上海市光学校选修一第二单元《直线和圆的方程》检测(含答案解析)

一、选择题
1．如图一所示，在平面内，点P 为圆O 的直径AB 的延长线上一点，2AB BP ==，过动点Q 作圆的切线QR ，满足2PQ QR =，则QAP 的面积的最大值为（ ）
A ．
83
B 83
C ．
163
D 163
2．过点()0,0A 、()2,2B 且圆心在直线24y x =-上的圆的标准方程为（ ） A ．()2
224x y -+= B ．()2
224x y ++= C ．()()2
2
448x y -+-=
D ．()()2
2
448x y ++-=
3．若圆222(3)(5)x y r -+-=上有且只有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ） A ．(4,6)
B ．[4,6]
C ．(,4)-∞
D ．(6,)+∞
4．已知圆221:4420C x y x y +---=，圆22
2:2880C x y x y +++-=，则圆1C 与圆
2C 的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．外切
C ．相交
D ．相离
5．已知M (3，3)，N (－1，3)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为（ ） A 5B ．3C ．2
D ．36．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=2，则实数r 的取值范围为（ ） A ．(0,22) B ．(22,32]
C ．(32,)+∞
D ．32+∞[,)
7．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ）
A ．4x +y -6=0
B ．x +4y -6=0
C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0
D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=0
8．已知圆22:(2)2C x y ++=，则在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切的直线有几条（ ） A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
9．过坐标原点O 作圆()()2
2
341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )
A ．
5
B ．5
C
D 10．过点()3,1作圆()2
211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）
A ．230x y +-=
B ．230x y --=
C ．430x y --=
D ．430x y +-=
11．已知直线0(0)x y a a +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原
点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（ ）
A ．)+∞
B ．(2,)+∞
C ．[2,
D ．
12．直线:210l x my m +--=与圆22:(2)4C x y +-=交于A B 、两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ） A ．2410x y +-= B ．2430x y -+= C ．2410x y ++=
D ．2430x y ++=
二、填空题
13．已知圆O ：221x y +=，圆M ：22()(2)2x a y -+-=．若圆M 上存在点P ，过点
P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA PB ⊥，则实数a 的取值范围为______．
14．已知点P 为直线3450x y +-=上的任意一个动点，则点P 到点()3,0A 的距离的最小值是______.
15．直线:=l y kx O:221x y +=相交于,A B 两点，当AOB ∆的面积达到最大时，k =_______
16．若直线4(1)80x m y +++=与直线2390x y --=平行，则这两条平行线间的距离为_________.
17．已知圆()2
2
2
:2400C x y mx y m m +--+=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为
，则m =______．
18．已知直线1:350l x y +-=，2:310l kx y -+=．若1l ，2l 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k =________．
19．直线l 过点()2,3P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为_________．
20．若实数,a b ∈R 且0b ≠，则()2
2
1a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝
⎭的最小值为_______.
三、解答题
21．已知圆C 经过点()0,1A ，()2,1B ，()3,4M ． （1）求圆C 的方程；
（2）设点P 为直线l ：210x y --=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为
E ，
F ．若60EPF ∠=︒，求点P 的坐标．
22．圆心为C 的圆经过点(4,1)A -和(3,2)B -，且圆心C 在直线:20l x y --=上.
（1）求圆心为C 的圆的方程；
（2）过点(5,8)P 作圆C 的切线，求切线的方程.
23．已知圆1C 过点(0,6)A ，且与圆2
2
2:10100C x y x y +++=相切于原点，直线
:(21)(1)740l m x m y m +++--=．
（1）求圆1C 的方程；
（2）求直线l 被圆1C 截得的弦长最小值．
24．若过点P 的两直线1l ，2l 斜率之积为()0λλ≠，则称直线1l ，2l 是一组“P λ共轭线对”. （1）若直线1l ，2l 是一组“3O -共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角； （2）若点()0,1A ，()1,0B -，()1,0C 分别是直线PQ ，QR ，RP 上的点（A ，B ，C ，P ，Q ，R 均不重合），且直线PR ，PQ 是一组“1P 共轭线对”，直线QP ，QR 是一组“4Q 共轭线对”，直线RP ，RQ 是一组“9R 共轭线对”，求点P 的坐标；
（3）若直线1l ，2l 是一组“2M -共轭线对”，其中点(1,M -，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围.
