福建省武平县第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试卷文【word版】.doc

武平一中2018-2019学年第二学期半期考
高二数学(文)试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的) 1.若i 为虚数单位，则复数i
i
z -+=
12的共轭复数z 是（ ） A. i 53- B. i 53 C. i 2321- D. i 2
321+
2. 设R x ∈,则“21<<x ”是“022<--x x ”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.矩形的对角线互相垂直，正方形是矩形，所以正方形的对角线互相垂直。

在以上三段论的推理中（ ）
A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 推理形式错误
D. 结论错误 4.若洗水壶要用 1分钟、烧开水要用12分钟、洗茶杯要用2分钟、取茶叶要用1分钟、 沏茶 1分钟，那么较合理的安排至少也需要 （ ）
A. 12分钟
B. 13分钟
C. 14分钟
D. 15分钟
5. 用反证法证明命题:“若,,R b a ∈且02
=+b a ，则b a ,全为0”时，应假设为（ ）
A.0≠a 且0≠b
B.b a ,不全为0
C.b a ,中至少有一个为0
D.b a ,中只有一个为0 6.若7++=a a P ，43+++=a a Q ()0≥a ，则Q P ,的大小关系是（ ） A. Q P < B. Q P = C. Q P > D. Q P ,的大小由a 的取值确定 7.下列有关命题的说法正确的是（ ） A.若q p ∨为真命题，则q p ,均为真命题.
B.命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题为假命题.
C.命题p ：12sin ,0->>∃x x x ，则￢p 为：12sin ,0-≤>∀x x x .
D.命题“若,02=-x x 则0=x 或1=x ”的否命题为“若,02≠-x x 则0≠x 或1≠x ”.
8.当3,6==n m 时，执行如右图所示的程序框图， 输出的S 值为（ ）
A.6
B. 30
C. 120
D. 360 9. 给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）
： ①“若,,R b a ∈则b a b a =⇒=-0”类比推出“若
,,C b a ∈则b a b a =⇒=-0”；
②“若,,,,R d c b a ∈则复d b c a di c bi a ==⇒+=+且” 类比推出“若,,,,Q d c b a ∈则
d b c a d c b a ==⇒+=+且22”；
③“若,,R b a ∈则b a b a >⇒>-0”类比推出“若,,C b a ∈则b a b a >⇒>-0”. 其中类比结论错误．．的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 一名法官在审理一起盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁分述如下：甲说：“罪犯在乙、
丙、丁三人之中”，乙说：“我没有作案，是丙偷的”，丙说：“在甲和乙中有一个人是罪犯”，丁说：“乙说的是事实”，经调查核实，这四人中只有一人是罪犯，并且得知有两人说的是真话，两人说的是假话，由此可判断罪犯是（ ） A ．甲 B ．乙 C ． 丙 D ．丁
11. 已知函数()()x m x x x f -++=52ln 22
在()5,4上单调递增，则实数m 的取值范围是( )
A ．]225,(+-∞
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-219,
C ．()
225,+∞- D ．⎥⎦⎤ ⎝
⎛
∞-219,
12.已知双曲线C ：()0,0122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 为双曲线C 右支
上一点，直线1PF 与圆222a y x =+相切，且2121F PF PF F ∠=∠，则双曲线C 的离心率为（ ） A.
3
100
B. 34
C. 2
D. 35
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)
13. 将极坐标⎪⎭
⎫
⎝⎛6,2π化为直角坐标是 .
14.已知抛物线x y 82=的焦点为F ，抛物线上一点P ，若5=PF ，则POF ∆的面积 为 .
15.已知命题p ：存在[]1,0∈x ，使得0≥-x e a 成立，命题:q 对任意R x ∈，042>++a x x 恒成立，若命题q p ⌝∧是真命题，则实数a 的取值范围是 .
