求解函数定义域-值域-解析式讲义(精华版)

求解函数定义域-值域-解析式讲义(精华版)
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求解函数定义域、值域、解析式
【课堂笔记】
知识点一 定义域、值域的定义
在函数)(x f y =中，x 叫做自变量，x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的值y 叫作函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。

下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。

（1）当函数是以解析式的形式给出的时候，其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。

（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。

注意：（1）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，要注意逻辑连接词的恰当使用。

（2）定义域是一个集合，其结果可用集合或区间来表示。

（3）若函数)(x f 是整式型函数，则定义域为全体实数。

（4）若函数)(x f 是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。

（5）若函数)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。

（6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。

（7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有
意义的公共部分的集合。

（8）复合函数的定义域问题：
①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出；
②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ，则函数)(x f 的定义域，即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值
域。

【例1】求下列函数的定义域
（1）1+=x y （2）x y -=
21 （3）0)1(21-+-=x x
y
【例2】 求下列函数的定义域 （1）x y ++=1111
； （2）1
42--=x x y ；
（3）232-751
x x y +-=； （4）1
11032---+=x x x y
【当堂检测】
1. 函数x
x x y 432+--=的定义域为（ ） A. [-4,1] B. [)0,4- C. (]1,0 D. [)(]1,00,4⋃-
2．函数x x x y +-=)1(的定义域为（ ） A. }0{≥x x B. }1{≥x x C. {0}}1{ ≥x x D. }10{≤≤x x
3.求下列函数的定义域
（1）23)(+=x x f （2）x x x f -++=211)( （3）x
x x f ++-=511)(
知识点二 抽象函数（复合函数）的定义域
1. 抽象函数求定义域问题的关键是注意对应关系，在同一对应关系作用下，不管接受对应关系的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。

2. 已知函数)(x f 的定义域为],[b a ，则函数)(）（x g f 的定义域是指满足不等式b x g a ≤≤)(的x 的取值集合。

一般地，函数)(）（x g f 的定义域为],[b a ，指的是],[b a x ∈，要求)(x f 的定义域，就是求],[b a x ∈时)(x g 的值域。

【例1】已知)(x f y =的定义域为]2,0[，求 ①)(2x f ；②)12(-x f ；③)2(-x f 的定义域。

【例2】已知函数)1(2-x f 的定义域为]1,0[，求)(x f 的定义域。

【例3】已知函数)(x f 的定义域为]1,0[，求)0)(()()(>-++=m m x f m x f x g 的定义域。

【当堂检测】
1、已知)(x f 的定义域为]2,0[，求)1(+=x f y 的定义域。

2、已知)1(+=x f y 的定义域为]2,0[，求)(x f 的定义域。

3、已知函数)1(+x f 的定义域为[-2,3），求)21(+x
f 的定义域。

知识点三 函数解析式求法
1.待定系数法
当已知函数)(x f 的类型时，要求函数)(x f 的解析式，可先由其类型设出解析式，然后根据已知条件列方
程（组）求解。

如已知)(x f 为一次函数，且其图像经过点（0,1）和（1,0），可设b kx x f +=)(（0
≠b
），将已知点的坐标代入得⎩⎨⎧=+=01b k b ，解得此方程组得⎩
⎨⎧=-=11b k ，故1)(+-=x x f 。

【例1】 设1613)13()2(2
-+=++x x x f x f ，求)(x f 。

【例2】已知函数2)(x x f =，)(x g 为一次函数，且一次项系数大于0，若25204)]([2
+-=x x x g f ， 求)(x g 的解析式。

【当堂检测】
1、若2627)))(((+=x x f f f ，求一次函数)(x f 的解析式。

2、若)(x f 是二次函数，且满足,2)()1(,1)0(x x f x f f =-+=求)(x f 。

2.配凑法
已知)]([x g f 的解析式，要求)(x f 时，可从)]([x g f 的解析式中拼凑出“)(x g ”作为整体来表示，再将解析式两边的)(x g 都用x 代替即可。

如已知1)1(2
++=+x x x f （此解析式中的)(x g = 1+x ），求)(x f 时，
可整理22)1(1)1(+=++=+x x x x f ，用x 代替等号两边的1+x ，得2)(x x f =。

【例3】 已知23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；
【当堂检测】
1. 已知x
x x x x f 11)1(22++=+，求)(x f
2. 已知2)1()1(x
x x x f +=-
，求函数)(x f 的解析式；
3.换元法
令)(x g t =，等价变换为用t 表示x 的解析式。

然后求出)(t f 的解析式，最后用x 代替等式两边所有的t 即可。

如已知1)1(2++=+x x x f ，令1+=x t ，则1-=t x ，所以221)1(2)1()(t t t t f =+-+-=，故2)(x x f =。

【例4】 若x x f x f 2)1(2)1(3=-+-，求)(x f 。

【当堂检测】
1. 已知2)1(2
++=+x x x f ，求)3(),()3(+x f x f f 及
2. 已知),0(5)1
(2
≠+=x x x x f 求)(x f 的解析式。

