高中数学恒成立问题1含详解 试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高考数学快速提升成绩题型训练——恒成立问题
1.〔1〕假设关于x 的不等式02
>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，务实数a 的取值范围；
〔2〕假设关于x 的不等式32
-≤--a ax x
的解集不是空集，务实数a 的取值范围．2三个同学对问题“关于x 的不等式2
32255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，务实数a 的取值范
围〞提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值〞．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值〞． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像〞． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求a 的取值范围. 3.向量2
(,1),(1,),a x x b x t =+=-假设函数
()b a x f
⋅=在区间()1,1-上是增函数，求t 的取值范
围. 4.函数
()()()331,5f x x ax g x f x ax '=+-=--，其中()'f x 是()f x 的导函数.
〔1〕对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，务实数x 的取值范围；
〔2〕设2a
m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线
3y =只有一个公一共点.
5.求与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点的最大圆C 的方程.
6.设
a ∈R
，二次函数
2()22.f x ax x a =--假设()0
f x >的解集为
A
，
{}|13,B x x A B =<<≠∅，务实数a 的取值范围.
7.函数()x x f ln =，()bx ax x g +=
2
2
1，0≠a . 假设2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围； 8.设3x
=是函数23()()()x f x x ax b e x -=++∈R 的一个极值点.
〔Ⅰ〕求a 与b 的关系式〔用a 表示b 〕，并求()f x 的单调区间；
〔Ⅱ〕设0a
>，225()()4
x
g x a e =+
,假设存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围.
9.函数
].1,0[,274)(2∈--=x x
x x f
〔1〕求
)(x f 的单调区间和值域；
〔2〕设
1≥a ，函数()[]1,0,2323∈--=x a x a x x g ,假设对于任意1x []
1,0∈,总存在
[]1,00∈x 使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.
10.务实数
a
的取值范围，使得对任意实数
x
和任意
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，恒有：
()()8
1cos sin cos sin 2322≥+++++θθθθa a x x 。

11.1x
=是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，
其中,,0m n R m ∈<。

〔I 〕求m 与n 的关系式；〔II 〕求
()f x 的单调区间；
〔III 〕当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.
12.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且
1(58)(52),1,2,3,n n n S n S An B n +--+=+=…，其中A,B 为常数. 〔Ⅰ〕求A 与B 的值； 〔Ⅱ〕证明数列{a n }为等差数列；
1>对任何正整数m 、n 都成立.
13.对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2
+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。

14.函数
()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =，假设[],1,1a b ∈-，0a b +≠，有
()()0f a f b a b
+>+，〔1〕证明()f x 在[]1,1-上的单调性；〔2〕假设2
()21f x m am ≤-+对所有
[]1,1a ∈-恒成立，求m 的取值范围。

15.假设函数y =R 上恒成立，求m 的取值范围。

16.函数
2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

17.假设[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

18.假设[]2,2x ∈
-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

19.假设对任意的实数x ，2
sin 2cos 220x k x k +--<恒成立，求k 的取值范围。

分析：这是有关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性。

20.函数
()lg()x x f x a b =-，常数10a b >>>，求〔1〕函数()y f x =的定义域；
〔2〕当b a 、满足什么条件时()f x 在区间()1,+∞上恒取正。

