2020年高考数学(文)之纠错笔记专题13 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入(含答案解析)

专题13 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入
易错点1 忽略判断框内的条件
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为.
【错解】依题意，该程序框图的任务是计算S=21＋22＋23＋…＋28＋1＋2＋3＋…＋8=546，故输出S的值为546.
【错因分析】解题过程错在循环是在k=10终止，而不是在k=9时终止，所以循环体最后一次执行的是S=S ＋29＋9.
【试题解析】依题意，该程序框图的任务是计算S=21＋22＋23＋…＋29＋1＋2＋…＋9=1067，故输出S的值为1067.
【参考答案】1067
【警示】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明晰循环结构程序框图的真正含义，对于本题，要认清程序框图运行的次数.
1. 注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.
2. 注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.
1．执行如图所示的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】阅读流程图，初始化数值1,1,0a k S =-==.
循环结果执行如下：
第一次：011,1,2S a k =-=-==；
第二次：121,1,3S a k =-+==-=；
第三次：132,1,4S a k =-=-==；
第四次：242,1,5S a k =-+==-=；
第五次：253,1,6S a k =-=-==；
第六次：363,1,7S a k =-+==-=， 结束循环，输出3S =.故选B.
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.
易错点2 误将类比所得结论作为推理依据
已知111222,,,,,a b c a b c 都是非零实数,不等式22
1112220,0a x b x c a x b x c ++<++<的解集分别为
M ,N ,则
“
111
222
a b c a b c ==”是“M =N ”成立的 条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一种).
【错解】由
111222a b c a b c ==知两个不等式同解,即“111222
a b c
a b c ==”是“M =N ”成立的充要条件. 【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中,忽略了不等式与等式的本质区别.
【试题解析】当
111
222
a b c a b c ==时，可取1112221,1a b c a b c ======-,则,M N =∅=R , 故
111
222
=/a b c M N a b c ==⇒; 当M N ==∅时，可取1112221,1,2,3a b c a b c ======，则111
222
a b c a b c ≠≠，即
111222=/a b c M N a b c ⇒==. 综上知“
111
222
a b c a b c ==”是“M =N ”成立的既不充分又不必要条件. 【参考答案】既不充分又不必要条件
类比推理是不严格的,所得结论的正确与否有待用实践来证明,解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误.
2．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++L “…”即代表无限次重复，
但原式却是个定值x ，2x x +=确定出来2x =，类比上述结论可得222log 2log (2log ()[]2)+++L 的正值为
A ．1
B 2
C ．2
D ．4
【答案】C
【解析】由题意可得2log (2)x x =+，0x >，∴22x x =+，解得2x =，故选C.
易错点3 小前提错误
判断函数||2x y =的单调性．
【错解】指数函数(1)x
y a a =>是增函数，而||2x y =是指数函数，所以函数||
2x y =是增函数．
【错因分析】错解中的小前提“||2x y =是指数函数”是错误的，函数||
2x y =不是指数函数，而是一个分段函数，在每一个分段区间上是指数函数，并且底数的取值不同，要对单调性进行讨论．
【试题解析】对于指数函数x
y a =，当1a >时是增函数，当01a <<时是减函数，故当[0,)x ∈+∞时，
||22x x y ==是增函数；当(,0]x ∈-∞时，||1
2()2
x x y ==是减函数．
演绎推理的前提与结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的小前提.
3．矩形的对角线互相垂直，正方形的对角线互相垂直，所以正方形是矩形.以上三段论的推理中 A ．推理形式错误 B ．小前提错误
C ．大前提错误
D ．结论错误
【答案】C
【解析】矩形的对角线不是垂直的, 正方形的对角线是垂直的，正方形是矩形，所以可知大前提出现了错误.
【名师点睛】本题主要考查逻辑推理的结构，分清三段论推理中的大前提，小前提，结论是求解关键.
易错点4 反证法误区——推理中未用到结论的反设
已知实数p 满足不等式(2p +1)(p +2)<0,用反证法证明:关于x 的方程22
250x x p -+-=无实数根.
【错解】假设方程22
250x x p -+-=有实数根，由已知实数p 满足不等式(2p +1)(p +2)<0，解得1
22
p -<<-
，而关于x 的方程22250x x p -+-=的根的判别式2
4(4)p ∆=-.
∵122p -<<-
,∴2
144
<p <，∴∆<0,即关于x 的方程22250x x p -+-=无实数根. 【错因分析】错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法.
