大连市年高三年级第二次模拟考试数学

大连市年高三年级第二次模拟考试
数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分 钟.
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) cl S 2
1=锥侧
如果事件A 、B 相互，那么
P(A·B)=P(A)·P(B) 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的表面积公式 P ，那么n 次重复试验中恰好发生k 24R S π=球
次的概率k
n k k n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a =（ ）
A ．
2
1 B ．
4
1 C ．2
2 D ．4
2 2．不等式32
≥-x
x 的解集为
（ ）
A ．),1[+∞-
B ．]1,(--∞
C ．)0,1[-
D ．]1,(--∞∪),0(+∞
3．边长为1的正△ABC 中，设c a c b b a b AC c AB a BC ⋅+⋅+⋅===则,,,= （ ）
A ．－1.5
B ．1.5
C ．0.5
D ．－0.5
4．经过点)3,4
15
(
且一条渐近线为4x +3y=0的双曲线标准方程是 （ ）
A ．19
162
2=-x y B ．
116
92
2=-y x C ．
127642
2=-y x D ．
164
272
2=-y x 5．若1)2(33)(2
3
++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则a 取值范围为 （ ）
A ．21<<-a
B ．21≤≤-a
C ．21≥-≤a a 或
D ．21>-<a a 或
6．在以下命题中①垂直于同一直线的两平面平行 ②平行于同一直线的两平面平行 ③垂直
于同一平面的两平面平行 ④平行于同一平面的两平面平行，其中正确的是命题个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7．已知椭圆的焦点是F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点
M 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线
8．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A ．3π
B ．4π
C ．
π3
3 D ．6π 9．函数]),0[)(6
2sin(3ππ
∈--=x x y 为增函数的区间是
（ ）
A ．]12
5,
0[π B ．]3
2
,6[
ππ C ．]1211
,
6[
ππ
D ．]12
11,
32[ππ 10．数列1002121,,,}{x b x a x x x x x n n n n 则已知满足==+=++的值为 （ ）
A ．－a
B ．a
C ．a －b
D ．b
11．设a 、b 、c 都是正实数，且a 、b 满足c b a b
a ≥+=+则使,19
1恒成立的c 范围是（ ） A ．]8,0(
B ．]10,0(
C ．]12,0(
D ．]16,0(
12．若函数)10()(≠>-=-a a a ka x f x x 且即是奇函数，又是增函数，那么
)(log )(k x x g a +=的图象是
（ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案写在横线上.
13．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3:4:7.现用分层抽样
方法抽出一个容量为n 的样本，样本中B 型号产品有28件.那么此样本的容量n= . 14．若2312420443322104)()(,)32(a a a a a x a x a x a x a a x +-++++++=+则的值为
.（用数字作答）
15．如果三位数的十位数字大于百位数字，也大于个位数字，则这样的三位数一共有 .（作数字作答） 16．下面有4个命题：
①若a 、b 为一平面内两非零向量，则a ⊥b 是|a +b |=|a －b |的充要条件；
②一平面内的两条曲线的方程分别是0),(,0),(21==y x f y x f ，它们的交点是),(00y x P ，则方程0),(),(21=+y x f y x f 的曲线经过点P ；
③经过一点且和一条已知直线垂直的所有直线都在同一平面内；
④已知),(),,(2211y x B y x A 是抛物线)0(22>=p px y 上不同的两个点，则221p y y -=⋅是
直线AB 通过抛物线焦点的必要不充分条件.
其中真命题的序号是 （把符合要求的命题序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中男
生的人数.
（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望；
（Ⅲ）求“所选3人中男生人数ξ≤1”的概率.
18．（本小题满分12分） （Ⅰ）若)4
2cos(],6,12[
π
βππβ-=∈y 求的最大值，并求此时β值. （Ⅱ）已知.cos ,3
1
)tan(,54cos ,,的值求为锐角ββααβα-=-=
19．（本小题满分12分）
如右图三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，SA=BC=2，AB=4，M、N、D分别是SC、AB、BC的中点.
（Ⅰ）求证MN⊥AB；
（Ⅱ）求二面角S—ND—A的正切值；
（Ⅲ）求A点到平面SND的距离.
