专题25 平面向量的数量积及平面向量的应用(押题专练)-2019年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)

1.已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A.0
B.1
C.2
D. 5
解析 |a －b |＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4＝ 5. 答案 D
2.已知a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，且a ∥b ，则|b |＝( ) A.2 5 B. 5 C.10 D.5
解析 ∵a ∥b ，∴1x ＝－2
2，解得x ＝－1，∴b ＝(－1，2)，∴|b |＝（－1）2＋22＝ 5.故选B.
答案 B
3.向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A.45° B.60° C.90° D.120°
答案 C
4．已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
解析：由已知得|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2 ＝2|a ||b |c os 〈a ，b 〉－|b |2
＝2×1×1×c os60°－12＝0，故选B 。

答案：B
5．已知AB →和AC →是平面内两个单位向量，它们的夹角为60°，则2AB →－AC →与CA →
的夹角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°
解析：由题意知|AB →|＝1，|AC →|＝1，AB →·AC →＝|AB →||AC →|c os60°＝12
，因为(2AB →－AC →)·CA →＝2AB →·CA →＋AC →2＝
2×⎝⎛⎭
⎫－12＋1＝0， 所以c os 〈2AB →－AC →，CA →
〉＝
AB →－AC →CA
→|2AB →－AC →||CA →|
＝0，
故2AB →－AC →与CA →
的夹角是90°。

答案：C
6．已知a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－16 B .16
C ．－17 D.17
解析：向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则(λa ＋b )·(a －2b )＝0，又因为a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)，故(3λ＋1，－2λ)·(1，－2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－1
7。

答案：C
7.在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →
＝( ) A.89
B.109
C.259
D.269
法二 由向量的几何意义可知，△ABC 是以A 为直角的直角三角形，以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，E ，F 为BC 的三等分点，不妨设E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫43，13，因此AE →·AF →＝23×43＋23×13＝10
9，故选B.
答案 B
8．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 答案 B
解析 由a ⊥c ，得a ·c ＝2x －4＝0，解得x ＝2.由b ∥c ，得1
2
＝
y
－4
，解得y ＝－2.所以a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10.故选B.
9．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤π
3，π C.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 D.⎣⎡⎦⎤π
6，π 答案 B
解析 由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则|a |2－4a·b ≥0，即a·b ≤14|a |2.设向量a
与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |≤14
|a |
212
|a |2＝12
，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π.故选B. 10．在△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →
＝2AM →
，则CM →·CA →
＝( )
A ．18
B ．3
C ．15
D ．12 答案
A
11．平面四边形ABCD 中，AB →
＋CD →
＝0，(AB →
－AD →)·AC →
＝0，则四边形ABCD 是( )
A ．矩形
B ．正方形
C ．菱形
D ．梯形
答案 C
解析 因为AB →
＋CD →
＝0，所以AB →
＝－CD →
＝DC →
，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →
－AD →)·AC →
＝DB →·AC →
＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．故选C.
12．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π
6 答案 C
解析 ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，
即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.
∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0，
∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π
3
.故选C.
13．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AC →·BC →
＝1，则BC ＝( ) A. 3 B. 2 C ．2 D ．3 答案 D
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →
＝(3，－1)，OB →＝(0,2)．若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →
，则实数λ的
值为________．
答案 2
解析 由已知得AB →
＝(－3,3)，设C (x ，y )，
则OC →·AB →＝－3x ＋3y ＝0，所以x ＝y . AC →
＝(x －3，y ＋1)． 又AC →＝λOB →
，即(x －3，y ＋1)＝λ(0,2)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x －3＝0，y ＋1＝2λ，
由x ＝y 得，y ＝3，所以λ＝2.
15．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为________． 答案 π3
解析 由|a ＋b |＝|a －b |，得
a 2＋2a ·
b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0， 所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝|a |2.
故向量a ＋b 与a 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝(a ＋b )·a |a ＋b ||a |＝|a |22|a ||a |＝12.
又0≤θ≤π，所以θ＝π
3
.
16．已知平面向量α，β，且|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|＝________. 答案
10
解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，所以α·β＝1
2，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋
22＋4×1
2
＝10，所以|2α＋β|＝10.
17．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 答案 8 2
18．如下图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 是边BC 的中点，则AD →·BC →
＝________.
答案 －52
解析 利用向量的加减法法则可知
AD →·BC →
＝12(AB →＋AC →)·(－AB →＋AC →)＝12(－AB →2＋AC →2)＝－5
2
.
19.已知向量a ，b ，其中|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________. 解析 设向量a 和b 的夹角为θ.由题意知(a －b )·a ＝a 2－a ·b ＝0， ∴2－22cos θ＝0，解得cos θ＝22，∴θ＝π4
. 答案 π
4
20.已知A (－1，cos θ)，B (sin θ，1)，若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →
|(O 为坐标原点)，则锐角θ＝________. 解析 法一 利用几何意义求解：由已知可知，OA →＋OB →
是以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB 的
对角线向量OD →，OA →－OB →则是对角线向量BA →，于是对角线相等的平行四边形为矩形.故OA ⊥OB .因此OA →·OB →
＝0，∴锐角θ＝π4
.
法二 坐标法：OA →＋OB →＝(sin θ－1，cos θ＋1)，OA →－OB →＝(－sin θ－1，cos θ－1)，由|OA →＋OB →|＝|OA →
－OB →
|可得(sin θ－1)2＋(cos θ＋1)2＝(－sin θ－1)2＋(cos θ－1)2，整理得sin θ＝cos θ，于是锐角θ＝π4
.
答案 π4
21.设非零向量a 与b 的夹角是5π
6，且|a |＝|a ＋b |，则|2a ＋t b ||b |
的最小值是________.
答案
3
3
22.已知平面上三点A ，B ，C ，BC →＝(2－k ，3)，AC →
＝(2，4). (1)若三点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值.
解 (1)由三点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一直线上，即向量BC →与AC →
平行，∴4(2－k )－2×3＝0，解得k ＝1
2
.
(2)∵BC →＝(2－k ，3)，∴CB →
＝(k －2，－3)， ∴AB →＝AC →＋CB →
＝(k ，1).若△ABC 为直角三角形， 则当A 是直角时，AB →⊥AC →，即AB →·AC →
＝0， ∴2k ＋4＝0，解得k ＝－2；
当B 是直角时，AB →⊥BC →，即AB →·BC →
＝0， ∴k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1；
当C 是直角时，AC →⊥BC →，即AC →·BC →＝0，∴16－2k ＝0， 解得k ＝8.综上得k 的值为－2，－1，3，8. 23.已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.
(1)证明：a ⊥b ；
(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t ). (1)证明 ∵a ·b ＝3×12－1×3
2
＝0，∴a ⊥b .
24．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围． 解 ∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )＞0， 即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0. ∴λ＞－5
3
.
当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，
解得λ＝0. 即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线， 综上可知，λ＞－5
3
且λ≠0.
25.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ；
(2)求|a ＋b |；
(3)若AB →＝a ，BC →
＝b ，求△ABC 的面积.
(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.
(3)∵AB →与BC →
的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.
又|AB →|＝|a|＝4，|BC →
|＝|b |＝3，
∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×3
2
＝3 3.。