【试题解析】假设方程2
2
250x x p -+-=有实数根，则该方程的根的判别式2
4(4)0p ∆=-≥，解得
2p ≥或2p ≤- ①,
而由已知实数p 满足不等式(2p +1)(p +2)<0，解得1
22
p -<<-
②. 数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x 的方程2
2
250x x p -+-=无实数根.
利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立.
4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60︒，反证假设正确的是 A ．假设三内角都大于60︒ B ．假设三内角都不大于60︒ C ．假设三内角至多有一个大于60︒ D ．假设三内角至多有两个大于60︒
【答案】B
【解析】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于60︒不成立，即假设三内角都不大于60︒，故选B.
【名师点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.
易错点5 对复数的相关概念不理解出错
设复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模为3，则（a ＋b i ）（a －b i ）= .
【错解】复数a ＋b i 22
=3a b +则a 2＋b 23又（a ＋b i ）（a －b i ）=a 2－b 2i 2=a 2＋b 23故（a
＋b i ）（a －b i ）3
【错因分析】上述的解题过程对复数模的运算处出现了一个简单的失误，对于复数z =a ＋b i 的模|z |22
a b +故应为a 2＋b 2=3.
【试题分析】复数a ＋b i （a ，b ∈R 2
2
=3a b +a 2＋b 2=3，则（a ＋b i ）（a －b i ）=a 2－（b i ）2=a 2－b 2i 2=a 2＋b 2=3. 【参考答案】3
复数的运算过程中要注意灵活运用复数的概念及运算法则.如本例中模的计算要两边同时平方而得出正确结论.
1. 判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.
2. 对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.
3. 两个虚数不能比较大小.
4. 利用复数相等a ＋b i =c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.
5. 注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若z 1，z 2∈C ，2
2
12+z z =0，就不能推出z 1=z 2=0；z 2<0在复数范围内有可能成立.
5．已知复数12i
3i
z +=
-（其中i 为虚数单位），则||z =
A
B ．
12
C D 【答案】A
【解析】12i (12i)(3i)17i 3i (3i)(3i)10z ++++===--+，∴||102
z ==
，故选A. 【名师点睛】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
一、算法初步
1. 在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性.
2. 在画算法框图时首先要进行结构的选择.若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；
若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构.
3. 循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来
编写程序.
4. 关于赋值语句，有以下几点需要注意：
（1）赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3=m是错误的.
（2）赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y=x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x=Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值.
（3）在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“=”.
二、推理与证明
1．常见的类比、归纳推理及求解策略
（1）在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．
（2）归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法. 2．利用综合法、分析法证明问题的策略
（1）综合法的证明步骤如下：①分析条件,选择方向：确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理等；②转化条件,组织过程：将条件合理转化,书写出严密的证明过程.特别地,根据题目特点选取合
适的证法可以简化解题过程.
（2）分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转化,直到获得一个显而易见的命题即可.
（3）实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径.
3．用反证法证明不等式要把握的三点
（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面．
（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证.
（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的.
4．反证法的一般步骤
用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤:
（1）反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真;
（2）归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾;
（3）存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立.
即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真.
三、数系的扩充与复数的引入
1. 复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.
2. 在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减
法相结合.
3. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C和复平面内所有的点所成的集
合及平面向量是一一对应关系，即
4. 复数运算常用的性质：
（1）①（1±i ）2=±2i ；②
1i =1i +-i ，1i
=1i
-+-i.
（2）设ω=1+i 22
-
，则①|ω|=1；②1＋ω＋ω2=0；③ω=ω2. （3）i n ＋i n ＋
1＋i n ＋
2＋i n ＋
3=0（n ∈N *）.
