秋高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1第2课时函数的最大(小)值练习新人教A

2018年秋高中数学第一章集合与函数概念1.3 函数的基本性质1.3.1 第2课时函数的最大（小）值练习新人教A版必修1
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第2课时函数的最大（小)值
A级基础巩固
一、选择题
1．已知函数f(x）＝错误!（x∈［2，6］)，则函数的最大值为（)
A．0.4 B．1 C．2 D．2.5
解析：因为函数f(x)＝错误!在[2,6］上是单调递减函数，所以f(x)max＝f(2)＝错误!＝2。

答案：C
2．函数f(x）＝错误!则f（x）的最大值、最小值分别为（）
A．8，4 B．8,6
C．6，4 D．以上都不对
解析：f（x）在［－1,2］上单调递增，所以最大值为f（2)＝8，最小值为f（－1）＝4.
答案：A
3．函数f（x）＝错误!的最大值是( ）
A。

错误! B.错误!
C。

错误!D。

错误!
解析：因为1－x(1－x)＝x2－x＋1＝错误!错误!＋错误!≥错误!,所以错误!≤错误!，得f(x）的最大值为错误!。

答案：C
4．若函数y＝ax＋1在[1,2］上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是（）A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
解析：a>0时,由题意得2a＋1－(a＋1)＝2,即a＝2;a<0时,a＋1－(2a＋1）＝2，所以a ＝－2，所以，a＝±2。

答案：C
5．已知f(x）＝x2－2x＋3在区间［0，t]上有最大值3，最小值2,则t的取值范围是( ) A．［1，＋∞）B．［0，2]
C．（－∞,2] D．[1，2]
解析：因为f（0)＝3,f（1）＝2,函数f（x)图象的对称轴为x＝1，结合图象可得1≤t≤2.
答案：D
二、填空题
6．函数f（x)＝x2－4x＋2，x∈［－4,4]的最小值是________，最大值是________．
解析：f(x)＝(x－2）2－2，作出其在［－4，4]上的图象知f（x)min＝f（2)＝－2；f(x)max ＝f（－4）＝34。

答案：－2 34
7．函数f(x)＝错误!在［1，b]（b＞1)上的最小值是错误!，则b＝________．
解析：因为f(x)＝错误!在[1，b]上是减函数，所以f(x）在［1，b]上的最小值为f（b)＝错误!＝错误!，所以b＝4.
答案：4
8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分)，则其边长x为________m。

解析：设矩形花园的宽为y，则错误!＝错误!，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x（40－x）＝－x2＋40x＝－(x－20）2＋400，当x＝20 m时，面积最大．
答案：20
三、解答题
9．已知函数f（x）＝错误!.
(1）证明：函数在区间（1，＋∞）上为减函数；
(2)求函数在区间［2，4]上的最值．
（1)证明:任取x1，x2∈（1，＋∞)，且x1〈x2，则f(x1）－f(x2)＝错误!－错误!＝错误!.
由于1<x1〈x2，则x2－x1〉0，x1－1>0，x2－1>0，
则f (x 1)－f （x 2）〉0，即f (x 1)>f （x 2)，
所以函数f (x ）在区间（1，＋∞）上为减函数．
（2)解：由(1）可知，f (x )在区间［2,4］上递减，则f (2）最大，为2，f (4）最小，为错误!.
10．如图所示，动物园要建筑一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少?
解：设总长为b ，由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝xb ，
即y ＝x (30－3x ）＝－(x －5)2
＋37.5，x ∈(0，10）．
当x ＝5时,y 取得最大值为37。

5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积最大，最大面积为37.5 m 2。

[B 级 能力提升］
1．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( )
A ．90万元
．60万元 C ．120万元 ．120。

25万元
解析:设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x ）辆，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2（15
－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－错误!2
＋30＋错误!，
所以当x ＝9或10时，L 最大为120万元．
答案:C
2．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间［a ，b ］（a <b <3)有最大值9，最小值－7,则a ＝________，b ＝__________．
解析：y ＝－（x －3)2＋18,因为a 〈b 〈3，所以函数y 在区间[a ，b ]上单调递增,即－b 2＋6b ＋9＝9，得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)－a 2＋6a ＋9＝－7,得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去）．
答案:－2 0
3．已知函数f （x )＝ax －1x
，且f (－2)＝－错误!. (1）求f （x ）的解析式;
(2）判断函数f （x ）在（0，＋∞）上的单调性并加以证明;
（3）求函数f(x)在错误!上的最大值和最小值．解:（1）因为f(－2）＝－错误!，
所以－2a＋错误!＝－错误!,
所以a＝1，所以f(x)＝x－错误!.
(2）f（x）在(0,＋∞)上是增函数．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞），且x1<x2，
则f（x1）－f(x2)＝x1－错误!－x2＋错误!
＝x1－x2＋错误!
＝(x1－x2)错误!
＝错误!，
因为0<x1<x2,
所以x1－x2〈0,x1x2>0，x1x2＋1>0，
所以f(x1)－f（x2)〈0，即f(x1)<f（x2），
所以f（x)在(0，＋∞）上是增函数．
(3）由(2)知f（x）在(0，＋∞）上是增函数，所以f(x)在错误!上是增函数,
所以f（x）max＝f(2）＝错误!，
f（x)
＝f错误!＝－错误!.
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