考研数学三(多元函数微分学)模拟试卷9(题后含答案及解析)

考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x，y)=，则f(x，y)在(0，0)处( )。

A．对x可偏导，对y不可偏导
B．对x不可偏导，对y可偏导
C．对x可偏导，对y也可偏导
D．对x不可偏导，对y也不可偏导
正确答案：B
解析：因为不存在，所以f(x，y)在(0，0)处对x不可偏导；因为，所以f’y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处对y可偏导，选
B．知识模块：多元函数微分学
2．设f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足，则f(x，y)在(0，0)处( )．A．取极大值
B．取极小值
C．不取极值
D．无法确定是否取极值
正确答案：A
解析：因为，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当时，｜x｜+y2＞0，所以当时，有f(x，y)＜f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)处取极大值，选A．知识模块：多元函数微分学
3．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．
A．f(x0，y)在y=y0处导数为零
B．f(x0，y)在y=y0处导数大于零
C．f(x0，y)在y=y0处导数小于零
D．f(x0，y)在y=y0处导数不存在
正确答案：A
解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则有f’x(x0，y0)=0，f’y(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0处导数为零，选A．知识模块：多元函数微分学
填空题
4．=________.
正确答案：e2
解析：知识模块：多元函数微分学
5．z=f(x2+y2)，其中f可导，则=_______.
正确答案：0
解析：=2xf’(x2+y2)，=2yf’(x2+y2)，则=y.2xf’(x2+y2)-x.2yf’(x2+y2)=0．知识模块：多元函数微分学
6．z=f(t，t2)，其中f二阶连续可偏导，则=________.
正确答案：2f’+f’’11+4tff’’12+4t2f’’22
解析：=f’1+2tf’2，=f’’11+2tf’’12+2f’2+2t(f’’21+2tf’’22)=2f’+f’’11+4tff’’12+4t2f’’22．知识模块：多元函数微分学
7．设f(x，y)=x3-3x+y2+4y+1，则f(x，y)的极值点为______，极值为_________．
正确答案：(1，-2)；-5
解析：由f’’xx(x，y)=6sc，f’’xy(x，y)=0，f’’yy(x，y)=2，当(x，y)=(-1，-2)时，A=-6，B=0，C=2，因为AC-B2＜0，所以(-1，-2)不是f(x，y)的极值点；当(x，y)=(1，-2)时，A=6，B=0，C=2，因为AC-B2＞0且A＞0，所以(1，-2)为f(x，y)的极小值点，极小值为f(1，-2)=-5．知识模块：多元函数微分学
8．已知由z=zey+z确定z=z(x，y)，则dz｜(e,0)=_________．
正确答案：
解析：x=e，y=0时，z=1．x=zey+z两边关于x求偏导得，将x=e，y=0，z=1代入得x=zey+z两边关于y求偏导得，将x=e，y=0，z=1代入得故dz(e，0)= 知识模块：多元函数微分学
9．设f(x，y)满足=2，f(x，0)=1，f’y(x，0)=x，则f(x，y)=________．
正确答案：y2+xy+1
解析：由=2y+φ1(x)，因为f’y(x，0)=x，所以φ1(x)=x，则=2y+x．再由=2y+x 得f(x，y)=y2+xy+φ2(x)，因为f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．知识模块：多元函数微分学
10．设y=y(x，x)是由方程ex+y+z=x2+y2+z2确定的隐函数，则=________.
正确答案：
解析：ex+y+z=x2+y2+z2两边对z求偏导，得ex+y+z，从而知识模块：多元函数微分学
11．设z=z(x，y)由z+ez=xy2确定，则dz=_____.
正确答案：
解析：方法一z+ez=xy2两边对x求偏导得(1+ez)=y2，解得z+ez=xy2两边对y求偏导得(1+ez)=2xy，解得则dz=方法二z+ez=xy2两边求微分得d(z+ez)=d(xy2)，即dz+ezdz=y2dx+2xydy，解得知识模块：多元函数微分学
12．由方程确定的隐函数z=z(x，y)在点(1，0，-1)处的微分为dz=________．
正确答案：
解析：两边求微分得yzdx+xzdy+xydz+(xdx+ydy+zdz)=0，把(1，0，-1)代入上式得dz=dx- 知识模块：多元函数微分学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