25．当实数m 的值为多少时，关于,x y 的方程()()
222221220m m x m m y m +-+-+++=表示的图形是一个圆?
26．从圆外一点()4,4P -作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）求以OP 为直径的圆的方程； （2）求线段AB 的长度．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点Q 的轨迹方程，可得点Q 到AP 距离的最大值，由此能求出QAP 的面积的最大值. 【详解】
以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系， 因为2AB BP ==，所以()3,0P
，设(),Q x y
因为过动点Q 作圆的切线QR ，满足2PQ QR =，
()2224PQ QO OR =-
所以()()
2
2
2
2
341x y x y -+=+-，
整理得：()2
2
1613
x y ++=
， 所以点Q 的轨迹是以()1,0-3
所以当点Q 在直线1x =-上时，3
y =此时点Q 到AP 距离最大，QAP 的面积的最大，
所QAP 的面积最大为1183
4223333
QAP
S AP =⨯=⨯==
， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是建立直角坐标系，设(),Q x y ，利用
()222244PQ QR OQ OR ==-，即可求出点Q 的轨迹方程，可得点Q 到AP 距离的最大
值，即为三角形高最大，从而QAP 的面积最大.
2．A
解析：A 【分析】
设圆心的坐标为(),24a a -，根据圆心到点A 、B 的距离相等可得出关于实数a 的等式，求出a 的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程. 【详解】
设圆心为(),24C a a -，由AC BC =()()()
2
22
224226a a a a +-=
-+-
整理可得20a -=，解得2a =，所以圆心()2,0C ，
所求圆的半径为2AC =，因此，所求圆的标准方程为()2
2
24x y -+=.
故选：A. 【点睛】
方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：
（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于x 、y 的方程即可； （2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；
（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.
3．D
解析：D 【分析】
首先求圆心到直线的距离d ，再根据条件，列式1d +和半径r 比较大小，求r 的取值范围. 【详解】
圆心()3,5到直线432x y +=的距离5d =
=，
若圆上有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则51r >+，即6r >. 故选：D 【点睛】
思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，与直线432x y +=距离为1的两条直线与圆有4个交点，根据点到直线的距离，建立不等式求解.
4．C
解析：C 【分析】
把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆位置关系． 【详解】
解：圆22
1:4420C x y x y +---=，22
(2)(2)10-+-=x y ，()12,2C ，1r =， 圆222:2880C x y x y +++-=，22
(1)(4)25x y +++=，()21,4C --，25r =，
125r r +=，215r r -=
12C C =
=55-<<+，∴两圆相交.
故选：C. 【点睛】
方法点睛：先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再求出两圆的圆心距、半径之和、半径之差，根据三者之间的大小关系即可得到两圆的位置关系.
5．B
解析：B 【分析】
首先利用题中所给的点N (－1，
，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】
易知NF 的斜率k
NF 的方程为y
(x －1)，
＋y
＝0. 所以M 到NF
.
故选：B. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：
（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；
（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.
6．D
解析：D 【分析】
根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】
圆2
2
2
:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：
d =
=，
且直线20x y ++=不过圆心，
若圆2
2
2
:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=
，
则有r ≥= 所以实数r
的取值范围为+∞[)， 故选：D. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下： （1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心； （2）结合题中条件，得到r 的取值范围.
7．D
解析：D 【分析】
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程.
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立； 当直线l 的斜率存在时，
设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=， ∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，
=
解得4k =-或32
k =-
.:.直线l 的方程为4420x y --++=或33
2022
x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-=
故选：D 【点睛】
解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.
8．C
解析：C 【分析】
先看直线不过原点的情况，设出直线的方程，斜率为1-，则可知这样的直线有2条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有2条，最后验证以上4条中有一条是重复，最后综合得到结论. 【详解】
若直线不过原点，其斜率为1-，设其方程为y x m =-+，
则d =
=0m =或4-，
当0m =时，直线过原点；
若过原点，把()0,0代入()2
200242++=>，
即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生数形结合的思想和对基本知识的理解，属于中档题.
9．A
解析：A 【分析】
求得圆的圆心坐标和半径，借助11
222
AOM AB S OA MA OM ∆=
⨯⨯=⨯⨯
，即可求解.