答案：
1.〔1〕设
()a ax x x f --=2.那么关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为
),(+∞-∞()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,
即
(),04
42
min >+-=a a x f 解得04<<-a
〔2〕设
()a
ax x x f --=2.那么关于
x
的不等式
32-≤--a ax x 的解集不是空集
()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,
即
(),34
42
min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或者2a ≥.
2.关键在于对甲，乙，丙的解题思路进展思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映. 设
()()232255,f x x x x g x ax =++-=.
甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把不等式的两边看作两个函数， 设
()()232255,f x x x x g x ax =++-=
其解法相当于解下面的问题： 对于[][]121,12,1,12x x ∈
∈,假设()()12f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围.
所以，甲的解题思路与题目[]1,12x ∈,()()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围的要求不一致.因此,
甲的解题思路不能解决此题. 按照丙的解题思路需作出函数
()232
255f x x x x =++-的图象和
()g x ax =的图象,然而,函数()f x 的图象并不容易作出.
由乙的解题思路,此题化为
()
f x a x
≥在
[]
1,12x ∈上恒成立,等价于
[]
1,12x ∈时,
()min
f x a x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦成立. 由
()25
5f x x x x x x
=++-在[]51,12x
=∈时,有最小值10,于是,10a ≤.
3.依定义
,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=
()x f 在区间()1,1-上是增函数等价于()0>'x f 在区间()1,1-上恒成立;
而
()0>'x f 在区间()1,1-上恒成立又等价于x x t 232->在区间()1,1-上恒成立;
设()()1,1,232-∈-=x x x x g
进而()x g t
>在区间()1,1-上恒成立等价于()()1,1,max -∈≥x x g t
考虑到()()1,1,232-∈-=x x x x g
在⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-31,1上是减函数,在⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,31上是增函数,
那么()()51max
=-=g x g .于是,t 的取值范围是5≥t .
4.解法 1.由题意()2335g
x x ax a =-+-，这一问外表上是一个给出参数a 的范围，解不等式
()0g x <的问题，实际上，把以x 为变量的函数()g x ，改为以a 为变量的函数，就转化为不等式的恒
成立的问题，即 令()()2335a x a x ϕ
=-+-，()11a -≤≤，那么对11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，
从而转化为对11a -≤
≤，()0a ϕ<恒成立，又由()a ϕ是a 的一次函数，
只需()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩即2
2
320,380.
x x x x ⎧--<⎨+-<⎩ 解得2
13
x -
<<. 故2,13x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <. ()23350g x x ax a =-+-<.
由11a -≤
≤知,236600a a ∆=-+>,于是,不等式的解为
x <<
. 但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑a 的条件,还应进一步完善.
为此,设()()g a h a ==
不等式化为()(),11g
a x h a a <<-≤≤恒成立,即
()()max min ,11g a x h a a <<-≤≤.
由于()g a =
在11a -≤
≤上是增函数,那么()()max 213
g a g ==-
,
()h a =
在11
a -≤≤上是减函数,那么
()()min 1 1.
h a h ==所
以,2
13
x -
<<. 故2,13x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <. 5.因为圆C 与抛物线2:
E y ax =相切于坐标原点,所以,可设()2
22:C x y r r +-=.
由题意,抛物线E 上的点(),P x y 除坐标原点()0,0之外,都在圆C P 和圆心()0,C r 的间隔为d ,
那么此题等价于
d r =≥①
在
0y ≥的条件下,恒成立.
整理①式得
12y r a
≥-
② 于是,此题又等价于②式在0y ≥min 12y r a
≥-
, 由
min 0y =得102r a ≥-
,即12r a
≤. 所以,符合条件的最大圆的半径是1
2r a
=,最大圆C 的方程为
6.解法一：由题设,0a ≠.
()0f x =的两个根为11x a =
-21x a =+显然,120,0x x <>. (1)当0a <时,{}12A x x x x =<<, (2)当0a
>时,{}
{}12
A x x x x x x =<>,
23A B x ≠∅⇔<⇔
1a 637
a <⇒>. 于是,实数a 的取值范围是
()
6,2,7⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭
. 解法二: (1)当
a <时,因为
()
f x 的图象的对称轴
1
0a
<，那么对
()
1,3x ∈，
()
1f 最大，
()()max 1220. 2.f x f a a a ==-->⇒<-
