极点极线专题 (学生版)

极点极线专题
一、极点极线发展简史
极点与极线 ，是法国数学家吉拉德·笛沙格(Girard Desargues ，1591-1661)于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述．吉拉德·笛沙格，1591年2月21日生于法国里昂，1661年10月卒于里昂，法国数学家和工程师，别名S ．G ．D ．L ．(是他署名Sieur Girard Desargues Lyonnois 的缩写)，射影几何的创始人之一，他奠定了射影几何的基础．以他命名的事物有笛沙格定理、笛沙格图、笛沙格平面，1964年，国际天文学联合会以他的名字命名一个月球环形山．他建立了统一的二次曲线理论，是从笛沙格定理三角形的角度，也是笛沙格定理的退化(参见南师大周兴和著《高等几何》第四章P 98，科学出版社，2003)．
二、硬解定理
1.椭圆中的硬解定理
①椭圆方程为x 2
a 2+y 2b
2=1a >b >0 ,直线y =kx +m 与椭圆交于A 、B 两点，设A x 1,y 1 、
B x 2,y 2 .
联立:x 2a 2+y 2
b 2
=1
y =kx +m
,消元得：b 2+a 2k 2 x 2+2kma 2x +a 2m 2-b 2
=0则x 1+x 2=-2kma 2
b 2+a 2k 2,x 1x 2=a 2m 2-b 2 b 2+a 2k
2
y 1+y 2=kx 1+m +kx 2+m =k x 1+x 2 +2m =-2k 2ma 2b 2+a 2k 2+2k 2ma 2+2mb 2b 2+a 2k 2=2mb 2
b 2+a 2k
2;
y 1⋅y 2=kx 1+m ⋅kx 2+m =k 2x 1x 2+k m x 1+x 2 +m 2=k 2a 2m 2-b 2 b 2+a 2k 2-2k 2m 2a 2b 2+a 2k 2+
k 2m 2a 2+m 2b 2
b 2+a 2k 2
=m 2-a 2k 2 ⋅b 2b 2+a 2k 2
;
x 1y 2+x 2y 1=x 1kx 2+m +x 2kx 1+m =2kx 1x 2+m x 1+x 2 =2ka 2m 2-b 2 b 2+a 2k 2-2k m 2a 2b 2+a 2k 2=-2ka 2b 2
b 2+a 2k 2
;
Δ=4k 2m 2a 4-4a 2m 2-b 2 b 2+a 2k 2 =4a 2b 2b 2+a 2k 2-m 2 ;
弦长公式：AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2
⋅x 1+x 2
2
-4x 1x 2=1+k 2⋅
Δ
A
(A =b 2+a 2k 2)②椭圆方程为x 2
a 2+y 2b
2=1a >b >0 ,直线x =ty +m 与椭圆交于A 、B 两点，设A x 1,y 1 、
B x 2,y 2 .
联立:x 2a 2+y 2
b 2
=1
x =ty +m
,消元得：a 2+b 2t 2 y 2+2tmb 2y +b 2m 2-a 2
=0则y 1+y 2=-2tmb 2
a 2+
b 2t 2,y 1y 2=
b 2m 2-a 2 a 2+b 2t 2
x 1+x 2=ty 1+m +ty 2+m =t y 1+y 2 +2m =-2t 2m b 2a 2+b 2t 2+2t 2m b 2+2ma 2a 2+b 2t 2=2ma 2
a 2+
b 2t
2;
x 1⋅x 2=ty 1+m ⋅ty 2+m =t 2y 1y 2+tm y 1+y 2 +m 2=t 2b 2m 2-a 2 a 2+b 2t 2-2t 2m 2b 2a 2+b 2t 2+
t 2m 2b 2+m 2a 2
a 2+
b 2t 2
=m 2-b 2t 2 ⋅a 2a 2+b 2t 2
;
x 1y 2+x 2y 1=y 2ty 1+m +y 1ty 2+m =2ty 1y 2+m y 1+y 2 =2t b 2m 2-a 2 a 2+b 2t 2-2tm 2b 2a 2+b 2t 2=-2ta 2b 2
a 2+
b 2t 2
;
Δ=4t 2m 2b 4-4b 2m 2-a 2 a 2+b 2t 2 =4a 2b 2a 2+b 2t 2-m 2 ;
弦长公式：AB =1+t 2y 1-y 2 =1+t 2
⋅y 1+y 2
2
-4y 1y 2=1+t 2⋅
Δ
A
(A =a 2+b 2t 2)2.双曲线中的硬解定理
①双曲线方程为x 2
a 2-y 2b
2=1a >0,b >0 ,直线y =kx +m 与双曲线交于A 、B 两点，设A x 1,y 1 、
B x 2,y 2 .