如图所示，设圆()()2
2
341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =， 则22345OM =+=,2512426OA =-==，
则11
222
AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯
，可得2465OA MA AB OM ⨯⨯==， 故选A.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．A
解析：A 【分析】
求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程． 【详解】
圆2
2
(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，
以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2
215(2)()24x y -+-=，
因为过点()3,1圆()2
211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，
所以，AB 是两圆的公共弦，
将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=， 故选：A ． 【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
11．C
解析：C 【分析】
设AB 的中点为C ，由||
||OA OB AB +，可得||
||OC AC ，则
222||||4AC OC =≤+，再结合直线与圆相交列不等式，即可求出实数a 的取值范
围． 【详解】
设AB 的中点为C ， 因为||||OA OB AB +，
所以||||OC AC ，
因为||OC =
，
所以22
2||||4AC OC =≤+，
所以2a -或2a ，
2<
，所以a -<< 因为0a >，所以实数a 的取值范围是[2
，， 故选：C ． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的加法运算，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．B
解析：B 【分析】
先求出直线经过定点1(,1)2
P ，圆的圆心为()0,2C ，根据直线与圆的位置关系可知，当
CP l ⊥时弦AB 最短，根据1CP l k k ⋅=-求出m 的值，即可求出直线l 的方程.
【详解】
解：由题得，(21)(1)0x m y -+-=，
21010x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得：121
x y ⎧=⎪
⎨⎪=⎩， 所以直线l 过定点1
(,1)2
P ，
圆2
2
:(2)4C x y +-=的圆心为()0,2C ，半径为2，
当CP l ⊥时，弦AB 最短，此时1CP l k k ⋅=-， 由题得
21
2
1
02
CP k -=
=--，12
l k ∴=，
所以21
2
m -=，4m ∴=-， 所以直线l 的方程为：2430x y -+=.
故选：B. 【点睛】
本题考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查分析推理和化简运算能力.
二、填空题
13．【分析】将转化为由圆与圆：有公共点可解得结果【详解】因为所以所以所以圆与圆：有公共点所以所以得所以故答案为：【点睛】关键点点睛：转化为圆与圆：有公共点求解是解题关键 解析：22a -≤≤
【分析】
将PA PB ⊥转化为PO =，由圆222x y +=与圆M ：22
()(2)2x a y -+-=有公共
点可解得结果. 【详解】
因为PA PB ⊥，所以4
APO BPO π
∠=∠=，
所以1PA PB ==，PO =
，
所以圆2
2
2x y +=与圆M ：22
()(2)2x a y -+-=有公共点，
所以OM PO PM ≤+=
=
≤24a ≤，所以22a -≤≤. 故答案为：22a -≤≤ 【点睛】
关键点点睛：转化为圆22
2x y +=与圆M ：22
()(2)2x a y -+-=有公共点求解是解题
关键.
14．【分析】利用点到直线距离公式可求得点A 到直线的距离即为直线上点到点A 距离的最小值【详解】根据点到直线的距离公式可得结合图像点到直线的距离为即直线上一动点到的距离的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛
解析：4
5
【分析】
利用点到直线距离公式，可求得点A 到直线的距离，即为直线上点到点A 距离的最小值. 【详解】
根据点到直线的距离公式可得，结合图像
点()3,0A 到直线3450x y +-=的距离为22
33054
5
34⨯+-==
+d ，即直线3450x y +-=上一动点P 到()3,0A 的距离的最小值为45
， 故答案为：45
． 【点睛】
关键点点睛：本题考查了点到直线距离公式的应用，解题的关键是分析题意，结合图像将直线上动点P 到点A 的距离的最小值转化为点A 到直线的距离，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于基础题.
15．【分析】由三角形面积公式可得当时的面积达到最大进而可得圆心到直线的距离即可得解【详解】由圆可得圆心坐标为半径将直线的方程化为因为所以当即时的面积达到最大此时圆心到直线的距离解得故答案为：【点睛】关键 解析：3【分析】
由三角形面积公式可得当2
AOB π
∠=时，AOB 的面积达到最大，进而可得圆心到直线
的距离，即可得解. 【详解】
由圆2
2
:1O x y +=可得圆心坐标为()0,0O ,半径1r =，
将直线的方程化为:20l kx y -=， 因为11
sin sin 22
AOB S OA OB AOB AOB =
⋅∠=∠△， 所以当sin 1AOB ∠=即2
AOB π
∠=
时，AOB 的面积达到最大，
此时圆心()0,0O 到直线AB 的距离22222
1
1
d k k ， 解得3k = 故答案为：3
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用三角形面积公式转化面积最值为圆心到弦的距离，细心计算即可得解.
