新高中必修二数学下期末一模试卷含答案

新高中必修二数学下期末一模试卷含答案
一、选择题
1．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )
A ．
203
B ．
72
C ．
165
D ．
158
2．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1
B ．4
C ．1或4
D ．2或4
3．如图，在ABC V 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
4．已知集合{
}
2
2
(,)1A x y x y =+=，{}
(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
5．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +u u u v u u u v u u u v
的最小值是（） A ．6-
B ．3-
C ．4-
D ．2-
6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）
A ．2
B ．422+
C ．442+
D ．642+
7．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线
:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于
4
5
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3 B ．3(0,]4
C ．3
D ．3[,1)4
8．已知0,0a b >>，并且111
,,2a b 成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2
B ．4
C ．5
D ．9
9．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10
D ．1或11
10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式
()0f x >的解集为（ ）
A ．33,0,22⎛
⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭U
B ．33,,22⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．33,22⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫
-
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11．已知圆()()2
2
:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
12．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
二、填空题
13．设a ＞0，b ＞033a 与3b 的等比中项，则
11
a b
+的最小值是__．
14．抛物线2
14
y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、
的距离之和的最小值为__________．
15．若直线1x y -=与直线(3)80m x my ++-=平行，则m =______________． 16．若21cos 3
4
πα⎛⎫-
= ⎪
⎝
⎭，则sin 26πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭________． 17．过点1
(,1)2
M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．
18．函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为
1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得
△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则
6ω=________.
19．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱
1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.
①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；
④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．
三、解答题
21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r
，
1
cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.
22．为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）
参考公式：
1
2
1
()()()
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--=-∑∑122
1
n
i i
i n
i
i x y nxy
x
nx ==-=
-∑∑ ，^^y x a b
=- 23．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空，ABC ∆外的地方种草，
ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若1BC =，ABC θ∠=，
02πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，，设ABC ∆的面积为1S ，正方形的面积为2.S
(1)用θ表示1S 和2S ； (2)当θ变化时，求
1
2
S S 的最小值及此时角θ的大小. 24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．
（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证:1C F ∥平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -体积．
25．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，
2225()ac a b c =--.
（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.
26．ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．
(1)求
sin sin B
C
；
(2)若AD ＝1，DC ＝
2
，求BD 和AC 的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即133
1,2,,2222
M a b n =+
====;又由23≤成立，则循环，即2838
2,,,33323
M a b n =+
====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =
+====;又由43≤不成立，则出循环，输出15
8M =． 考点：算法的循环结构
2．C
解析：C 【解析】
设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则1
21282
l r S lr +===，， ∴解得28r l ==， 或44r l ==，41l
r
α==或， 故选C ．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】
①PA ⊥Q 平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；
②90,BAC ABC ︒∠=∴Q V 是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆Q 是直角三角形；
④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.
综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．
【点睛】
本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．
4．B
解析：B 【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆
2
2
1x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛ ⎝⎭，2222⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
，则A B I 中有2个元素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】
由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，
设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--u u u r u u u r u u u r
，
所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+u u u r u u u r u u u r
222[(3)3]x y =+--，
所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+u u u r u u u r u u u r
取得最小值为2(3)6⨯-=-，
故选A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】
根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边2,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2， ∴几何体的表面积1
2222222264 2.2
S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ． 【点睛】
本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
7．A
解析：A 【解析】
试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，
2a =，设(0,)M b ，则45b d =
，所以
44
55
b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又
22224c a b b =-=-，所以03c <≤，3
02
c a <
≤
．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．
8．D
解析：D 【解析】 ∵
111
,,2a b
成等差数列， ()1111441445529a b a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫∴+=∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭
，…， 当且仅当a =2b 即3
3,2
a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
9．A
解析：A 【解析】
试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．
解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为
，
直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=
，
化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5， 解得λ=﹣3或7 故选A
考点：直线与圆的位置关系．
10．A
解析：A 【解析】
【分析】
根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】
解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示， 从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫
=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. 故选：A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.
11．B
解析：B 【解析】
由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.
考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.
12．A
解析：A 【解析】
由0.5
0.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，
所以a c b >>，故选A .