16.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数 ,10,6,3,1记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测：2019b 是数列{}n a 中的第 项．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17.（本题满分10分）已知函数()bx ax x x f --=23，其中b a ,为实数，且()x f 在1=x 处取得的极值为2。

⑴求()x f 的表达式；
⑵若()x f 在()()3,3f 处的切线方程。

18.（本题满分12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n 的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据好下表：
（1）求n m ,；
（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？ 附：
()()()()()
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
2
2
19.（本题满分12分）“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，
中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商为分析近8年“双十一”期间的宣传费用x （单位：万元）和利润y （单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格：
（1）请
用相关系数r 说明
y 与x 之间是否存
在线性相关关系（当81.0>r 时，说明y 与x 之间具有线性相关关系）；
（2）建立y 关于x 的线性回归方程（系数精确到1.0），预测当宣传费用为30万元时的利润，
附参考公式：回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中b ˆ和a ˆ最小二乘估计公式分别为
∑∑==-⋅-=n
i i
n
i i
i x
n x
y x n y
x b
1
2
2
1
ˆ，ˆˆa
y bx =-，相关系数∑∑∑===-⋅-⋅-=n
i n
i i
i
n
i i
i y y
x x y
x n y
x r 1
1
2
2
1)()(
参考数据：8
1
241i i i x y ==∑，8
21
356i
i x ==∑
8.25≈，
6)
(8
1
2
=-∑=i i
y y
20．（本题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线⎩⎨⎧==α
α
sin 3cos :y x C （α为参数），
在以O 原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
14cos 22-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πθρ． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点()1,0-M 且与直线l 平行的直线1l 交C 于B A ,两点，求线段AB 的距离．
21.（本题满分12分）已知()()0,2,0,2Q P -，动点M 满足2
1
-=⋅MQ MP k k ,设动点M 的轨迹
为曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）已知直线()1-=x k y 与曲线C 交于B A ,两点，若点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,47N ，求证：⋅为定值.
22.（本题满分12分）已知函数()()R a x ax x f ∈+=ln . （1）讨论()x f 的单调性；
（2）当1=a 时，不等式()m x f xe x +>+1对于任意()+∞∈,0x 恒成立，求实数m 的取值范围.
参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) CAACB ACCBB DD
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13.
(
)
1,3 14.62 15. []4,1∈a 16.5049
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17.【解】(1)因为()bx ax x x f --=23，所以()b ax x x f --='232; ........1分
由()x f 在1=x 处取得的极值为2，可得()()⎩
⎨⎧=--==--='2110
231b a f b a f ，..........3分
解之得：5,4-==b a ,经检验，符合题意 所以()x x x x f 5423+-=（没检验扣1分）. ...........6分
(2)由(1)可得()x x x x f 5423+-=，()5832+-='x x x f ，()()83,63='=∴f f ，
所以切线方程为188-=x y . ..........10分 18. 【解】（1）由已知，该校有女生400人，故
400
560
8128=
++m ，得20=m ，.....3分 从而48812820=+++=n ． ..........5分 （2）作出列联表如下：
()841.3686.035
2416322028
96160482
2
<≈=⨯⨯⨯-=K ．
...........11分
所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关．
...........12分
19. 解：（1）由题意得6x =，4y = ...........2分
又8
1241i i i x y ==∑8.25≈6=，