16．【分析】根据两直线平行求得得到两直线的方程再结合两直线间的距离公式即可求解【详解】由直线与直线平行可得解得即两条分别为和所以两直线间的距离为故答案为：【点睛】两平行线间的距离的求法：利用转化法将两条
【分析】
根据两直线平行，求得7m =-，得到两直线的方程，再结合两直线间的距离公式，即可求解. 【详解】
由直线4(1)80x m y +++=与直线2390x y --=平行， 可得4(3)2(1)m ⨯-=+，解得7m =-， 即两条分别为2340x y ++=和2390x y --=，
所以两直线间的距离为
d ==
【点睛】
两平行线间的距离的求法：
利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式进行求解.
17．1【分析】根据题意求出圆的圆心与半径由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d 利用点到直线的距离公式可得解可得m 的值即可得答案【详解】根据题意圆即其圆心C 为半径若圆C 被直线截得的弦长为则圆心到直线
解析：1 【分析】
根据题意，求出圆的圆心与半径，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d ，利用
点到直线的距离公式可得d ==m 的值，即可得答案.
【详解】
根据题意，圆()2
22
:2400C x y mx y m m +--+=>，
即()()2
2
24-+-=x m y ，其圆心C 为()m,2，半径2r
，
若圆C 被直线:30l x y -+=截得的弦长为
则圆心到直线l 的距离d =
=
圆心到直线l 的距离d ==
，
则有=1m =或-3（舍），故1m =，
故答案为：1． 【点睛】
思路点睛：涉及直线与圆相交的弦长问题，主要是利用垂径定理，即圆心到直线的距离、弦长的一半以及圆的半径构成直角三角形来解.
18．【分析】由l1l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆可得此四边形存在一组对角的和等于180°当直线l2的斜率大于零时根据l1⊥l2由此求得k 的值当直线l2的斜率小于零时应有∠ABC 与∠ADC 互补即t 解析：1k =±
【分析】
由l 1，l 2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，可得此四边形存在一组对角的和等于180°．当直线l 2的斜率大于零时，根据l 1⊥l 2 ，由此求得k 的值．当直线l 2的斜率小于零时，应有∠ABC 与∠ADC 互补，即tan ∠ABC ＝﹣tan ∠ADC ，由此又求得一个k 值，综合可得结论． 【详解】
由题意知，l 1，l 2与两坐标轴围成的四边形有一组对角互补．
由于直线l 1：x +3y ﹣5＝0是一条斜率等于13
-的固定直线，直线l 2：3kx ﹣y +1＝0经过定点A （0，1），
当直线l 2的斜率大于零时，应有l 1⊥l 2 ，∴3 k ×（13
-）＝﹣1，解得 k ＝1．
当直线l 2的斜率小于零时，如图所示：设直线l 1与y 轴的交点为B ，与x 轴的交点为C ，l 2 与x 轴的交点为D ，
要使四边形ABCD 是圆内接四边形，应有∠ABC 与∠ADC 互补，即tan ∠ABC ＝﹣tan ∠ADC ．
再由tan （90°+∠ABC ）＝K BC 1
3
=-，可得tan ∠ABC ＝3，∴tan ∠ADC ＝﹣3＝K AD ＝3k ，解得 k ＝﹣1．
综上可得，k ＝1或 k ＝﹣1， 故答案为±1．
【点睛】
本题考查两条直线垂直的条件，直线的倾斜角、斜率间的关系，存在一组对角的和等于180°的四边形一定有外接圆，属于基础题．
19．3x ﹣2y+12=0【详解】设A （x0）B （0y ）由中点坐标公式得：解得：x=﹣4y=6由直线过点（﹣23）（﹣40）∴直线的方程为：即3x ﹣2y+12=0故答案为3x ﹣2y+12=0
解析：3x ﹣2y+12=0 【详解】
设A （x ，0）、B （0，y ），由中点坐标公式得：002322
x y
++=-=， 解得：x=﹣4，y=6，由直线l 过点（﹣2，3）、（﹣4，0），
∴直线l 的方程为：32
0342
y x -+=--+， 即3x ﹣2y+12=0． 故答案为3x ﹣2y+12=0
20．2【分析】根据两点间的距离公式的几何意义可知表示点到点的距离点在直线上点在曲线上通过平移法设曲线的切线方程联立切线方程和曲线方程通过求出可求出切线方程最后利用两平行线间的距离公式求出两平行直线与的距
解析：2 【分析】
()2
2
1a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝
⎭(),a a 到点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离，点
(),a a 在直线y x =上，点1,b b ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
在曲线1
y x
=-
上，通过平移法，设曲线1
y x
=-的切线方程y x m =+，联立切线方程和曲线方程，通过0∆=求出m ，可求出切
线方程，最后利用两平行线间的距离公式，求出两平行直线0x y -=与20x y -+=的距()2
2
1a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝
⎭.
