一种基于加权空间平滑的新MUSIC算法

一种基于加权空间平滑的新 MUSIC 算法
赵娥 1，陈桂丽 2，廖青 3
1 北京邮电大学通信网络综合技术研究所，北京（100876） 2 郑州大学信息工程学院， 河南郑州（450052） 3 北京邮电大学通信网络综合技术研究所，北京（100876） E-mail：xuejian727@ 摘 要：本文针对基于空间平滑的新 MUSIC 算法对相干源的分辨率较低的问题，提出了一 种基于加权空间平滑的新 MUSIC 算法。该算法充分利用了协方差矩阵的自相关信息和互相关 信息，将主阵协方差矩阵的所有子阵阵元数阶子矩阵进行加权平均，提高了常规空间平滑算 法的去相干能力。计算机仿真结果表明，该算法与传统的各种去相干方法相比具有更高的分 辨率和更低的信噪比门限。 关键词：加权空间平滑， 新的 MUSIC， DOA 估计
论文的第二部分首先建立了窄带阵列相干源的数学模型，对特征分解类算法在相干源条 件下的性能恶化的原因进行了分析，并对常规的空间平滑算法进行了回顾。第三部分对本文 提出的基于加权空间平滑的新 MUSIC 算法进行了详细地论述。第四部分通过计算机仿真文 中理论分析的正确性和算法的有效性。
2. 窄带阵列相干源的数学模型和空间平滑算法
前后向空间平滑技术（FBSS, forward-backward spatial smoothing）,在阵列前向平滑的基 础上又利用了均匀线阵的旋转不变性，对阵列同时进行前后向平滑形式如（5）所示的 m 元
子阵的协方差矩阵 Rfb
∑ ( ) Rfb
=
1 2L
L k =1
Fk
R + JR∗J
Fk T

Di−1RS
D j−1
H
wij
i, j
i, j = 1, 2,", L
（10）
4

[ ] 若构造 B = b1, b2 ,", bM ，其中 bk = ⎡⎣1 e− jβk e− j2βk "e− j(L−1)βk ⎤⎦T 。
阵列输出信号协方差的秩 rank ( Rxx ) < P ，对信号协方差矩阵进行特征值分解后，得到的较
大的特征值个数小于 P，而特征值为σ 2 的个数将大于 M − P 。与此相对应的信号子空间的
2

向量也少于 P ，即特征向量展开的信号子空间的维数少于 A = ⎡⎣a (θ1 ), a (θ2 ) ,", a (θP )⎤⎦ 的
为
∑( ) k
Rm = ARS AH = λi − σ 2 eieiH
i =1
（8）
我们将式（8）代入（6）得到 WFSS 的表达式
LL
∑ ∑ Rwf =
Fi ARS AH Fj H wij
i=1 j =1
LL
∑ ∑ =
Ai RS Aj H wij
i=1 j=1
∑∑ ( ) L
=
L A1Di−1RS D j−1 H A1H wij
Abstract: In this paper, we propose a new MUSIC algorithm based on weighted spatial smoothing to resolve the low resolution of the new MUSIC algorithm based on spatial smoothing. The proposed algorithm takes full advantage of the auto-correlation and cross-correlation information of subarray output and makes a weighted sum of all sub-matrixs of array covariance matrix to form an equivalent subarray covariance matrix. Simulation results demonstrate that the proposed algorithm possess a better resolving ablity and a lower SNR threshold than conventional all kinds of techniques for DOA estimation of coherent signals.
i=1 j=1
∑ ( ) ⎡
= A1 ⎢
Di−1RS
D j−1
H
wij
⎤ ⎥
A1H
⎣ i, j
⎦
= A1RS' A1H
（9）
其中 Ai 为第 I 子阵的流形矩阵，D = diag ⎡⎣e jβ1 e jβ2 "e jβM ⎤⎦ 。可见经过 L2 个子阵加权平均
后，等价的信源协方差矩阵 RS' 为
∑ ( ) RS' =
1