(2)当0a >时,()()max ,1,3f x x ∈在()1f 或者()3f 实现,
由
()()120,376f a f a =--<=-,那么()637607
f a a =->⇒>
于是,实数a 的取值范围是
()
6,2,7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭
. 这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来考虑. 7.只研究第〔I 〕问.x ax x x h b
22
1
ln )(,22--==时，
那么.1221)(2x
x ax ax x x h -+-=--=' 因为函数()h
x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有解.
由题设可知,()x h 的定义域是()+∞,0,
而()0<'
x h 在()+∞,0上有解,就等价于()0<'x h 在区间()+∞,0能成立,
即x x a
212->
,()+∞∈,0x 成立,进而等价于()x u a min >成立,其中()x x
x u 2
12-=. 由()x x
x u 212-=1112
-⎪⎭⎫
⎝⎛-=x 得,()1min -=x u .
于是,1->a
,
由题设0≠a
,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1
8.此题的第〔Ⅱ〕“假设存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围.〞如何
理解这一设问呢？假设函数()f x 在[]0,4x ∈的值域与()g x 在[]0,4x ∈的值域的交集非空，那么一定存在12,[0,4]ξξ∈使得
12()()1f g ξξ-<成立，假设函数()f x 在[]0,4x ∈的值域与()g x 在
[]0,4x ∈的值域的交集是空集，只要这两个值域的间隔的最小值小于1即可.
由〔Ⅰ〕可得,函数
()f x 在[]0,4x ∈的值域为()3
23,6a e a ⎡⎤-++⎣⎦,
又()g
x 在[]0,4x ∈的值域为2242525,44a a e ⎡
⎤
⎛⎫+
+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
, 存在
12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，等价于()()max min 1f x g x -<或者
()()max min 1g x f x -<，容易证明,225
4
a +
6a >+. 于是,()22561,
30420.
a a a a ⎧⎛⎫
+-+<⎪ ⎪⇒<<⎝⎭
⎨⎪>⎩
. 9.〔1〕对函数)(x f 求导，得2
22)
2()
72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-=' 令
0)(='x f 解得.2
72
1==x x 或
可以求得，当)21,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,2
1
(∈x 时，)(x f 是增函数.
当]1,0[∈x 时，
)(x f 的值域为[]4,3--.
〔2〕对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -='
因为1≥a
，当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g
因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数， 从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈ 又,2)0(,321)
1(2a g a a g -=--=
即]1,0[∈x 时有()g x 的值域为是2
[123,2].a a a ---
如何理解“任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =〞，
实际上，这等价于)(x f 值域是()g x 值域的子集，即2[123,2][4,3].a a a ---⊃--这就变成
一个恒成立问题，
)(x f 的最小值不小于()g x 的最小值，)(x f 的最大值不大于()g x 的最大值
即⎩⎨⎧-≥--≤--.
32,43212a a a 解①式得3
51-≤≥a a 或； 解②式得.2
3≤a 又1≥a
，故a 的取值范围为.2
3
1≤≤a
10.提示：原不等式⇔()4
1cos sin cos sin 232≥--+θθθθa a
答案：6≤a
或者2
7≥
a 11.分析一：前面两小题运用常规方法很快可以得到，(I)36n
m =+〔II 〕当0m <时，()f x 在
2,1m ⎛
⎫-∞+ ⎪
⎝⎭
单调递减，在2(1,1)m +单调递增，在(1,)+∞上单调递减.〔III 〕为()3f x m '>对[]1,1x ∈-恒成立，即3m (x －1)［x －(1+
2
m
)］>3m ∵m <0，∴(x －1)［x －(1+
2
m
)］<1(*) 1°x =1时，(*)化为0<1恒成立，∴m <0 2°x ≠1时，∵x
∈［－1,1］
，∴－2≤x －1<0 运用函数思想将(*)式化为
2m <(x －1)－11x -，令t =x －1，那么t ∈［－2,0］，记1()g t t t
=-，①
那么()g t 在区间［－2,0］是单调增函数；
∴min
13()(2)222g t g =-=--
=-- 由(*)式恒成立，必有23423m m <-⇒-<，又m <0，那么4
03m -<<
综合1°、2°得4
03
m -<<
分析二：〔III 〕中的()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>对[]1,1x ∈-恒成立，
∵0m <∴2
22(1)0x
m x m m -
++<即[]222
(1)0,1,1x m x x m m
-++<∈-① 运用函数思想将不等式转化为函数值大于0，设2
12()2(1)g x x x m m
=-++，再运用数形结合思
想，可得其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
∴22(1)0120(1)010g m m
g ⎧
-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩
解之得43m -<又0m <所以403m -<< 即m 的取值范围为4
(,0)3
-。

