第七章复数复习课件-人教A版高一数学必修第二册

复数的运算
1．复数的加、减、乘、除运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝____________；
那么 BC 对应的复数为(
)
A．4＋7i
B．1＋3i
【答案】C 【解析】
BC BA AO OC AB OA OC 1 5i (2 i) 3 2i 4 4i ，选 C.
C．4－4i
D．－1＋6i
2．(2015·天津卷)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是 纯虚数，则实数 a 的值为________．
2. 设 3＋4i 的辐角主值为 θ，则(3＋4i)·i 的辐角主值是( )
A．π2＋θ
B．π2－θ
C．θ－π2
D．32π－θ
3. 复平面内向量A→B对应的复数为 2＋i，A 点对应的复数为－1，
现将A→B绕 A 点顺时针方向旋转 90°后得到的向量为A→C，则点 C 对应的复数为_________.
求∠Z2OZ1，并判断△OZ1Z2 的形状．
解
ZZ12＝17＋＋2
3i 3i
＝17＋＋2
3i7－ 3i7－
33ii＝14(1＋
3i)
＝12cosπ3＋isinπ3，
∴∠Z2OZ1＝π3，且||OO→→ZZ12||＝12. ∴△OZ1Z2 为直角三角形．
【变式练习】
1.复数 2cosπ6＋isinπ6×52cosπ3＋isinπ3＝_________.
答案：B
复数的有关概念
【例 1】 (1)已知 i 是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b
＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)设 i 是虚数单位，复数12＋－aii为纯虚数，则实数 a 为
() A．2
B．－2
C．－12
的倍，如果所得向量为 OZ , 则 OZ 对应的复数为 z1z2 ，当2 0 时，
按 逆时针方向旋转角 2 ，当2 0 时，按 顺时针方向旋转角| 2 | .
3.复数三角形式的除法法则
法则： r1(cos1 sin1i) r2 (cos2 sin2i)
模相除，辐角相减.
几何意义：设 z1, z2 对应的向量分别为 OZ1,OZ2 ，将 OZ1 绕原点 O 旋转 2 ，
1 再将 OZ1 的模变为原来的 r2
倍，如果所得向量为 OZ , 则 OZ 对应的复数为 z1 . z2
当2 0 时，按 顺时针方向旋转角 2 ，当2 0 时，按逆时针方向旋转角| 2 |
【典型例题】
例 7. 在复平面内，O 是原点， OA, OC, AB 对应的复数分别为－2＋i，3＋2i, 1＋5i，
1 D.2
【解析】 (1)当 a＝b＝1 时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反 之，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则 a2－b2＝0，2ab＝2，解 得 a＝1，b＝1 或 a＝－1，b＝－1.故“a＝b＝1”是“(a＋ bi)2＝2i”的充分不必要条件，应选 A.
(2)12＋－aii＝12＋－aii·22＋ ＋ii ＝2－a＋（52a＋1）i， ∵12＋－aii是纯虚数，且 a∈R，∴22－ a＋a＝ 1≠0， 0，∴a＝2. 【答案】 (1)A (2)A
3．共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔__________(a，b， c，d∈R)．
4．复数的模：
向量―O→Z 的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作
|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝________．
复数的几何意义
1．复数 z＝a＋bi一一对应复平面内的点 Z(a，b)(a，b ∈R)．
答案：1.5i，2.A，3.-2i
小结：
1．判定复数是实数，仅注重虚部等 于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有 意义．
2．对于复系数(系数不全为实数)的一 元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解， 一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解．
3．两个虚数不能比较大小． 4．利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b， c，d∈R 的前提条件．
2．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应____________． 答案
2．平面向量―O→Z
3.复数减法的几何意义：如果复数 z1, z2 所对应的向量分别为 OZ1 与 OZ2 根据向量加法的三角形法则有： OZ2 Z2Z1 OZ1 ．于是： OZ1 OZ2 Z2Z1 ． 由平面向量的坐标运算： OZ1 OZ2 (a c,b d) ，即得 Z2Z1 与复数 z1 z2 对应．
解： (1)原式＝ 2× 3cosπ3＋76π＋isinπ3＋76π＝ 6cos32π＋isin32π＝－ 6i. (2)原式＝2cos23π＋isin23π×2cos23π＋isin23π＝4cos23π＋23π＋sin23π＋23π ＝4cos43π＋isin43π＝4－21－ 23i＝－ 2－2 3i. (3) 原式＝ 22cocsos0π5＋＋isisinin0π5＝ 2cos－π5＋isin－π5.
2.复数三角形式的乘法法则
法则：r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝ r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］
模相乘，辐角相加.
几何意义：设 z1, z2 对应的向量分别为 OZ1,OZ2 ，将 OZ1 绕原点旋转 2 ，再将 OZ1 的
模变为原来 r2
① z1 z2 ；② | z1 || z2 | ；
③复数 z1 与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数 z2 的虚部为 0.
其中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式练习】
1． i
表示虚数单位，则
1 1
i i
2012
______.
【答案】1 【解析】
解： 1 i 1 i2 i 1 i 1 i1 i
且 i1 i ， i2 1， i3 i ， i4 1， i5 i ……
11
i i
2012
i 2012
i 4503
i4

1
考点 4：复数的三角形式及几何意义
1.复数的三角形式 z＝a+bi＝r（cos θ+isin θ）的右边称为非零复数 z＝a+bi 的三角形式，
其中的 θ 称为 z 的 辐角 在［0，2π）内的辐角称为 z 的辐角主值，记作 arg z
例 9.如图，向量O→Z对应的复数为－1＋i，把O→Z绕点 O 按逆时针方向旋转 150°， 得到O→Z1.求向量O→Z1 对应的复数(用代数形式表示)
解：向量O→Z1 对应的复数为
(－1＋i)(cos 150°＋isin 150°)
＝(－1＋i)－ 23＋12i＝
32－1－
3＋1 2 i.
例 10. 如图，若O→Z1 与O→C2 分别表示复数 Z1＝1＋2 3i，Z2＝7＋ 3i，
(4)
除
法
：
z1 z2
＝
a＋bi c＋di
＝
（a＋bi）（c－di） （c＋di）（c－di）
＝
______________(c＋di≠0)．
【变式练习】
1．若复数 z 满足 i z 1 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的虚部为________. 2．已知复数 z1(1 i) 3 i ，复数 z2 i(1 i)2 ，给出下列命题：
复数的几何意义
【例 2】 (1)如右图所示，在复平面内，
点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复
数的点是( )
A．A
B．B
C．C
D．D
【典型例题】
例 8. 计算：
(1) 2cosπ3＋isinπ3× 3cos76π＋isin76π ； (2)2cos23π＋isin32π2； (3) 2÷ 2cosπ5＋isinπ5
复数复习
复数的概念
1．复数的概念： 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它 的实部和______．若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a ＋bi 为虚数；若____________，则 a＋bi 为纯虚数． 2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c， d∈R)．
解析：复数(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i，为纯虚数， 则 a＋2＝0，且 1－2a≠0，解得 a＝－2.
答案：－2
3．复数 z＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点
位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数 z 在复平面上对 应的点的坐标为(－1，1)，位于第二象限．
课本练习部分