20．（本小题满分12分）
数列}{n a ，设S n 是数列的前n 项和，并且满足.24,111+==+n n a S a
（Ⅰ）令}{),3,2,1(21n n n n b n a a b 证明 =-=+是等比数列，并求{b n }的通项公式； （Ⅱ）令.lim ,}log log 1{,31
222n n n n n n n T n C C T b C ∞→++⋅=求项和的前为数列
21．（本小题满分12分）
已知函数.0),)(()(b a b x a x x x f <<--=其中
（Ⅰ）设t x s x x f ==及在)(处取到极值，其中;0:,b t a s t s <<<<<求证 （Ⅱ）设)),(,()),(,(t f t B s f s A 求证：线段AB 的中点C 在曲线y=f(x)上； （Ⅲ）若22<+b a ，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直.
22．（本小题满分14分）
在△ABC 中，
2
3||21|
|==
BA BC BA AB AC AB ，又E 点在BC 边上，且满足EC BE 23=，以A ，B 为焦点的双曲线经过C 、E 两点.
（Ⅰ）求此双曲线的方程；
（Ⅱ）设M 、N 为双曲线在第一象限内不同的两点，若x 轴上一点T （x 0，0）到M 、N
的距离相等，求T 点横坐标x 0取值范围.
数学参考答案及评分标准
一、选择题
1.D
2.C
3.C
4.B
5.D
6.B
7.B
8.D
9.B 10.A 11.D 12.D 二、填空题
13．98 14．1 15．240 16．①②③ 三、解答题
17．（Ⅰ）解：ξ可能取的值为0，1，2. P （ξ=k ）=2,1,0,3
7
35
2=⋅-k C C C k k
所以ξ的分布列为 ……4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）ξ的数学期望为7
6
712741720=⨯+⨯+⨯=ξE …………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ），“所选3人中男生人数ξ≤1”的概率为
7
6
7472)1()0()1(=+=
=+==≤ξξξP P P …………12分 18．解：（Ⅰ）,3
1
26,612πβππβπ≤≤∴≤≤
∴12
4
212
π
π
βπ
≤
-
≤-
………………2分
∴)4
2cos(π
β-=y 的最大值为1 ………………4分
此时8
,04
2π
βπ
β=
∴=-
…………6分
（Ⅱ）由3
1
)tan(222040-
=-<-<-⇒⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
<<<
<βαπβαππβπα又 02
<-<-
⇒βαπ
…………8分
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=--
=-⇒⎪⎭⎪⎬⎫=-+---=-=-101)cos(
101)sin(1)(cos )(sin )cos()sin(31)tan(22βαβαβαβαβαβαβα …………10分 而)sin(sin )cos(cos )](cos[cos βααβααβααβ-⋅+-⋅=--=
ξ 0 1 2
P
72 74 71
5010
95310
110354=
⋅-⋅=
…………12分
19．（Ⅰ）证明：∵SA ⊥平面ABC ，SA ⊂平面SAC ，
∴平面SAC ⊥平面ABC.
作ME ⊥AC ，垂足为E ，则ME ⊥平面ABC ， 且E 为AC 中点，N 为AB 中点，
∴EN//BC ， 又∠ABC=90°，EN ⊥AB ， 由三垂线定理，MN ⊥AB.…………4分
（Ⅱ）解：作AF ⊥直线DN ，垂足为F ，连SF ， 由三垂线定理，SF ⊥DF.
∴∠SFA 是二面角S —DN —A 的平面角. ………………6分 ∵∠AFN=∠NBD=90°，∠ANF=∠DNB ，△AFN ∽△BDN ，
∴
.5tan ,,5
2,==∠∆=⋅=∴=AF AS
AFS AFS Rt ND AN BD AF ND AN BD AF 中在 即二面角S —ND —A 的正切值为.5 …………8分
（Ⅲ）解：作AK ⊥SF ，垂足为K ， ∵AF ⊥FD ，SF ⊥FD ∴FD ⊥平面SAF ，面ASF ⊥面DSF.