所以∑∑∑===-⋅-⋅-=
8
1
8
1
2
2
8
1)()(8i i i
i
i i
i y y
x x y
x y
x r 241864
0.990.818.256-⨯⨯≈
≈>⨯ ...........4分
所以，y 与x 之间具有线性相关关系. ...........5分
（2）因为72.068
49
68-356468-24188ˆ281
2
2
8
1
≈=⨯⨯⨯=
-⋅-=∑∑==i i i i
i x
x y
x y
x b
， ..........7分
40.ˆ3ˆ7260.a
y bx =-=-⨯≈-（或490.768ˆb =≈，49460.368
ˆa =-⨯≈-） ...........9分
所以y 关于x 的线性回归方程为3.07.0ˆ-=x y . 当30=x 时，7.203.0307.0ˆ=-⨯=y
故可预测当宣传费用为30万元时的利润为7.20十万元（或207万元） .......12分
20．解：（1）曲线C 化为普通方程为13
2
2
=+y x ， . ..........3分 由
14cos 22-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πθρ，得2sin cos -=-θρθρ， 所以直线l 的直角坐标方程为02=+-y x ． ...........6分
（2）直线1l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-==
t y t x 22122
（t 为参数）， 代入13
2
2
=+y x ,化简得02222=--t t ， 设B A ,两点所对应的参数分别为1t ， 2t ，
则122t t +=，121t t =-
∴122AB t t =-=
．...........12分 21.解：
设动点),(y x M ，()()0,2,0,2Q P -，动点M 满足2
1
-=⋅MQ MP k k ，
可得：2
1
22-=-⋅+x y x y ，得曲线C 的方程：12422=+
y x ()2±≠x .......5分 (注:没写2±≠x 扣1分)
由
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
-
=
1
2
4
)1
(
2
2y
x
x
k
y
，得0
4
2
4
)1
2(2
2
2
2=
-
+
-
+k
x
k
x
k，显然0
>
∆.
设)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x
A，由韦达定理得：
1
2
4
2
,
1
2
4
2
2
2
1
2
2
2
1+
-
=
+
=
+
k
k
x
x
k
k
x
x，
...........7分
)
,
4
7
(
)
,
4
7
(
2
2
1
1
y
x
y
x
NB
NA-
⋅
-
=
⋅
∴)1
)(
1
(
16
49
)
(
4
7
2
1
2
2
1
2
1
-
-
+
+
+
-
=x
x
k
x
x
x
x
16
49
)
)(
4
7
(
)1
(2
2
1
2
2
1
2+
+
+
+
-
+
=k
x
x
k
x
x
k
16
49
1
2
4
)
4
7
(
1
2
4
2
)1
(2
2
2
2
2
2
2+
+
+
+
-
+
-
+
=k
k
k
k
k
k
k
16
49
1
2
4
8
2
2
+
+
-
-
=
k
k
16
15
-
=
⋅
∴为定值
16
15
-．...........12分22. 解：（1）函数()x f的定义域为()
+∞
,0，()
x
ax
x
a
x
f
1
1+
=
+
=
' ...........1分当0
≥
a时，()0>
'x
f，所以()x f在()
+∞
,0上单调递增； ...........2分当0
<
a时，令()0>
'x
f得，
a
x
1
0-
<
<；令()0<
'x
f得，
a
x
1
-
>.
则函数()x f在⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
a
1
,0上单调递增，在⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+∞
-,
1
a
上单调递减.
综上所述，当0
≥
a时，()x f在()
+∞
,0上单调递增；
当0
<
a时，()x f在⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
a
1
,0上单调递增，在⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+∞
-,
1
a
上单调递减.
...........5分（2）设()()()0
1
ln
1>
+
-
-
=
-
+
=x
x
x
xe
x
f
xe
x
g x
x，
则题意等价于：当0
>
x时，()m
x
g>恒成立，只需()m
x
g>
min
.
()()x xe x x e x x g x x
1111)1(-+=--+='，设()1-=x xe x h ，则()0)1(>+='x e x x h ， 所以()x h 在()+∞,0上单调递增.又()011>-=e h ，012121<-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛e h ， 所以存在唯一⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈1,210x ，使()01000=-=x e x x h ，即010x e x =， 且当()0,0x x ∈时，()0<x h ，即()0<'x g ，函数()x g 单调递减，
当()+∞∈,0x x 时，()0>x h ，即()0>'x g ，函数()x g 单调递增.
所以，()1ln )(0000min 0+--==x x e x x g x g x 21ln 1000
0=+--⋅=-x e x x x 即2<m .
所以，实数m 的取值范围为()2,∞-. ...........12分。