1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设3i
12i
z -=
+，则||z =
A ．2
B
C
D ．1
【答案】C
【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得z ，再求||z 即可．
【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17
i (12i)(12i)55z --=
=-+-，所以||z ==C ．
方法2：由题可得|3i ||||12i |z -====+，故选C ．
【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设)i i (2z =+，则z = A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -
D ．12i --
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念写出z 即可． 【解析】由题可得2
i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12i z =--，故选D ．
【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i -
D ．1i +
【答案】D
【解析】由题可得()
(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()
z -=
==+++-．故选D ． 【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
4．设i 为虚数单位，复数z 满足(1z +=2(i)，则共轭复数z 的虚部为
A
B ．
C
D ．
【答案】C
【分析】根据条件求出复数z ，然后再求出共轭复数z ，从而可得其虚部．
【解析】∵2(1(i)2z +==-，
∴2
1
z =
==-，
∴1z =-+，∴复数z ．故选C ．
【名师点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数z 是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了2i 1=-．
5．已知复数z 满足||z =2z z +=（z 为z 的共轭复数）（i 为虚数单位）则z = A ．1i +
B ．1i -
C ．1i +或1i -
D ．1i -+或1i --
【答案】C
【解析】设i(,)z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，2z z a +=，
所以22222
a b a ⎧+=⎨=⎩，得1
1a b =⎧⎨=±⎩，所以1i z =+或1i z =-．故选C ．
6．已知i 为虚数单位,且(1+i)z =−1,则复数z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】∵(1+i)z =−1,∴z =−1
1+i =−1
2+1
2i , z 对应的点是(−12,1
2),复数z 对应的点位于第二象限. 故选B. 7．复数
()2i
i 12i m A B m A B -=+∈+R 、、，且0A B +=，则m 的值是 A ．2
3
-
B ．
23
C
D ．2
【答案】A
【解析】因为
()2i
i 12i
m A B m A B -=+∈+R 、、，所以()()2i i 12i m A B -=++，即()2i 22i m A B A B -=-++，由此可得222A B A B m -=⎧⎨
+=-⎩，结合0A B +=可解之得232323A B m ⎧=⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
⎪=-⎪⎩
. 故应选A. 8．下面关于复数z =
2
−1−i
的四个命题:p 1:|z|=2;
p 2:z 的共轭复数z̅在复平面内对应的点的坐标为(−1,−1); p 3:z 的虚部为-1; p 4:z 2=−2i , 其中的真命题是 A ．p 2,p 3 B ．p 1,p 2
C ．p 2,p 4
D ．p 3,p 4
【答案】C
【解析】z =2
−1−i =−1+i ,则 p 1:|z|=√2;
p 2:z 的共轭复数z̅=−1−i 在复平面内对应的点的坐标为(−1,−1); p 3:z 的虚部为1; p 4:z 2=−2i . 故真命题是p 2,p 4. 故选C ．
9．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图是求1
121
22
+
+的程序框图，图中空白框中应填入
A ．1
2A A =
+
B ．12A A =+
C ．1
12A A
=
+
D ．112A A
=+
【答案】A
【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．
【解析】初始：1,122A k ==≤，因为第一次应该计算1
122
+=1
2A +，1k k =+=2； 执行第2次，22k =≤，因为第二次应该计算1
12122
+
+=
1
2A
+，1k k =+=3， 结束循环，故循环体为1
2A A
=
+，故选A ． 【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为1
2A A
=
+． 10．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】执行下边的程序框图，如果输入的ε为0．01，则输出s 的值等于
A ．4122-
B ．5122-
C ．6
122-
D ．7
122-
【答案】C
【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果． 【解析】输入的ε为0.01，
1
1,01,0.01?2
x s x ==+=
<不满足条件； 11
01,0.01?24
s x =++=<不满足条件；
⋅⋅⋅
6111
01,0.00781250.01?22128
S x =++++==<L 满足条件，结束循环；
输出6761111
12(1)22222
S =+
++=⨯-=-L ，故选C ． 【名师点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析． 11．【2019年高考天津卷文数】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为
A ．5
B ．8
C ．24
D ．29
【答案】B
【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果即可．
【解析】1,2S i ==；1
1,1225,3j S i ==+⨯==；8,4S i ==，
结束循环，输出8S =．故选B ．
【名师点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体． 12．【2019年高考北京卷文数】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可． 【解析】初始：1s =，1k =，
运行第一次，2
212312s ⨯==⨯-，2k =，
运行第二次，2
222322s ⨯==⨯-，3k =，
运行第三次，2
222322
s ⨯==⨯-，结束循环，
输出2s =，故选B ．
【名师点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．
13．习总书记在十九大报告中指出:坚定文化自信,推动社会主义文化繁荣兴盛.如图,“大衍数列”:0,2,4,8,12…
来源于<乾坤谱>中对<易传>“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图,输入m =10,则输出
的S=
A．100B．140 C．190D．250
【答案】C
【解析】由题意得,程序的功能是计算当输入m=10时,S的值,S=12−1
2+22
2
+32−1
2
+42−1
2
+⋯+92−1
2
+102
2
．
计算可得S=1
2(8+24+48+80)+1
2
(4+16+36+64+100)=190.