二、填空题
13．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点
睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键 解析：
【解析】
由已知0,0a b >>33a 与b 的等比中项，则2
33,1a b ab =⋅∴=
则
111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2
【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．
14．4【解析】【分析】【详解】由题意得交点设作与准线垂直垂足为作与准线垂直垂足为则
解析：4 【解析】 【分析】 【详解】
由题意得交点(0,1)F - ，设(1,3)A - ，作AN 与准线垂直，垂足为N ，作MH 与准线垂直，垂足为H ，
则314MA MF MA MH AN +=+≥=+=
15．【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件 解析：3
2
-
【解析】 【分析】
由题意得到关于m 的方程，解方程即可求得最终结果. 【详解】
由题意结合直线平行的充分必要条件可得：()()1130m m ⨯--⨯+=， 解得：32m =-
，此时两直线方程分别为：1x y -=，33
8022
x y --=， 两直线不重合，据此可知：3
2
m =-. 【点睛】
本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导公式及余
弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数 解析：
78
【解析】 【分析】
根据诱导公式,将三角函数式21
cos 3
4πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭化简可得1sin 64
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再由诱导公式及余弦的二倍角公式,化简sin 26πα⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
即可得解. 【详解】 因为21cos 3
4
πα⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭ 化简可得1cos 624ππα
⎛
⎫--= ⎪⎝⎭,即1cos 264ππα⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
由诱导公式化简得1sin 64
πα⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭ 而sin 26πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
cos 22
6π
πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
cos 26πα⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
由余弦的二倍角公式可知cos 26πα
⎛
⎫- ⎪⎝
⎭ 212sin 6πα⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
2
17
1248
⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭
故答案为: 78
【点睛】
本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用,余弦二倍角公式的简单应用,属于中档题.
17．2x ﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的
距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点
解析：2x ﹣4y +3＝0 【解析】 【分析】
要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】
由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时
10
2112
CM k -=
=-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =
,又直线l 过点1
(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为：2430x y -+=
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.
18．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：…… 解析：
112
π
【解析】 【分析】 由2
x k π
ωπ=+
可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分
析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果. 【详解】
由2
x k π
ωπ=+
，k Z ∈得：()212k x πω
+=
，k Z ∈
1,12A πω⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，23,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，35,12A πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，47,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，…… 若123A A A ∆为等腰直角三角形，则212232,2,240A A A A πππ
ωωω
⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r
解得：2
π
ω=
，即12
π
ω=
同理若147A A A ∆为等腰直角三角形，则1447
0A A A A ⋅=u u u u r u u u u u r 232
π
ω∴= 同理若1611A A A ∆为等腰直角三角形，则16611
0A A A A ⋅=u u u u r u u u u u r 352
π
ω∴= 以此类推，可得：()212
n n πω-= 6
112
π
ω
∴=
故答案为：112
π
【点睛】
本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.
19．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填 解析：1x -
【解析】
当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x -1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1x -,故填
1x -.
20．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面
解析：①②④ 【解析】 【分析】
根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可． 【详解】
①当E 为棱1CC 上的一中点时，此时F 也为棱1AA 上的一个中点，此时11A C //EF ，满足11A C //平面1BED F ，故①正确；
②连结1BD ，则1B D ⊥平面11AC D ，因为1BD ⊂平面1BED F ，所以平面11A C D ⊥平面
1BED F ，故②正确；
③1BD ⊂平面1BED F ，不可能存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ，故③错误； ④四棱锥11B BED F -的体积等于1111D BB F D BB E V V --+，设正方体的棱长为1. ∵无论E 、F 在何点，三角形1BB E 的面积为
11
1122
⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB E -的高111D C =，保持不变，三角形1BB F 的面积为11
1122
⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB F -的高为111D A =，保持不变.
∴四棱锥11B BED F -的体积为定值，故④正确. 故答案为①②④. 【点睛】
本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大．
三、解答题
21．（1）3,2a c ==；（2）23
27
【解析】
试题分析：（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r
和1
cos 3
B =
，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解
，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得
22
sin .3
B =
由正弦定理，得42
sin sin 9
c C B b =
=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27
cos 1sin 9
C C =-=
，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r
得，
，又1
cos 3
B =
，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=.
解，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴ a=3，c=2.
（2）在ABC ∆中，2212
sin 1cos 1()33
B B =-=-= 由正弦定理，得22242
sin sin 339
c C B b =
=⋅=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1(
)99
C C =-=-=.
于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223
393927
⋅+⋅=
. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.
