高考数学二轮专题复习——涂色问题解析

涂色问题解析
一、单选题
1．（23-24高二上·江西新余·阶段练习）如图，用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（）
A．12种B．24种C．48种D．72种
【答案】D
【分析】先涂C区域，再涂D，涂A，涂B，根据分步乘法计数原理可得解.
【详解】先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2
⨯⨯⨯=种涂法.
种涂法，由分步乘法计数原理，共有433272
故选：D.
2．（21-22高二下·山东滨州·期中）用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是（）（用数字填写答案）
A．24B．48C．72D．120
【答案】D
【分析】根据图形的位置关系，由分类加法原理计算即可得答案.
【详解】对图形进行编号如图所示：
第一类：若区域⑥与区域④相同，涂区域⑤有4方法，涂区域①有3种方法，
涂区域④有2种方法，涂区域③有2种方法，涂区域②有1种方法，
则不同的涂色方案的种数为：4322148⨯⨯⨯⨯=种；
第二类：若区域⑥与区域④不相同，涂区域⑤有4方法，
涂区域①有3种方法，涂区域④有2种方法，涂区域⑥有1种方法，
再分类，若涂区域③和⑥一样，涂区域②有2种方法；
若涂区域③和⑥不一样，涂区域②、③有1种方法，
则不同的涂色方案的种数为：()43212172⨯⨯⨯⨯+=种；
根据分类加法计数原理，共有4872120+=种；
故选：D.
3．
（22-23高二下·河北石家庄·期中）某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）
A ．600种
B ．1080种
C ．1200种
D ．1560种【答案】D 【分析】分三类：用5种、4种、3种颜色涂在5个面上，再由分步计数及排列组合数求不同的涂色方案.
【详解】若用5种颜色，从6种颜色任选5种再作全排，即56A 720=种；
若用4种颜色，从6种颜色任选4种有46C 15=种，
再任选一种颜色涂在其中一组对面上有1142C C 8=种，其它3种颜色作全排有33A 6=，
所以，共有1586720⨯⨯=种；
若用3种颜色，从6种颜色任选3种有36C 20=种，
再任选两种颜色涂在两组对面上23
A 6=种，余下的一种颜色涂在底面有1种，所以，共有2061120⨯⨯=种；
综上，不同的涂色方案有7207201201560
++=种.
故选：D
二、填空题
4．（21-22高二上·四川攀枝花·期中）如图，用4种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有种．
【答案】48
【分析】先涂色A区,接着涂色B区，再涂色C区，然后涂色D区，由分步计数原理可得答案.
【详解】从A开始涂色，A有4种涂色方法，
B有3种涂色方法，C有2种涂色方法；
由D区与B，C涂不同色，与A区颜色可以同色也可以不同色，则D有2种涂色方法．⨯⨯⨯=种涂色方法．
故共有432248
故答案为：48
5．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）如图所示，用4种不同的颜色分别给A，B，C，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种．
A
B C D
【答案】48
【分析】通过适当分步，结合分步乘法计数原理求解即可.
【详解】事件给4个区域涂色可分为4步完成，
第一步，给A区域涂色，有4种颜色可选；
第二步，给B区域涂色，有3种颜色可选；
第三步，给C 区域涂色，有2种颜色可选；
第四步，给D 区域涂色，由于D 区域可以重复使用区域B 中已有过的颜色，故也有2种颜色可选．
由分步计数原理知，共有432248⨯⨯⨯=（种）涂色方法．故答案为：48.6．
（23-24高二下·山西临汾·期中）如图，这是一面含A ，B ，C ，D ，E ，F 六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有种不同的涂色方法.
【答案】1200960
【分析】直接由分类、分步计数原理即可求解.
【详解】
第一空：若C ，E 的涂色相同，则共有54323360⨯⨯⨯⨯=种方法；若C ，E 的涂色不相同，则共有()54321322840⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法.
故共有1200种不同的涂色方法.
第二空：因为区域D 不能涂甲油漆，所以区域D 的涂色方法有4种.
若C ，E 的涂色相同，则共有44332288⨯⨯⨯⨯=种方法；
若C ，E 的涂色不相同，则共有()44321322672⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法.
故共有960种不同的涂色方法.
故答案为：1200，960.
7．
（22-23高二下·北京海淀·期中）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是．（用数字作答）
【答案】14
【分析】根据给定条件，求出涂成红色的方格数为偶数的涂色方法数即可计算作答.
【详解】当不涂红色时，有32种，当红色方格数为2时，有2
32C 种，所以共有：32322C 14+=.
故答案为：14.
8．
（22-23高二上·辽宁沈阳·期中）如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有．
【答案】72
【分析】对,A C 进行分类，再利用分步计数原理，进行求解.
【详解】分两种情况：①A ，C 不同色，先涂A 有4种，C 有3种，E 有2种，B ，D 有1种，有43224⨯⨯=种；
②A ，C 同色，先涂A ，C 有4种，再涂E 有3种，B ，D 各有2种，有432248⨯⨯⨯=种．故不同的涂色方法有482472+=种．
故答案为：72
三、解答题
9．
（22-23高二下·全国·课后作业）用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A ，B ，C ，D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，
求共有多少种不同的涂色方法？
【答案】480(种)
【分析】法一、按A ，D 是否涂同色分类计算；法二、按分步计数原理，先涂B 区域，再涂C 区，最后A 、D ，计算即可.
【详解】方法一:分类计数，
第一类，A ，D 涂同色，有6×5×4＝120(种)涂法，
第二类，A ，D 涂异色，有6×5×4×3＝360(种)涂法，
共有120＋360＝480(种)涂法．
方法二:分步计数，先涂B 区，有6种涂法，再涂C 区，有5种涂法，最后涂A ，D 区域，各有4种涂法，
所以共有6×5×4×4＝480(种)涂法．
10．
（23-24高二上·云南曲靖·期末）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？
【答案】1050
【分析】利用分类加法计数原理，结合排列应用问题列式计算即得.
【详解】由图形知，Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用3种颜色，也可用4种颜色，用3种颜色涂色，有37A 种方法，用4种颜色涂有4
7A 种方法，所以不同的涂色方法种数是3477A A 2108401050+=+=.。