【河北省衡水中学】2017届高三下学期第二次摸底考试数学(文科)试卷

河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（文科）试卷
第Ⅰ卷 （共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
10A k k =∈-∈N |N ，{}|23,B x x n x n n ===∈N 或，则A B =I （ ） A ．{}6,9
B ．{}3,6,9
C ．{}1,6,9,10
D ．{}6,9,10
2．若复数z 满足()2
12i 13i (i z -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知命题:p 一组数据的平均数一定比中位数小；命题:1q a ∀>，1b >，log 2log 22a b b a +≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q ∨⌝
4．设函数()4,1
2,1
x
x a x f x x +<⎧=⎨≥⎩，若243f f ⎛⎫
⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则实数a =（ ） A ．23
-
B ．43-
C ．43-或 23
-
D ．2-或 23
-
5．若实数x ，y 满足条件210
22030
x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则432z x y =+的最大值为（ ）
A ．14
-
B ．4-
C ．419
-
D ．423
-
6．运行如图所示的程序框图，输出的结果S 等于（ ）
A ．9
B ．13
C ．15
D ．25
7．若以2为公比的等比数列{}n b 满足2221log log 23n n b b n n --=+g
，则数列{}n b 的首项为（ ）
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．4
8．已知函数()g x 的图象向左平移13
个单位所得的奇函数()()()cos 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且MNE ∆是边长为1的正三角形，则()g x 在下列区间递减的是（ ）
A ．53,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
B ．94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．11,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
9．已知1F ，2F 分别是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，M ，N 分别是双曲线C 的左、右
支上关于y 轴对称的两点，且1222F F ON MN ==，则双曲线C 的两条渐近线的斜率之积为（ ） A ．-4
B ．423--
C ．323--
D ．422--
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．2843122++
B ．3643122++
C ．3642123++
D ．44122+
11．椭圆()2
2
2101y x b b
+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在
直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A ．2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
12．设函数()e 3x
g x x a =+-(,e a ∈R 为自然对数的底数），定义在R 上的连续函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=，且当0x <时，()'f x x <，若存在()(){}0|222x x f x f x x ∈+≥-+，使得()()00g g x x =，
则实数a 的取值范围为（ ）
A ．1,e 2⎛
⎤-∞+ ⎥⎝
⎦
B ．(],e 2-∞+
C ．1,e 2⎛
⎤-∞+ ⎥⎝
⎦
D ．(
,e 2⎤-∞+⎦
第Ⅱ卷 （共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2 400人、高二2 000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为________．
14．Rt ABC ∆中，π2
A =，4A
B =u u u
r ，5AC =u u u r (),AM AB AC λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r ，若AM BC ⊥，则λμ
=________．
15．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1 125里．良马第一天走103里，之后每天比前一天多走13里．驽马第一天走97里，之后每天比前一天少走0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中驽马从出发到相遇行走的路程为________里．
16．点M 是棱长为32的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，
112NB NC =，DM BN ⊥，，则动点M 的轨迹的长度为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知24cos 4sin sin 32
B C
B C --=． (1)求A ；
(2)若()
22
43cos cos bc A a B a b -+=-，求ABC ∆面积．
18．如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．
(1)若该人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市，到达后停留3天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为1天的概率；
(2)若该人随机选择3月7日至3月12日中的2天到达该市，求这2天中空气质量恰有1天是重度污染的概率．
19．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，223AB DC ==，
AC BD F =I ，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心．
(1)求证：GF ∥平面PDC ； (2)求点G 到平面PDC 的距离．
20．已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C
于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ．
(1)若当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等腰三角形，求C 的方程；
(2)对于(1)中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛
⎫≥ ⎪⎝
⎭，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，
且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围． 21． 函数()()21ln 2f x x x ax a =+
+∈R ，()23
e 2
x g x x =+． (1)讨论()f x 的极值点的个数； (2)若0x ∀>，()()f x g x ≤． ①求实数a 的取值范围；
②求证：0x ∀>，不等式()2e
e e 12x x x x
+-++
>成立． 请考生在22．23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a t
y t =⎧⎨=⎩
（t 为参数，0a >）．以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为πcos 224ρθ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭．
(1)设P 是曲线C 上的一个动点，当23a =时，求点P 到直线l 的距离的最大值； (2)若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围． 23．选修4-5：不等式选讲
已知定义在R 上的函数()2,*f x x m x m =--∈N ，且()4f x <恒成立． (1)求实数m 的值；
(2)若()0,1α∈，()0,1β∈，()()3f f αβ+=，求证：
4
1
18α
β
+
≥．。