故选C．
14．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】执行下边的程序框图，如果输入的 为0．01，则输出s的值等于
A ．4122-
B ．5122-
C ．6
122-
D ．7
122-
【答案】C
【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果． 【解析】输入的ε为0.01，
1
1,01,0.01?2
x s x ==+=
<不满足条件； 11
01,0.01?24
s x =++=<不满足条件；
⋅⋅⋅
6111
01,0.00781250.01?22128
S x =++++==<L 满足条件，结束循环；
输出6761111
12(1)22222
S =+
++=⨯-=-L ，故选C ． 【名师点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析．
15．宋元时期数学名著<算学启蒙>中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹
何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b 分别为5,2,则输出的n =
A ．2
B ．3
C ． 4
D ．5
【答案】C
【解析】由题可得,因为a =5,b =2,有n =1,a =5+52=
152
,b =4.因为152≤4不成立,所以n =2,a =
152
+
154
=454
,b =8,因为454
≤8不成立,所以n =3,a =
454
+
458
=
1358
,b =16,因为1358
≤16不成立,所以n =4,a =
1358
+
13516
=
40516
,b =32.因为405
16≤32成立,所以输出n =4.
故选C ．
16．用秦九韶方法求多项式f(x)=12+35x −8x 2+79x 3+6x 4+5x 5+3x 6在x =−4的值时,v 2的值为
A ．34
B ．220
C ．-845
D ．3392
【答案】A
【解析】因为f (x )=((((((3x +5)x +6)x +79)x −8)x +35)x +12,因为x =−4,所以v 0=3,v 1=−7,v 2=34. 故选A ．
17．【2019年高考全国I 卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的
头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
1
2
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为
105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 【答案】B
故选B.
方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则
26261
1052
x x y +==
+，得42.07cm, 5.15cm x y ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为
42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm ．故选B ．
【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．
18．中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指<孙子算经>中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图,表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推,例如6613用算筹表示就是,则1227用算筹表示为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得千位的1用算筹表示为“一”.
故选B．
19．甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：
甲说：获奖者在乙丙丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中的一人获奖；
丁说：乙猜测的是对的.
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖，则获奖的是
A．甲和丁B．甲和丙
C．乙和丙D．乙和丁
【答案】D
【解析】乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若乙、丁的预测成立，则甲、丙
的预测不成立，可知矛盾，故乙、丁的预测不成立，从而获奖的是乙和丁，故选D. 【名师点睛】本题考查了逻辑推理能力，假设法是解决此类问题常用的方法.
20．甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试,甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩,老师给每个人只提供了其他
三人的成绩.然后,甲说:我们四个人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;丙说:甲乙丁恰好有一人过关.假设他们说的都是真的,则下列结论正确的是 A ．甲没过关 B ．乙没过关 C ．丙过关
D ．丁过关
【答案】B
【解析】因为甲说:我们四人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;所以四人级有且只有两人过关,两不过关,又因为,丙说:甲乙丁恰好有一人过关,不过关的情况有三种可能:甲乙、甲丁、乙丁,根据甲不知道自己成绩的情况下说四个人中至少两人不过关,可见乙丙丁中有两人不过关,不过关的可能的情况有三种:乙丙、丙丁、乙丁,结合以上六种情况,同时成立的是乙丁不过关,所以一定正确的结论是乙没过关. 故选B ．
21．用反证法证明命题“已知x ，y ∈N *，如果xy 可被7整除，那么x ，y 至少有一个能被7整除”时，假设
的内容是
A ．x y ，都不能被7整除
B ．x y ，都能被7整除
C ．x y ，只有一个能被7整除
D ．只有x 不能被7整除
【答案】A
【解析】用反证法证明命题时，先假设命题的否定成立，再进行推证．“x y ，至少有一个能被7整除”的否定是“x y ，都不能被7整除”． 故选A.
【名师点睛】此题考查量词的否定.至少有一个的否定是一个也没有，因此此题假设内容为都不能.