13．设u=f(x2，xy，xy2z)，其中f连续可偏导，求
正确答案：=2xf’1+yf’2+y2f’3，=xf’2+2xyzf’3，=xy2f’3．涉及知识点：多元函数微分学
14．设y=y(x)，z=z(x)由
正确答案：两边对x求导得解得涉及知识点：多元函数微分学
15．已知z=f(x，y)满足：dz=2xdx-4ydy且f(0，0)=5．(1)求f(x，y)；(2)求f(x，y)在区域D={(x，y)｜x2+4y2≤4}上的最小值和最大值．
正确答案：(1)由dz=2xdx-4ydy得dz=d(x2-2y2)，从而f(x，y)=x2-2y2+C，再由f(0，0)=5得f(x，y)=x2-2y2+5．(2)当x2+4y2＜4时，由f(0，0)=5；当x2+4y2=4时，令z=4cos2t-2sin2t+5=6cos2t+3，当cost=0时，fmin=3；当cost=±1时，fmax=9，故最小值为m=3，最大值M=9．涉及知识点：多元函数微分学
16．设u=f(x+y，x2+y2)，其中f二阶连续可偏导，求
正确答案：=f’1+2xf’2，=f’1+2yf’2，=f’’11+2xf’’12+2f’2+2x(f’’21+2xf’’22)=f’’11+4xf’’12+4x2f’’22+2f’2，=f’’11+2yf’’12+2f’2+2y(f’’21+2yf’’22)=f’’11+4yf’’12+4y2f’’22+2f’2，则=2f’’11+4(x+y)f’’12+4(x2+y2)f’’22+4f’2．涉及知识点：多元函数微分学17．举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续．
正确答案：设f(x，y)=，显然f(x，y)在点(0，0)处连续，但不存在，所以f(x，y)在点(0，0)处对x不可偏导，由对称性，f(x，y)在点(0，0)处对y也不可偏导．设
因为所以f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且f’x(0，0)=f’y(0，0)=0．因为不存在，而f(0，0)=0，故f(x，y)在点(0，0)处不连续．涉及知识点：多元函数微分学
18．设试讨论f(x，y)在点(0，0)处的连续性、可偏导性和可微性．
正确答案：由f(x，y)=0=f(0，0)得f(x，y)在点(0，0)处连续．由得f’x(0，0)=0，由得f’y(0，0)=，f(x，y)在(0，0)可偏导．令ρ=，△z=f(x，y)-f(0，0)因为即f(x，y)在(0，0)处可微．涉及知识点：多元函数微分学
19．设z=∫0x2yf(t，et)dt，f有一阶连续的偏导数，求
正确答案：=2xyf(x2y，ex2y)，=2xf(x2y，ex2y)+2xy[x2f’1(x2y，ex2y)+x2ex2yf’2(x2y，ex2y)]．涉及知识点：多元函数微分学
20．设z=f(exsiny，x2+y2)，且f(u，v)二阶连续可偏导，求
正确答案：=f’1exsiny+2xf’2，=f’1excosy+exsiny(f’’11excosy+Zyf”12)+2x(f’’21excosy+2yf’’22)=f’1excosy+f’’11 e2xsin2y+2ex(ysiny+xcosy)f’’12+4xyf’’22. 涉及知识点：多元函数微分学21．设z=f[x-y+g(x-y-z)]，其中f，g可微，求
正确答案：等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对x求偏导得等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对y求偏导得涉及知识点：多元函数微分学
22．设z=f(x，y)由方程z-y-z+xez-y-x=0确定，求dz．
正确答案：对z-y-x+xez-y-x=0两边求微分，得dz-dy-dx+ez-y-xdx+xez-y-x(dz-dy-dx)=0，解得dz=dx+dy．涉及知识点：多元函数微分学
23．(1)设y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求(2)设z=z(x，y)由方程z+lnz-∫xye-t2dt=1确定，求
正确答案：(1)将y=f(x，t)与G(x，y，t)=0两边对x求导得解得(2)当x=0，y=0时，z=1．z+lnz-∫yxe-t2dt=1两边分别对x和y求偏导得涉及知识点：多元函数微分学
24．设z=f[x+φ(x-y)，y]，其中f二阶连续可偏导，φ二阶可导，求
正确答案：z=f[x+φ(x-y)，y]两边对y求偏导得=-f’1.φ+f’2，=-(-f’’11φ’+f’’12)φ’+f’1φ’’-f’’21φ’+f’’22=f’’11φ’-2φ’f’’12+f’1φ’’+f’’22．涉及知识点：
多元函数微分学
25．试求z=f(x，y)=x3+y3-3xy在矩形闭域D={(x，y)｜0≤x≤2，-1≤y≤2}上的最大值与最小值．
正确答案：当(x，y)在区域D内时，由在L1：y=-1(0≤x≤2)上，z=z3+3x-1，因为z’=3x2+3＞0，所以最小值为z(0)=-1，最大值为z(2)=13；在L2：y=2(0≤x ≤2)上，z=x3-6x+8，由z’=3x2-6=0得x=，z(0)=8，，z(2)=4；在L3：x=0(-1≤y ≤2)上，z=y3，由z’=3y2=0得y=0，z(-1)=-1，z(0)=0，z(2)=8；在L4：x=2(-1≤y≤2)上，z=y3-6y+8，由z’=3y2-6=0得y=，z(-1)=13，，z(2)=4．故z=x3+y3-3xy 在D上的最小值为-1，最大值为13．涉及知识点：多元函数微分学。