2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案(人教A版必修4)

2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案
(人教A版必修4)
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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

重点、难点
重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

自主学习
1．向量的数乘
(1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
(2)规定：|λa|＝|λ||a|.当λ0时，λa的方向与a的方向________；
当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝________.
(3)几何意义：λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ0时)或a的反方向(λ0时)扩大或缩小|λ|倍得到．2．向量数乘的运算律
向量的数乘运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则
(1)(λ＋μ)a＝__________；(2)λ(μa)＝(________)a；(3)λ(a＋b)＝__________(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a －b)＝__________. 3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________. 4．共线向量定理
(1)向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得__________．(2)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝
0.
→→→
已知平面内O，A，B，C四点，若OC＝xOA＋yOB，(x，y∈R)．(1)若x＋y＝1，求证A、B、C三点共线；
(2)若A、B、C三点共线，则实数x，y应满足怎样的条件？
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对点讲练
向量的线性运算
例1 计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
*****
3a＋2b －a－b －a＋b＋6a ；(2)3 6 272(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
回顾归纳向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．变式训练1 计算：
1
(1)3(6a－b)－9(ab)；
*****
3a＋2b －a＋b －2 a ；(2)2 28 2(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
共线向量定理的应用
例2 判断下列各组向量是否共线(其中e1、e2为不共线向量)．
11
(1)a＝e1－2，b＝3e1－2e2；(2)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
23
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回顾归纳判断两个非零向量a，b是否共线，关键是看能否找到一个实数λ，使b＝λa，若这样的实数λ不存在，则两向量必不共线，常转化为判断方程(组)是否有解．变式训练 2 两个非零向量a、b不共线．
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．共线向量在平面几何中的应用
例3
→→→
如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不
→→→→
同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．回顾归纳向量是研究平面几何问题的重要工具之一，具体运用向量时要注意准确理解向量反映的几何性质．→
变式训练3 已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则AP等于( )
→→→→
A．λ(AB＋BC)，λ∈(0,1) B．λ(AB＋AD)，λ∈ 0，
2
2→→→→
C．λ(AB－AD)，λ∈(0,1) D．λ(AB－BC)，λ∈ 0，
2 一、选择题
→→→
1．已知平行四边形ABCD中，DA＝a，DC＝b，其对角线交点为O，则OB等于( )
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111
＋b B．a C.(a＋b) D．a＋b 222
2．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
1
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k2
→→→
3．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D
→→→→
4．在△ABC中，点D在线段CB的延长线上，且CD＝4BD ＝rAB＋sAC，则r－s等于( )
48
A．0 B. C. D．3
53
→→→→
5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且PA ＋PB＋PC＝AB，则( ) A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边上或其延长线上D．P在AC边上
二、填空题
11
y－－(
c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y ＝6．若2 3 2