通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。

12.分析：此题是一道数列综合运用题，第一问由a 1、a 2、a 3求出s 1、s 2、s 3代入关系式，即求出A=-20、B=-8；第二问利用)1(1≥-=-n s s a n n n 公式，推导得证数列{a n }n
=1+5(n-1)=5n-4，故第三问即是证
明1)45)(45()45(5>---
-n m mn 对任何正整数m 、n 恒成立.对此复杂的恒成立问题，我们可
以用分析法将此恒成立问题进展等价转化，由于要等价转化故需要先移项再两边平方，整理得：37)(20)45)(45(2-+<--n m n m ，
而根本不等式得到：8)(5)45)(45(2-+<--n m n m ，因此要证明原不等式恒成立，只要证5(m+n)-8<20(m+n)-37，将其等价变形即为15(m+n)>29，而此式对任何正整数m 、n 都能成立。

通过等价转化，将原来恒成立不等式得到大大简化，从而将复杂问题简单化。

13.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

显然可将a 视作自变量，那么上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题。

解：原不等式转化为(x-1)a+x 2
-2x+1>0,
设f(a)=(x-1)a+x 2
-2x+1,那么f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：
⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0
10
342
2
x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或者x>3.
14.分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是m 的范围，所以根据上式将m 当作变量，a 作为常量，而x 那么根据函数的单调性求出
()f x 的最大值即可。

（1） 简证：任取[]12,1,1x x ∈-且12x x <，那么[]21,1x -∈-
1212
()()
0f x f x x x +>-()()1212()()0x x f x f x ∴-+->又
()f x 是奇函数
()()1212()()0x x f x f x ∴-->()f x ∴在[]1,1-上单调递增。

（2） 解：
2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即
2max 21m am f -+≥，
max (1)1f f ==22211
20m am m am ∴-+≥∴-≥
即2
()20g a am m =-+≥在[]1,1-上恒成立。

(1)120(1)120g a g a -=+≥⎧∴⎨=-≥⎩121
2
a a ⎧≤-
⎪⎪∴⎨
⎪≤⎪⎩ 11
22
a ∴-≤≤。

15.分析：该题就转化为被开方数2
680mx mx m +++≥在R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的
讨论。

略解：要使
y =在R 上恒成立，即2680mx mx m +++≥在R 上恒成立。

10m =时，80≥0m ∴=成立
20m ≠时，()()2
36483210m m m m m >⎧⎪⎨∆=-+=-≤⎪⎩
，01m ∴<≤ 由1，2可知，01m ≤
≤
16.分析：
()y f x =的函数图像都在X 轴上方，即与X 轴没有交点。

略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤ 17.2
2()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝
⎭，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a 。

⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥73
a ∴≤又4a > a ∴不存在。

⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤又
44a -≤≤42a ∴-≤≤ ⑶当22
a ->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥-又4a <-74a ∴-≤<- 总上所述，72a -≤
≤。

18.解法一：分析：题目中要证明
a x f ≥)(在[]2,2-上恒成立，假设把a 移到等号的左边，那么把原题转化成左边二次函数在区间
[]2,2-时恒大于等于0的问题。

略解：
2()320f x x ax a =++--≥，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立。

⑴()2410a a ∆=--
≤22a ∴--≤≤-+
⑵24(1)0(2)0(2)02222
a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a
综上所述，2225-≤≤-a 。

解法二：〔利用根的分布情况知识〕
⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥()54,3
a ∴≤∉+∞a ∴不存在。

⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3224a a g a f a ==--+≥，
222222-≤≤-a －2224-≤≤-∴a
⑶当22
a ->，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥，5a ∴≥-54a ∴-≤<- 综上所述2225-≤≤-a 。

此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定。

19.解法一：原不等式化为2cos
2cos 210x k x k -++> 令cos t x =，那么1t ≤，即()222()22121f t t kt k t k k k =-++=--++在[]1,1t ∈-上恒大于0。

⑴假设1k
<-，要使()0f t >，即(1)0f ->，12k >-k ∴不存在 ⑵假设11k -≤≤，假设使()0f t >，即2()210f k k k =-++
>11k ∴<<
+11k <≤
⑶假设1k >，要使()0f t >，即(1)0f >，1k >
由⑴，⑵，⑶可知，1k
∴>。

解法二：
2()2210f t t kt k =-++>，在[]1,1-上恒成立。

⑴2210
11k k k ∆=--<∴<<+ ⑵2210(1)0(1)0
11
k k f f k k ⎧∆=--≥⎪>⎪⎨-<⎪⎪><-⎩
或1k ∴≥
由⑴，⑵可知，1k
> 20.解：〔1〕
()lg()x x f x a b =-0x x a b ∴->又10a b >>>0x ∴> 定义域{}|0x x >
〔2〕
()lg()x x f x a b =-ln ln ()x x x x a a b b f x a b -'∴=-()0f x '∴> ()f x ∴在()0,+∞上单调递增()f x ∴在()1,+∞上单调递增，()(1)f x f ∴≥
要使()f x 在()1,+∞上恒正，只须()(1)0f x f >≥，即lg()0lg1a b -≥=
1a b ∴-≥且10a b >>>。