2021年高三上学期月考数学试题(理科)

2021年高三上学期月考数学试题（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若偶函数满足当时，，则（）
A. B.
C. D.
2. 的值是（）
A. 12
B.
C.
D.
. 函数的零点所在的大致区间是（）
A. （1，2）
B. （2，3）
C. 和（3，4）
D. （e，）
4. 函数的定义域为，且对于定义域内的任意都有，且，则的值为（）
A. 1
B.
C. -2
D.
5. 对于函数，现给出四个命题：
①时，为奇函数②的图象关于对称③时，方程有且只有一个实数根④方程至多有两个实数根。

其中正确命题的序号为。

A. ①②
B. ①②③
C. ②④
D. ②③
6. 设为定义在R上的奇函数，当时，（为常数），则（）
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3
7. 曲线在点（1，1）处的切线方程为（）
A. B. C. D.
8. 若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则的值为（）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

9. 。

10. 若二次函数满足，且，则实数的取值范围是。

11. 函数的单调减区间是，极小值是。

12. 若函数若，则实数的取值范围是。

13. 若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是。

14. 若，则。

的化简结果是。

15. 已知函数的一段图象如下图所示，则函数的解析式为。

16. 设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该方程为“漂亮方程”。

则“漂亮方程”
的总个数为。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知集合，
（Ⅰ）当时，求∩；
（Ⅱ）若∩Ø，求实数的取值范围。

18. 已知函数的最小正周期为，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，①求函数的单调区间；②求函数在区间上的最小值。

19. 设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是、，集合。

（Ⅰ）若，且，求和的值；
（Ⅱ）若，且，记，求的最小值。

20. 已知函数，其中，求函数的单调区间与极值。

21. 已知函数。

（Ⅰ）若函数在区间（－1，1）上不单调
．．．，求的取值范围。

（Ⅱ）令，是否存在实数，对任意，存在，使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

【试题答案】
二、填空题：把答案填在下面横线上。

9. 10. 或 11. ； 12. ∪ 13. 14. ，-2 15. 16. 12
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 解：（I ）∩=Ø；（α） 18. （II ）因为， 所以
.
由于，依题意得 ， 所以.
（II ）由（I ）知， 所以.
单调增区间，单调减区间。

当时，.
所以. 因此，故在此区间内的最小值为1. 19. 解：（1）由可知，
又，故1，2是方程的两实根。

，
解得1)1(22)(,2,12
2
+-=+-=∴-==x x x x f b a ， 当时，，即 当时，，即.
（2）由题意知，方程有两相等实根， ，即
， 其对称轴方程为 又，故 ∴ 当时，
20. 解：当时，，，故.
所以曲线在点（1，）处的切线的斜率为3. （II ）解：.
令，解得，或.由知，. 以下分三种情况讨论：
所以在内是增函数，在内是减函数。

函数在处取得极大值，且.
函数在处取得极小值，且.
（2）若，则在R上递增，无极值
所以在，内是增函数，在内是减函数。

函数在处取得极大值，且.
函数在处取得极小值，且.
21. 解析：（Ⅰ）函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数在上存在零点，根据一个零点存在定理，有，即：[][]0
-
-
+
-
+a
a
-
a
a
a
a
1(2
-
)
(
)2
3
1(2
)2
3<
+
(
)
整理得：，解得；
（两个零点综上；）
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