________________. 7.
→→→→→
如图所示，在ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝______.(用a，b表示)
→
8．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝______.(填写正确的序号)
→1→→1→①－BC ②－BC－BA
22
→1→→1→③BC－BA ④BC＋
三、解答题
9．化简：8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)．10.
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1
如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
3
求证：M、N、C三点共线.
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
知识梳理
1．(1)向量(2)相同0
2．(1)λa＋μa (2)λμ (3)λa＋λb λa－λb 3．λμ1a±λμ2b 4．(1)b ＝λa 自主探究
→→→
证明(1)若x＋y＝1，则OC＝xOA＋(1－x)OB
→→→＝x(OA－OB)＋OB，→→→→→∴OC－OB＝xBA，∴BC＝xBA.
→→
又∵BC与BA有公共点B，∴A、B、C三点共线．(2)若A、B、C三点共线．
∴存在实数λ使AC＝λAB成立．→→→→∴OC－OA＝λ(OB－OA)．→→→→→→∴OC＝OA＋λ(OB－OA)＝(1－λ)OA ＋λOB. 令1－λ＝x，λ＝y，∴x＋y＝1.
→→→
∴若OC＝xOA＋yOB，A、B、C三点共线时，x，y应满足条件x＋y＝1. 对点讲练
例1 解(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
21
3a－a＋2b－b －(2)原式＝3 2
7 113 a＋＋b 6 227
3177
a＋b －a＋＝6 7 2 3
7171
＝a＋－－＝0. 6262
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c) ＝6a＋2b.
变式训练1 解(1)原式＝18a－3b－9a＋3b＝9a.
331
2a＋b －a＋b (2)原式＝2 4 2 33＝a－a
44＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a ＝b－c.
例2 解(1)设a＝λb，
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11
∴e1－e2＝λ(3e1－2e2) 2311
－3λ e1＋2λe2＝0. ∴ 3 2
∵e1，e2为不共线向量
1
3λ＝0，21∴解得λ＝61
2λ－＝0，
31
∴a.∴a∥b，即a与b共线．
6
(2)设a＝λb，
∴e1＋e2＝λ(3e1－3e2)
∴(1－3λ)e1＋(1＋3λ)e2＝0. 1－3λ＝0，∴ 该方程组无解．1＋3λ＝0，
∴a与b不共线．
变式训练2 (1)证明∵AD＝AB＋BC＋CD
→
＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6AB，
→→
又∵AD与AB有公共点A，∴A、B、D三点共线．(2)解∵ka＋b与2a＋kb共线，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)．
∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0，k－2λ＝0，∴ k＝2. 1－λk＝0 例3 2
解析如图所示，过点O作OD∥AB交AC于点D. ∵点O 是BC的中点，∴点D是AC的中点．
→→→→
由作图知△NDO∽△NAM. ODDN∴＝MAAN→→
|AB||AC|→
|NC|
22即→→|AM||AN|→|AM|m2∴
→|AM|→n|AN|→→
|nAN－AN|2
→|AN|
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mn
即－(n－1)．22
∴m＝n－2n＋2，即m＋n＝2.
→→
变式训练3 A [AP与AC共线，且菱形ABCD中，→→→→
AC＝AB＋AD，由点P在线段AC上，→→→
得AP＝λ(AB＋AD)，λ∈(0,1)，→→又AD＝BC，→→→∴AP＝λ(AB＋BC)，λ∈(0,1)．] 课时作业1．C
2．D [由共线向量定理知，m＝λn，即(－e1＋ke2)＝λ(e2－2e1)，－2λ＝－1 1∴ ，∴k＝λ＝.]
2 k＝λ
→→→→→→
3．C [∵BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，且BD与AB有公共点B，∴A、B、D三点共线．]
→→→→
4．C [∵CD＝CB＋BD＝4BD，→→∴CB＝3BD.
→→→→→→∴CD＝AD－AC＝AB＋BD－AC →1→→＝AB ＋CB－AC
3
→1→→→＝AB＋(AB－AC)－AC
34→4→＝AB－AC *****∴r，s＝－，r－s＝333
→→→→→→
5．D [∵PA＋PB＋PC＝AB＝PB－PA，→→
∴PC＝－2PA，∴P在AC边上．] 4116.a＋c *****
7.b－a) 4
→→→→
解析MN＝MB＋BA＋AN
13→－a＋AC
2413
－a＋(a＋b)
241
＝(b－a)．48．①
→→→→1→
解析CD＝CB＋BD＝CB＋BA
2
→1→＝－BC.
2
9．解原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c ＝6a＋4b.
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→→→→→1→
10．证明设BA＝a，BC＝b，则由向量加法的三角形法则可知：CM＝BM－BC＝－
2
→1
BC＝a－b.
2
又∵N在BD上且BD＝3BN，
1→1→1→→
∴BN＝BD＝BC＋CD)a＋b)，
333→→→1
∴CN＝BN－BCa＋b)－b
3
1221
a－b ，＝a－＝2 333→2→→→
∴CN＝CM，又∵CN与CM公共点为C.。