x ∀∈<<或；
②(1,)()()0x f x g x ∃∈+∞⋅<，成立，
则实数a 的取值范围是 (A)1(4,)2- (B)1(,4)(,0)2-∞--U
(C)(4,1)(1,0)---U (D)
11(4,2)(,)22---U 【答案】C
【解析】解：由()0g x <⇒1x >-，要使对于任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <成立，则1x ≤-时，()(2)(3)0f x a x a x a =+--<恒成立，故0a <，且两根2a -与3a +均比1-大，得40a -<<①.
因为(1,)x ∈+∞)时，()0g x <，故应存在0(1,)x ∈+∞，使f(x0)>0，
只要12a >-或13a >+即可，所以12a >-或2a <-②，由①、②求交，得14202a a -<<--<<或，即实数a 的取值范围是1(4,2)(,0)2---U ，选C.
第Ⅱ卷 （非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共1 6分．
1 3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则 双
曲线的离心率等于 。

【答案】5
【解析】双曲线的渐近线为b y x a =±。

直线210x y +-=的斜率为
12y =-。

因为b y x a =与直线210x y +-=垂直，所以1()12b a ⋅-=-，即2b a =。

所以22225c a b a =+=，即
25,5e e ==。

1 4．已知一圆柱内接于球O ，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球为O 的表面积为 。

【答案】8π
【解析】圆柱的底面直径与母线长均为2，所以球的直径
2222822+==，即球半径为2，所以球的表面积为24(2)8ππ⨯=。

1 5．在区间[]0,4内随机取两个数a 、b ， 则使得函数22()f x x ax b =++有零点的概率
为 。

【答案】1
4
【解析】函数有零点，则2240a b ∆=-≥，即(2)(2)0a b a b -+≥。

又0404a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩
，做出对应的平面区域为，当4a =时，2b =，即三角形OBC 的面积为14242⨯⨯=，所以由几何概型可知函数22()f x x ax b =++有零点的概率为41444=⨯。

1 6．现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为 10cm ，
最下面的三节长度之和为114cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中 项，则n= 。

【答案】16
【解析】设对应的数列为{}n a ，公差为,(0)d d >。

由题意知110a =，12114n n n a a a --++=，
261n a a a =。

由12114n n n a a a --++=得13114n a -=，解得138n a -=，即
2111(5)()n a d a a d -+=+，即
2(105)10(38)d d +=+，解得2d =，所以11(2)38n a a n d -=+-=，即102(2)38n +-=，解得16n =。

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数2()cos sin (0,0)
2222x x x f x ωϕωϕ
ωϕ
π
ωϕ+++=+><<．其图象的两个相邻对称中心的距离为2π，且过点(,1)
3π．
(I) 函数()f x 的达式；
(Ⅱ)在△ABC 中．a 、b 、c 分别是角A 、B 、C
的对边，a =
ABC S ∆=C 为锐角。

且满7(
)2126C f π-=，求c 的值．
1 8．（本小题满分12分）
某电视台举办有奖竞答活动，活动规则如下：①每人最多答4个小题；②答题过程中，若答对则继续答题，答错则停止答题；③答对每个小题可得1 0分，答错得0分．甲、乙两人参加了此次竞答活动，且相互之间没有影响．已知甲答对每个题的概率为1
3，乙答对每个题的概为2
3．
( I )设甲的最后得分为X ，求X 的分布列和数学期望；
(Ⅱ)求甲、乙最后得分之和为20分的概率．
1 9．（本小题满分1 2分）
如图，四边形ABCD 中，AB AD ⊥,AD ∥BC ，
AD =6，BC =4，AB =2，点E ，F 分别在BC ，AD 上，
且E 为BC 中点，EF ∥AB 。

现将四边形ABEF 沿EF
折起，使二面角A EF D --等于60o ．
( I )设这P 为AD 的中点，求证：CP ∥平面ABEF ；
(Ⅱ)求直线AF 与平面ACD 所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分） o ，‘
已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每
一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列
{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15
b a S === ( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均
构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值；
(Ⅱ)设122111n n n n T S S S +
+=
++⋅⋅⋅+，当[]1,1m ∈-时，对任意n N *∈，不等式
2823n t mt T -->恒成立，求t 的取值范围．
21．（本小题满分12分）
如图，已知圆C 与y 轴相切于点T(0，2)，与x 轴正半轴相交于两点M ，N(点M 必在点N
的右侧），且3MN =椭圆D ：22
221(0)x y a b a b +=>>的焦距等于2ON ，且过点
6(2,) ( I ) 求圆C 和椭圆D 的方程；
(Ⅱ) 设椭圆D 与x 轴负半轴的交点为P ，若过点M 的动直线l 与椭圆D 交于A 、B 两点，ANM BNP ∠=∠是否恒成立？给出你的判断并说明理由．
22．（本小题满分14分）
设函数321()(4),()ln(1)3f x mx m x g x a x =++=-，其中0a ≠．
( I )若函数()y g x =图象恒过定点P ，且点P 关于直线
32x =的对称点在()y f x =的图象
上，求m 的值；
(Ⅱ)当8a =时，设()'()(1)F x f x g x =++，讨论()F x 的单调性； (Ⅲ)在(I)的条件下，设
(),2()(),2f x x G x g x x ≤⎧=⎨>⎩，曲线()y G x =上是否存在两点P 、Q ， 使△OPQ(O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y 轴上？如果存在，求a 的取值范围；如果不存在，说明理由．。