又AK ⊥SF ，∴AK ⊥平面SFD ，∴AK 就是A 点到平面SND 的距离. ……10分 由Rt △ASF ，,3
62
2=
+⋅=⋅=
AF AS AF AS SF
AF
AS AK ∴A 点到面SND 的距离为
3
6
. …………12分 另解：可由等体积法求出，相应给分.
20．（Ⅰ）证明：)24()2(4111+-+=-=-++n n n n n a a S S a )(41--=n n a a ① ………………2分
由题知 121122++++-=∴-=n n n n
n n a a b a a b
又由①∴n n n n n n a a a a a b 422)(4111-=--=+++ )2(21n n a a -=+ …………4分 ∴
22)
2(2111=--=+++n
n n n n n a a a a b b ∴{b n }是等比数列，公比q=2 ………………6分 又由52
41,24,242212112=∴+=+∴+=+∴+=a a a a a a S
∴b 1=a 2－2a 1=5－2=3 ∴11123--⋅=⋅=n n n q
b b …………8分 （Ⅱ）解：123-==n n n b C ∴1
11)1(1log log 11222+-=+=++n n n n C C n n ∴1
11)111()4131()3121()211(+-=+-+-+-+-=n n n T n …………10分 1)1
11(lim lim =+-=∞→∞→n T n n n …………12分 21．解：（Ⅰ）.)(23)(2ab x b a x x f ++-='
依题意知，s 、t 是二次方程0)(='x f 的两个实根.
∵,0)()(,0)()(,0)0(22>-=-='<-=-='>='a b b ab b b f b a a ab a a f ab f ……2分
∴0)(='x f 在区间（0，a ）与（a ，b ）内分别有一个实根.
∵.0,b t a s t s <<<<∴< …………4分
（Ⅱ）由s 、t 是0)(='x f 的两个实根，知.3
,3)(2ab st b a t s =+=+ ∴)(32)(274)())(()()()(32233b a ab b a t s ab t s b a t s t f s f +++-
=++++-+=+…6分 ∵)),()((2
1)(31)(272)3()2(3t f s f b a ab b a b a f t s f +=+++-=+=+ 故AB 的中点C （)2
(,2t s f t s ++）在曲线y=f(x)上. ……8分 （Ⅲ）过曲线上点),(11y x 的切线方程为).]()(23[11211x x ab x b a x y y -++-=- ∵)()(1111b x a x x y -⋅-=，又切线过原点.
∴].)(23[))((1211111ab x b a x x b x a x x ++--=---
解得1x =0，或.2
1b a x += 当1x =0时，切线的斜率为a b ；当2
1b a x +=时，切线的斜率为.)(412ab b a ++-……10分 ∵,22,0,0<+>>b a b a ∴两斜率之积
.11)1(2)()(4
1)(])(41[22222-≥--=->⋅+-=⋅++-ab ab ab ab b a ab ab ab b a 故两切线不垂直. ………………12分
22．（Ⅰ）以线段AB 的中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，
作CD ⊥AB 于D ， 由题知：||21AB AC AB =
⋅ ① 而A AC AB AC AB cos ||||⋅⋅=⋅ ② 由①②.21||,21cos ==
⋅AD A AC 即 ………………2分 同理，2||,2
3||==AB BD 则 ∴A （－1，0）、B （1，0）……4分 设双曲线方程),(),,21(),0,0(1112222y x E h c b a b
y a x ->>=- 由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧===.52,52,2311h y x EC BE 得 …………6分 因为E 、C 两点在双曲线上，所以⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=+==-=-1125425414122222
222
2b a c b h a b h a
………………8分 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==767122b a ，∴双曲线方程为1767122=-y x …………10分 （Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ∵2022220121)()(|,|||x x y x x y TN TM -+=-+∴=
∴)(2)()()(210212
22012022221x x x x x x x x x y y -+-=---=- ① 又M 、N 在双曲线上，满足)(6,16
77,16772221222122222121x x y y y x y x -=-∴=-=-
② 将②代入①，)(2)(72102221x x x x x -=-
∵021212)(7,x x x x x =+∴≠ …………………………12分 又,7)(2
7,77221021>+=∴>+x x x x x
∴0x 取值范围为（ ,7） ………………14分 （注：其它解法相应给分）。