2020高考数学 第44讲 基本不等式

2020高考数学 第44讲 基本不等式
1．对x ∈R 且x ≠0都成立的不等式是(D)
A ．x ＋1x ≥2
B ．x ＋1x
≤－2 C.|x |x 2＋1≥12 D ．|x ＋1x |≥2
因为x ∈R 且x ≠0，所以当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，－x >0，所以x ＋1x
＝－(－x ＋1－x )≤－2，所以A ，B 都错误；又因为x 2＋1≥2|x |，所以|x |x 2＋1≤12
，所以C 错误，故选D.
2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则(A)
A ．a <v <ab
B ．v ＝ab
C.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b 2
设甲地到乙地走的路程为S ，则 v ＝2S S a ＋S b
＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ， 又因为a <b ，所以v a ＝2b a ＋b
>1，即v >a . 3．(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为(C) A. 2 B ．2
C ．2 2
D ．4
由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0， 所以ab ＝1a ＋2b ≥2 2ab
，即ab ≥22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
1a ＝2b ，1a ＋2b ＝48，即a ＝42，b ＝242时取“＝”， 所以ab 的最小值为2 2.
4．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是(B)
A ．3
B ．4
C.92
D.112
利用基本不等式，
x ＋2y ＝8－x ·(2y )≥8－(x ＋2y 2
)2， 整理，得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，
即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，
又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4.
当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号．
5．(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab
的最小值为 4 .
因为a ，b ∈R ，ab ＞0，
所以a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab
≥2 4ab ·1ab ＝4， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧
a 2＝2
2，b 2＝24时取得等号． 故a 4＋4b 4＋1ab
的最小值为4. 6．如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为 20 (m)．
设矩形的高为y (m)，面积为S (m 2)，
由三角形相似得x 40＝40－y 40
，即x ＋y ＝40. 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2
)2＝400， 当且仅当x ＝y ＝20时等号成立．
7．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝1.
(1)求1x ＋1y
的最小值； (2)求log 2x ＋
log 2y 的最大值． (1)因为1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(4x ＋y )＝y x ＋4x y
＋5≥2y x ·4x y
＋5＝9. 当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝16，y ＝13时，取“＝”． 所以1x ＋1y
的最小值为9. (2)log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )＝log 2(14
·4x ·y ) ≤log 2[14(4x ＋y 2)2]＝log 2116
＝－4， 当且仅当4x ＝y ，即x ＝18，y ＝12
时取“＝”． 所以log
2x ＋log 2y 的最大值为－4.
8．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若对任意x >2，不等式
(x －a )⊗x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是(C)
A ．[－1,7]
B ．(－∞，3]
C ．(－∞，7]
D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
由题意可知，不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2可化为(x －a )(1－x )≤a ＋2，即x －x 2－a ＋ax ≤a ＋2，
所以a ≤x 2－x ＋2x －2
对x >2都成立， 即a ≤(x 2－x ＋2x －2)min
.
由于x 2－x ＋2x －2＝(x －2)＋4x －2＋3≥2(x －2)·4x －2
＋3＝7(x >2)， 当且仅当x －2＝4x －2
，即x ＝4时，等号成立，所以a ≤7. 9．(2018·湖南长郡中学联考)已知向量a ，b 满足：|a |＝|b |＝1且a ·b ＝12
，若c ＝x a ＋y b ，其中x >0，y >0且x ＋y ＝2，则|c |的最小值是 3 .
因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝12
， 所以|c|2＝x 2＋y 2＋2xy a·b ＝x 2＋y 2＋xy
＝(x ＋y )2－xy ＝4－xy ≥4－(x ＋y 2
)2≥3. 当且仅当x ＝y ＝1时，取“＝”．
所以|c|≥ 3.
10．某单位决定投资32000元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价400元，两侧墙砌砖，每米长造价450元，顶部每平方米造价200元，求：
(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？
(2)为使S 达到最大值，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
(1)设铁栅长为x 米，两侧砖墙长为y 米，且x ，y >0.顶部面积S ＝xy ，
依题意得，400x ＋900y ＋200xy ＝32000，
由基本不等式得
32000＝400x ＋900y ＋200xy ≥2400x ·900y ＋200xy
＝1200xy ＋200xy ，
即32000≥1200S ＋200S ，即S ＋6S －160≤0，
令t ＝S (t >0)，得t 2＋6t －160≤0，
即(t －10)(t ＋16)≤0，
所以0<t ≤10，即0<S ≤10，所以0<S ≤100.
所以S 的最大允许值为100平方米．
(2)由(1)S ≤100，当且仅当400x ＝900y ，且xy ＝100时等号成立，解得x ＝15.
所以正面铁栅应设计为15米长．。