22．(1) 8.69 1.ˆ23y
x =- (2) 2.72x =，年利润z 最大 【解析】
分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程； （2）年利润函数为(2)z x y =-，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论. 详解：（1）3x =，5y =，
5
1
15i i x ==∑
，5
1
25i
i y
==∑，51
62.7i i i x y ==∑，52
1
55i x ==∑，5
21
55i i x ==∑，
解得：^ 1.23b
=-，
^8.69a
=，
所以：8.69 1.ˆ23y
x =-， （2）年利润()2
8.69 1.232 1.23 6.69z x x x x x =--=-+
所以 2.72x =，年利润z 最大.
点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．
23．（1）2
121sin cos sin cos 41sin cos S S θθθθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭
，；（2）最小值944πθ=， 【解析】 【分析】
（1）在Rt ABC ∆中，可用,R θ表示,AB AC ，从而可求其面积，利用三角形相似可得
PS 的长度，从而可得2S .
（2）令sin 2t θ=，从而可得
(]21144,0,14t t S t S ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，利用(]4
,0,1s t t t
=+∈的单
调性可求1
2
S S 的最小值. 【详解】
（1）在Rt ABC ∆中，cos ,sin AB AC θθ==，所以11sin cos 2S θθ=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，. 而BC 边上的高为
sin cos sin cos 1
θθ
θθ=， 设APS ∆斜边上的为1h ，ABC ∆斜边上的高为2h ，
因APS ABC ∆∆:，所以12sin cos sin cos h PS PS
BC h θθθθ
-==， 故sin cos 1sin cos PS θθθθ=+，故2
22sin cos 1sin cos S PS θθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭
，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. （2）
()()21
2221sin cos 2sin 224sin 2sin cos 1si 1sin cos 2sin cos n cos S S θθθθθθθθθθθθ++===⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，
令(]sin 2,0,1t t θ=∈，则()2
12214444t t S t t S
+⎛⎫==++ ⎪
⎝⎭
. 令(]4
,0,1s t t t
=+
∈，设任意的1201t t <<≤， 则()()12121212
40
t t t t s s t t ---=
>，故(]4
,0,1s t t t
=+
∈为减函数， 所以min 5s =，故m 12in
94S S ⎛⎫= ⎪
⎝⎭，此时1t =即4π
θ=. 【点睛】
直角三角形中的内接正方形的问题，可借助于解直角三角形和相似三角形得到各边与角的关系，三角函数式的最值问题，可利用三角变换化简再利用三角函数的性质、换元法等可求原三角函数式的最值.
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3
）3
． 【解析】
试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.
（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，所以1BB ⊥AB ，
又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面11B BCC ，因为AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面
11B BCC .
（2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ，
因为E ，F 分别是11A C 、BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG=
1
2
AC ， 因为AC ∥11A C ，且AC=11A C ，所以FG ∥1EC ，且FG=1EC ， 所以四边形1FGEC 为平行四边形，所以1//C F EG ， 又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ， 所以1//C F 平面ABE .
（3）因为1AA =AC=2，BC=1，AB ⊥BC ，所以
，
所以三棱锥E ABC -的体积为：113ABC V S AA ∆=
⋅
=111232⨯⨯
=3
. 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 25．
（Ⅰ）
（Ⅱ） 【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及
sin sin a b
A B
=，得2a b =.
由)222
ac a b c
=--
，及余弦定理，得2
22
5cos 2ac
b
c a
A bc
ac +-==
=.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin A =
sin 4sin a A b B =
，得sin sin 4a A B b ==. 由（Ⅰ）知，A
为钝角，所以cos B ==
.于是4sin22sin cos 5B B B ==，
23
cos212sin 5
B B =-=
，故 (
)43sin 2sin2cos cos2sin 55555B A B A B A ⎛⎫-=-=⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭
. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
26．（1）1
2
；（2）1 【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解. 试题解析： （1）
，1
sin 2
ACD S AC AD CAD ∆=
⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =． 由正弦定理可知
sin 1
sin 2
B A
C C AB ∠==∠.
（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，2DC =， ∴2BD =
．
设AC x =，则2AB x =，
在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，
2222
cos 222
AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅
2
2
2
2
32cos 22
x
AD CD AC ADC AD CD -+-∠==
⋅ ∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，
22
32222
x
-=1x =， 即1AC =．
考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．。