22．在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排6人的座位,使他们在如图所示的6个椅子中就坐,且相邻座位(如1与
2,2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好,现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在1号位置上,则4号位置上坐的是
A ．小方
B ．小张
C ．小周
D ．小马
【答案】A
【解析】由题可得,因为小林坐在1号位置上,根据相邻座位的人有共同的体育兴趣爱好,所以2号位置上坐小马的话,则3号位置只能坐小李,所以6号位置只能坐小张,所以4号位要与3、5号位置有共同的兴趣爱好,则只能是小方. 故选A ．
23．下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史
上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，则此数列前16项和为
A ．120
B ．163
C ．164
D ．165
【答案】C
【解析】考查每行第二个数组成的数列：2,3,4,5L ，归纳推理可知其通项公式为1n b n =+，
其前8项和887
821442
B ⨯=⨯+
⨯=；
每行第三个数组成的数列：1,3,6,10L ，归纳推理可知其通项公式为()()
2
112
2
n n n c n n +=
=
+， 其前8项和()()()88812818181120262C ⎡⎤⨯+⨯⨯++⨯=
⨯+=⎢⎥⎣⎦
， 据此可得题中数列前16项的和为12044+=164. 本题选择C 选项.
【名师点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列通项公式的求解，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.分别考查每行第二个数和第三个数组成的数列，然后求和两次即可求得最终结果.
24．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1，2，3，4的4个位子上（如图），第一
次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2018次互换座位后，小兔的座位对应的编号为______________.
【答案】2
【解析】由图，经过4次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，因为
2018=4504+2⨯，所以经过2018次互换座位后，小兔对应的是编号2的位置.
【名师点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题.解题的关键是根据前几个变换方式归纳出周期为4的规律，归纳推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想对事物作出判断.根据题意，交换的规律是先前后再左右，由图可以看出，此交换的周期是4,由此规律即可求解.
25．“求方程(3
5)x +(4
5)x =1的解”有如下解题思路:设f(x)=(3
5)x +(4
5)x ,则f(x)在R 上单调递减,且f(2)=1,
所以原方程有唯一解x =2.类比上述解题思路,不等式x 6−(x +2)>(x +2)3−x 2的解集是 ．
【答案】(−∞,−1)∪(2,+∞)
【解析】x 6−(x +2)>(x +2)3−x 2可化为x 6+x 2>(x +2)3+(x +2)， 构造函数f (x )=x 3+x ，则f(x)在R 上单调递增， 所以原不等式等价于f (x 2)>f(x +2)，则x 2>x +2， 所以x <−1或x >2，故不等式的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞).
26．观察下列式子，1
ln 23>，11ln 335>+，111ln 4357
>++，……，根据上述规律，第n 个不等式应该为
__________．
【答案】()111
ln 13521
n n +>+++
+L L 【解析】根据题意，对于第一个不等式，1ln 23>，则有()1
ln 11211
+>⨯+，
对于第二个不等式，11ln 335
>
+，则有()11
ln 213221+>+⨯+，
对于第三个不等式，111ln 4357
>
++，则有()111
ln 3135231+>++⨯+，
依此类推：
第n 个不等式为：()111
ln 13521
n n +>++++L L ，
故答案为：()111
ln 13521
n n +>++++L L ．
【名师点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．
27．有一个游戏：盒子里有n 个球，甲、乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三
个，谁拿到最后一个球就算谁赢.若甲先拿，则下列说法正确的有__________． ①若4n =，则甲有必赢的策略； ②若6n =，则乙有必赢的策略； ③若7n =，则乙有必赢的策略；
④若9n =，则甲有必赢的策略.
【答案】①②④
【解析】先证明以下事实：
当遇到盒中球数为3、4、5时，先拿者有必赢的策略.
证明：不妨设甲先拿，因为最后为一个球，所以当球数为3时，甲先拿1个，乙只能拿一个，最后甲拿1个赢.当球数为4时，甲先拿2个，乙只能拿一个，最后甲拿1个赢.当n=5时，甲先拿3个即可赢，即当球数为5时，甲先拿3个，乙只能拿一个，最后甲拿1个赢.证完.
由已证命题可知①正确.
当n=6时，无论甲先拿几个球皆输.因为若甲先拿1个，则还剩5个，据上述命题这时乙有必赢的策略；若甲先拿2个，则还剩4个，据上述命题这时乙有必赢的策略；若甲先拿3个，则还剩3个，据上述命题这时乙有必赢的策略.所以②正确.
当n=7时，乙不能必赢.反例：当甲先拿1个时，还剩6个，由②知甲有必赢的策略.所以③错误.
当n=9时，甲先拿3个，还剩6个，据②知甲有必赢的策略.所以④正确.
综上，应填①②④.
【名师点睛】(1)本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.对每一个选项逐一判断，前面3个可以举反例说明其是错误的，对最后一个要正面分析推理.
(2)说明一个命题是假命题，只要列举一个反例即可,如果要说明它是真命题，则要分析推理证明.。