用了子阵输出的自相关信息和互相关信息，将阵列协方差矩阵的所有子阵阵元数阶子矩阵进 行加权平均，而权矩阵的选取以平滑后等价的信源协方差矩阵与对角阵的逼进为约束条件， 以期对相干信源最大限度地去相干，改进常规空间平滑算法对相干源的分辨力。基于此本文 提出的基于加权空间平滑的新 MUSIC 算法，以实现对相干源最大限度的去相干，实现相干 源的高分辨 DOA 估计。
由矩阵的广义逆性质可知只有当矩阵为非奇异时其广义平滑次数大于相干的信号源数时对于秩为bb其广义的唯一性本文算法利用任意矩阵moorepenroser伪逆的唯一性在计算仿真实验时取14其中上标表示矩阵的moorepenroser从14式可见加权矩阵w的选取与矩阵b有关而矩阵b与空间信源真实方位有关所以加权矩阵w是信源空间真实方位的函数
2.1 窄带阵列相干源的数学模型
对于 M 元均匀线阵，阵源间距为 d，且假设均为各向同性阵元。阵列远场中在以线阵
轴线法线为参考的θk (k = 1, 2,", P) 处有 P 个窄带点源以平面波入射，以阵列第一阵元为
参考点，某一特定信号到达线阵时，各阵元接收信号间仅仅存在因波程差引起的相位差。阵
列接收的快拍数据可由式（1）表示为
d
sin (θk
)
阵列的协方差矩阵 R 定义为
（2）
R = E ⎡⎣ X (t ) X H (t )⎤⎦ = ARS AH + σ 2I
（3）
其中 RS = E ⎡⎣S (t ) S H (t )⎤⎦ 为信源的协方差矩阵。
当空间信源互不相干时，对协方差矩阵 R 进行特征分解，构造信号子空间和噪声子空 间，利用其正交性直接采用 MUSIC 或 ESPRIT 算法进行 DOA 估计；但若存在相干信源时，
Keywords: weighted spatial smoothing， New MUSIC ， DOA estimation
1. 引言
由于多径传播、电磁干扰等因素的影响，相干信源存在的电磁环境是经常碰到的。当空 间存在相干源时，经典的超分辨 DOA 估计方法：MUSIC 算法和 ESPRIT 算法，已经失去了 其高分辨性能优势，有时甚至不能正确地估计出信源的真实方位。新 MUSIC 算法在空间不 存在相干源时，其估计性能基本上是和 MUSIC 算法是接近的，但若有相干源存在时，其估 计性能也是大大降低。因此，若将其用于相干源，必须和经典的 MUSIC 算法一样，首先对 阵列输出的协方差矩阵进行各种去相干处理，然后再采用新 MUSIC 算法实现对相干信源的 DOA 估计。文献[1-4]、[9-10]介绍了传统的各种去相干方法：空间平滑法、前后向空间平滑 法、空间平滑差分法、修正的 MUSIC 算法、基于空间平滑的新 MUSIC 算法、基于空间平 滑的 ESPRIT 算法，上述各种算法均能实现对相干信源 DOA 的估计。上述各种去相干方法 都只利用了阵列协方差矩阵的对角子矩阵（对应于子阵列输出的自相关信息），而没有利用 子阵输出的互相关信息。文献[5-6]介绍了基于加权空间平滑的 MUSIC 算法，该算法充分利
矩阵中所有 L2 个 m 阶子矩阵进行加权平均，而权值的优化以平滑后等价的信源协方差矩阵
与对角阵的逼近为约束条件。平滑后等价的 m 阵元阵列协方差矩阵 Rwf 为
3
LL
∑ ∑ Rwf =
Fi RFj H wij
i=1 j=1