3.已知函数x x x f 21
+=+）（，求函数)(x f 的解析式。

4.方程组法
当关系式中同时含有)(x f 与)(x f -或)(x f 与)1
(x f 时，常将原式中的x 用x -（或x
1）代替， 从而得到另一个同时含)(x f 与)(x f -或)(x f 与)1
(x
f 的关系式，将这两个关系式联立，解方程组解出)(x f 。

如已知)0()1()(2≠-=+x x x f x f ，求)(x f 的解析式时，可将原式中的x 用x
1代替，可得)0(1)()1(2≠-=+x x x f x f ，解方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+-=+x x f x f x x f x f 1
)()1(2)1()(2得x x x f 3132)(+-=。

【例5】 设x x
f x f 4)1
(2)(3=+，求)(x f 的解析式。

【当堂检测】
1.若,,4)43()34(2
2b a x x bf x af ≠=-+-求)(x f 的解析式。

2. 已知)1,0(1)1()(≠+=-+x x
x x f x f ，求)(x f 的解析式。

5.特殊值法
所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，求出未知的函数。

至于取什么特殊值，根据题目特征而定。

【例6】设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对任意实数y x ,有
)12()()(+--=-y x y x f y x f ，求)(x f 的解析式。

知识点四 函数值域的求法【重点、难点】
1. 观察法
通过对函数解析式进行变形，利用熟悉的基本函数的值域，求函数的值域。

如求函数112+=x y 的值域，由02≥x 得112≥+x ，再求倒数得11
102≤+<x ，故其值域为]1,0(。

【例1】 求下列函数的值域：
（1）}5,4,3,2,1{,12∈+=x x y ； （2）1+=x y
2. 配方法
对二次函数型的解析式可先进行配方，在自变量的取值范围内，求出二次函数的值域的方法，这就是配方法。

【例2】求函数245x x y -+=的值域。

3. 换元法
通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数划归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。

【例3】 求函数12-+=x x y 的值域。

4. 分离常量法
将形如)0(ad bc ac b
ax d cx y ≠≠++=
且的函数分离常数，变形过程为b ax a bc d a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx +-+=+-++=++)(，再结合x 的取值范围确定b ax a bc d +-的取值范围，从而确定函数的值域。

【例4】 求函数2
415+-=
x x y 的值域。

5. 判别式法
将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些可化为关于自变量的二次方程的函数，使用此法要特别注意自变量的取值范围。

【例5】 求函数1
22+--=x x x x y 的值域。

【当堂检测】
求下列函数的值域：
（1）52+=x y （2）)5,1[,642∈+-=x x x y （3）R x x x y ∈++-=,4
124 （4）12--=x x y （5）5
312++=x x y 。

知识点五 函数定义域、值域的逆向应用
1. 函数定义域的逆向应用
定义域的逆向问题在思考时要调整思维方向，在定义域已知的情况下，根据函数类型列出相应关系式，求出参数的范围。

【例1】 （1）若函数12)1()1()(22++
-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

（2）判断k 为何值时，函数1
2822++-=
kx kx kx y 关于x 的定义域为R 。

2. 函数值域的逆向应用
【例2】求使函数1
222+--+=x x ax x y 的值域为)2,(-∞的a 的取值范围。

知识点六 数学思想方法
方法一 分类讨论思想
【例1】 已知函数862++-=m mx mx y 的定义域是R ，求实数m 的取值范围。

方法二 函数与方程思想
【例2】 求函数3
274222++-+=x x x x y 的值域。

方法三 转化思想
【例3】 求函数x x y 21--=的值域。

第二部分：【小试牛刀】
1. (全国考高Ⅰ)函数x x y +-=1的定义域（ ）
A. }1{≤x x
B. }0{≥x x
C. }01{≤≥x x x 或
D. }10{≤≤x x
2. (全国高考)函数x x x +-=)1(y 的定义域（ ） A. }0{≥x x B. }1{≥x x C. {0}}1{ ≥x x D. }10{≤≤x x
3.（上海高考）函数1
6)(2-++-=x x x x f 的定义域____________. 4. (江西高考)函数x x x x f 43)(2+--=
的定义域______________. 5.求下列函数的定义域：
（1）2
322---=x x x y （2）x x y -⋅-=11； （3）x
y --=113 （4）2253x x y -+-=
6. 复合函数求定义域
（1）已知函数)(x f 的定义域为]23,21[-，求)0)(()()(>+=a a
x f ax f x F 的定义域。

（2）已知函数)12(+x f 的定义域为（0,1），求)12(-x f 的定义域。

7. 已知x x
f x xf 2)11()(2=-+，求函数)(x f 的解析式。

8.（1）已知64)1(2
-+-=-x x x f ，求)(x f 的解析式； （2）已知2
2
11)11(x x x x f +-=+-，求)(x f 的解析式； （3）设)(x f 的定义域在（1，+∞）上的一个函数，且有1)1
(2)(-=x x
f x f ，求)(x f 的解析式。