【详解】
表示点(),a a 到点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离， 而点
(),a a 在直线y x =上，点1,b b ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
在曲线1
y x
=-
上， 将直线y x =平移到与曲线1
y x
=-
相切，设切线为y x m =+，
切线方程和曲线方程联立，即1y x m
y x =+⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，得210x mx ++=，
则240m ∆=-=，解得：2m =±，
当2m =时，切线方程为：2y x =+，即20x y -+=， 所以两平行直线0x y -=与20x y -+=
的距离为：
d =
=
，
所以()2
2
1a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝
⎭的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】
本题考查利用两点间距离的几何意义求最值，考查两点间的距离公式以及两平行线间的距离公式的应用，还涉及两平行线的斜率关系和一元二次方程根的判别式，考查转化思想和运算能力.
三、解答题
21．（1）222650x y x y +--+=；（2）()1,1--或2711,55⎛⎫
⎪⎝
⎭． 【分析】
（1）设出圆C 的一般方程，将()0,1A ，()2,1B ，()3,4M 三点代入即可求解； （2）设出P 点的坐标，利用切线的性质以及勾股定理即可求得. 【详解】
解：（1）设圆C 的方程为(
)
2
2
22
040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 将()0,1A ，()2,1B ，()3,4M 三点代入，
得：1052025340E F D E F D E F ++=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩，
解得：265D E F =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
，
∴圆C 的方程为222650x y x y +--+=；
（2）设点()21,P y y +， 由（1）圆C 的圆心()1,3C
，r ==
由已知得：CE PE ⊥，1
302
CPE EPF ∠=∠=︒， 在Rt CPE △中：2PC CE =，
=
解得：1y =-或115
y =
， P ∴的坐标为()1,1--或2711,55⎛⎫
⎪⎝⎭
． 【点睛】
方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
22．（1）22(2)25x y ++=；（2）5x =或34170x y -+=. 【分析】
（1）联立点A 和B 的中垂线与直线l ，求出圆心坐标，算出圆心与A 距离，写出圆的标准方程即可；
（2）讨论斜率存在与不存在，将直线与圆相切转化为d r =，解出k ，代回直线方程化简即可. 【详解】
（1）根据题意可得2113(4)AB k -=
=---，,A B 中点坐标为73
(,)22
-，
所以AB 的中垂线为73
22
y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭，即2y x =--， 联立方程20
2x y y x --=⎧⎨
=--⎩
可得圆心坐标(0,2)-，
又2
2
2
(0(3))(22)25r =--+--=， 所以圆C 的方程为2
2
(2)25x y ++=.
（2）①过点P 斜率不存在的直线为5x =，与圆C 相切； ②过点P 斜率存在的直线设斜率为k ， 则(5)8y k x =-+，即580kx y k --+= 圆心(0,2)-
到切线的距离为5=
，解得3
4
k =
综上，切线的方程为5x =或34170x y -+=. 【点睛】
求圆的方程的两种方法：
（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； （2）待定系数法：
①根据题意，选择标准方程与一般方程； ②根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组； ③解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程. 23．（1）22(3)(3)18x y -+-=；（2
） 【分析】
（1）设2
2
2
1:()()C x a y b r -+-=，根据题意列方程组解得,,a b r 即可得解；
（2）求出直线l 所经过的定点(3,1)B ，再根据圆心1C 到直线l 的距离的最大值可求得结果. 【详解】
（1）设2
2
2
1:()()C x a y b r -+-=，圆2
2
2:10100C x y x y +++=的圆心2(5,5)C --，
半径为
则222222()(6)a b r a b r r ⎧-+-=⎪⎪+=⎨=
，解得33a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以圆1C 的方程为2
2
(3)(3)18x y -+-=.