（6）
其中 wij 为子矩阵 Rij 的加权系数。 3.2 WFSS 理论分析
X (t ) = A(θ ) S (t ) + N (t )
（1）
式中 X (t ) 为 M ×1快拍数据矢量， X (t ) = ⎡⎣x1 (t ),", xM (t )⎤⎦T 。 N (t ) 为 M ×1阵列阵
元噪声矢量，N (t ) = ⎡⎣n1 (t ),", nM (t )⎤⎦T 。S (t ) 为信号矢量，S (t ) = ⎡⎣s1 (t ) ,", sM (t )⎤⎦T 。
k
M
∑ ∑ R = λieieiH + σ 2eieiH
i =1
i=k +1
∑( ) ∑ k
M
= λi − σ 2 eieiH + σ 2 eieiH
i =1
i =1
∑( ) k
= λi − σ 2 eieiH + σ 2I
i =1
（7）
其中 k 为相干源的个数。我们将 R = ARS AH + σ 2I 与上式比较得修正的阵列协方差矩阵 Rm
（5）
其中上标 ∗ 表示矩阵共轭、矩阵 J 为 N 阶置换矩阵。可以证明，对于 FBSS，当对空间 M 个
相干源进行去相干，至少需要 2M / 3 阵元。
3. 加权空间平滑的新 MUSIC 算法
3.1 加权空间平滑算法原理描述
加权前向空间平滑算法（WFSS, weighted forward spatial smoothing）将前向阵列协方差
考虑到在对阵列协方差矩阵的 L2 个 m 阶子矩阵的平滑时，会破坏数据模型中阵列噪声
协方差矩阵的对角性，所以在进行子矩阵加权平均以前，我们建议采取如下的信号增强预处 理对阵列的协方差矩阵进行修正，以减少对阵列噪声协方差矩阵的影响。同时提高算法在低 信噪比条件下的分辨性能。
我们对协方差矩阵进行特征分解得
A(θ ) 为 阵 列 的 流 形 矩 阵 ， A(θ ) = ⎡⎣a (θ1 ),", a (θP )⎤⎦ ， 其 中
( ) a θk = ⎡⎣1, e jβk ,", e j(M −1)βk ⎤⎦T k = 1, 2," M 为第 k 个信源的导向矢量，βk 为信源波数由
式（2）表示为
βk
=
2π λ
A New MUSIC Algorithm Based on Weighted Spatial
Smoothing
Zhao E1, Chen Guili2，，Liao Qing3
1 No 10 Xitucheng Road,HaiDian District,Beijing City (100876) 2 No 75 Daxue Road,ErQi District,Zhengzhou City (450052) 3 No 10 Xitucheng Road,HaiDian District,Beijing City (100876) E-mail：xuejian727@
子阵列的协方差矩阵 Rf
∑ R f
=
1 L
L k =1
Fk RFkT
（4）
其中 Fk = ⎡⎣0m×(k−1) | Im | 0m×(N −k−+1) ⎤⎦ 。可以证明，当子阵个数 m 大于信源数 M，而且子阵数
L 大于等于信源数 M 时，经过子阵平滑的 m 阶阵列协方差矩阵对应的信源协方差矩阵的秩 恢复为信源数 M。所以对 FSS，对空间 M 个相干源进行去相干，至少需要 2M 个阵元。
列数。对某些相干源的方向矢量 a (θk ) , k = 1" P 将不正交于噪声子空间，不出现零点，所
以，有些源在空间谱曲线中将不呈现峰值，造成谱估计的漏报。 因此，我们要对阵列输出的协方差矩阵首先进行预处理，使其阵列协方差矩阵的秩恢
复为信号元数 P，然后再采用 MUSIC 或 ESPRIT 算法。下面简单回顾一下常规空间平滑算 法。
2.2 空间平滑算法（spatial smoothing）
空间平滑算法是一种有效的用于相干源 DOA 估计的预处理方法。前向空间平滑技术 （FSS, forward spatial smoothing）利用均匀线阵的平移不变性，将阵列划分为相互重叠的 L 个子阵，对应于每个子阵中阵元数为 m=M-L+1,每个子阵都包含了相同的信源方位信息。分 别计算 L 个子阵的自协方差矩阵，然后进行简单的算术平均，从而形成了一个等效的 m 阶