2.5函数的连续性

北京大峪中学高三数学组
2019年4月26日星期五
函数的连续性
闭区间上连续函数的性质： 性质（最大值最小值定理）：如果 f ( x ) 是闭区间 a, b 上的连续函数，那么 f ( x ) 在闭区间 a, b上有最大值和最小 值．
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函数的连续性
资费标准 4.40 8.20 10.40 20.80 39.80 75.70 123.00
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函数的连续性
从直观上看,我们说一个函数在一点x=x0处连续是指这个 函数的图象在x=x0处没有中断
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函数的连续性
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函数的连续性
（2）邮费随邮件重量的增加而作阶梯式的增加； 国际邮件资费（单位：元）
亚太地区信函减低资费7.10元
业务种类
信函
计费单位 20克及20克以下 20克以上至50克 50克以上至100克 100克以上至250克 250克以上至500克 500克以上至1000克 1000克以上至2000克
O
a
x1
x2
b
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函数的连续性
（1）函数在一点处连续的定义． （2）判定函数在一点处是否连续： 方法1：由定义说明；方法2：由图象直观说明． （3）闭区间上连续函数的性质．
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函数的连续性
第二章
极 限
二
极 限
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函数的连续性
2. 5函数的连续性
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函数的连续性
生活中往往会遇到以下两种变化情况:一种是 连续地变化的情况,如: （1）水银柱高度随温度的改变而连续变化.
另一种变化情况是间断的或跳跃的,如
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函数的连续性
函数 f ( x ) 在点 x x0 处连续必须满足三个条件： （1）函数 f ( x ) 在点 x x0 处有定义；
lim f ( x ) 存在 （2）x x
0
lim f ( x ) f ( x0 ) （3） x x
0
如果函数 y f ( x ) 在点 x x0 处及其附近有定义，而且 lim f ( x ) f ( x0 ) ， 就说函数 f ( x ) 在点 x0 处连续．
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函数的连续性
课堂练习：第95页练习第1、2题，97页习题2.6第2.、4题．

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函数的连续性
函数在区间里连续 （1）在开区间连续：如果函数 f ( x ) 在某一开区间 (a , b)
内每一点处都连续，就说函数 f ( x ) 在开区间 (a , b) 内连续，或 说函数 f ( x ) 是开区间 (a , b) 内的连续函数．
（2）在闭区间连续：如果函数 f ( x ) 在开区间 (a , b) 内连续， lim f ( x ) f (a ) x 处有 b x a 在左端点 处有 ，在右端点 x a lim f ( x ) f (b ) ，就说函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续．
x b
观察下列图形回答：
（1）函数 f ( x ) 在点 x x0 是否有定义？
lim f ( x ) 是否存在？ （2）x x
0
。
lim f ( x ) 是否与 f ( x 0 ) （3）x x 相等？
0
。
．
。
图（2）不满足（1）； 图（4）不满足条件（3）．
图（1）满足3条； 图（3）不满足条件（2）；
x x0
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函数的连续性
例 讨论下列函数在给定点处的连续性： 1 f ( x ) （1） ，点 x 0 ； x （2）g( x ) sin x ，点 x 0 ．
解： 1 解： f ( x ) （1）函数 在点 x 0 处没有定义，因而它在点 x 0 x sin x 0 sin 0，因此 g( x ) sin x 在点 x 0 （2）因为 lim 处不连续． x 0 处是连续的．