（2）因为:(21)(1)740l m x m y m +++--=，即(27)40x y m x y +-++-=，
由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩
，所以直线l 过定点(3,1)B ，
设圆心1(3,3)C 到直线l 的距离为d
，则1||2d C B ≤==，当且仅当
1l BC ⊥时，等号成立，
所以弦长||AB =≥=. 所以直线l 被圆1C
截得的弦长的最小值为. 【点睛】
关键点点睛：第二问利用圆心1C 到直线l 的距离的最大值求弦长的最小值是解题关键.
24．（1）2,33ππ
；（2）()3,3或33,55⎛⎫
⎪⎝⎭
；（3
）⎡⎣ 【分析】
（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3
tan k
β-
=，两直线的夹角为γ， 不妨设0k >，利用两角差的正切公式计算，利用基本不等式求得最值；
（2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，可得122313
149k k k k k k =⎧⎪
=⎨⎪=⎩，可解出123,,k k k 的
值，进一步求得直线RP 和直线PQ 的方程，联立得点P 的坐标； （3
）设(
)()122
:1,:1l y k x l y x k
=++=-
+，，设原点到两直线距离分别为12,d d ，求出12d d ，然后变形利用基本不等式求解．
【详解】
解：（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3
tan k
β-=，两直线的夹角为γ， 不妨设0k >，
则()
(
)313tan tan 132k
k k k γβα--⎛⎫=-==+≥ ⎪+-⎝⎭
k = 此时3π
α=
，23
πβ=
，
即两直线倾斜角分别为2,33
ππ
；
（2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，
则122313
149
k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得12332,,623k k k ===或12332
,,623k k k =-=-=-，
当12332
,,623
k k k =
==时，
直线RP 的方程为()312
y x =-，直线PQ 的方程为2
13y x =+， 联立得()3,3P ， 当12332
,,623
k k k =-
=-=-时， 直线RP 的方程为()3
12
y x =-
-，直线PQ 的方程为213y x =-+，
联立得33,55P ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 故所求为()3,3P 或33,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
（3
）设(
)()122
:1,:1l y k x l y x k
=++=-+， 设原点到两直线距离分别为12,d d ，
则
12d d ===
==， 由于2
24
59k k
+
+≥，当且仅当22k =时等号成立， 故
[)229
10,145k k
-
∈++，12d d ⎡∈
⎣， 即原点到两直线距离之积的取值范围为⎡⎣． 【点睛】
方法点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。

但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．
25．3m =-
【分析】
圆的方程中2
2
,x y 系数需相等，可得22212m m m m +-=-+，解方程即可得答案； 【详解】
要使方程()()
2222
21220m m x m m y m +-+-+++=表示的图形是一个圆，
需满足22212m m m m +-=-+，得2230m m +-=， 所以3m =-或1m =．
①当1m =时，方程为223
2
x y +=-不合题意，舍去；
②当3m =-时，方程为2214141x y +=，即22114x y +=，表示以原点为圆心，以14
为半径的圆．
综上，3m =-满足题意． 【点睛】
圆的一般方程形式为2222
(4)00x y Dx Ey F D E F ++++=+->，注意方程的特点是求解的关键.
26．（1）()()2
2
228x y ++-=；（2. 【分析】
（1）由已知求得圆心和半径可得所求的圆的方程；
（2）由已知得A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．联立两圆的方程得直线AB 的方程为
4410x y -+=，再由点到直线的距离公式可求得线段AB 的长度．
【详解】
（1）∵所求圆的圆心为线段OP 的中点()2,2-，半径为
1||2OP == ∴以OP 为直径的圆的方程为()()2
2
228x y ++-=．
（2）∵PA 、PB 是圆22
:1O x y +=的两条切线，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥，
∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．
由2222
(2)(2)81
x y x y ⎧++-=⎨+=⎩得直线AB 的方程为4410x y -+=，
O 点到直线AB 的距离为8
d =
，
线段AB 的长度为AB ==
． 【点睛】
方法点睛：在解决直线与圆的位置关系的问题时，注意运用平面几何知识，如圆的切线的性质，以及圆的垂径定理等.。