联立:x 2a 2-y 2
b 2
=1
y =kx +m
,消元得：b 2-a 2k 2 x 2-2kma 2x -a 2m 2+b 2
=0则x 1+x 2=2kma 2
b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k
2
y 1+y 2=kx 1+m +kx 2+m =k x 1+x 2 +2m =2k 2ma 2b 2-a 2k 2+2m b 2-2k 2ma 2b 2-a 2k 2=2m b 2
b 2-a 2k
2;
y 1⋅y 2=kx 1+m ⋅kx 2+m =k 2x 1x 2+k m x 1+x 2 +m 2
=-k 2a 2m 2+b 2 b 2-a 2k 2+2k 2m 2a 2b 2-a 2k 2+
m 2b 2-k 2m 2a 2b 2-a 2k 2
=m 2-a 2k 2 ⋅b 2b 2-a 2k 2
;
x 1y 2+x 2y 1=x 1kx 2+m +x 2kx 1+m =2kx 1x 2+m x 1+x 2 =-2ka 2m 2+b 2 b 2-a 2k 2+2km 2a 2b 2-a 2k 2=-2ka 2b 2
b 2-a 2k
2;
Δ=4k 2m 2a 4+4a 2m 2+b 2 b 2-a 2k 2 =4a 2b 2b 2-a 2k 2+m 2 ;
弦长公式：AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2
⋅x 1+x 2
2
-4x 1x 2=1+k 2⋅
Δ
A
(A =b 2-a 2k 2)②双曲线方程为x 2
a 2-y 2b
2=1a >0,b >0 ,直线x =ty +m 与双曲线交于A 、B 两点，设A x 1,y 1 、
B x 2,y 2 .
联立:x 2a 2-y 2
b 2
=1
x =ty +m
,消元得：b 2t 2-a 2 y 2+2tmb 2y +b 2m 2-a 2
=0则y 1+y 2=-2tmb 2
b 2t 2-a 2,y 1y 2=
b 2m 2-a 2 b 2t 2-a 2
x 1+x 2=ty 1+m +ty 2+m =t y 1+y 2 +2m =-2t 2m b 2b 2t 2-a 2+2t 2m b 2-2ma 2b 2t 2-a 2=-2ma 2
b 2t 2-a
2;
x 1⋅x 2=ty 1+m ⋅ty 2+m =t 2y 1y 2+tm y 1+y 2 +m 2=t 2b 2m 2-a 2 b 2t 2-a 2-2t 2m 2b 2b 2t 2-a 2+
t 2m 2b 2-m 2a 2
b 2t 2-a 2
=-m 2+b 2t 2 ⋅a 2b 2t 2-a 2
;
x 1y 2+x 2y 1=y 2ty 1+m +y 1ty 2+m =2ty 1y 2+m y 1+y 2 =2tb 2m 2-a 2 b 2t 2-a 2-2tm 2b 2b 2t 2-a 2=-2ta 2b 2
b 2t 2-a 2
;
Δ=4t 2m 2b 4-4b 2m 2-a 2 b 2t 2-a 2 =4a 2b 2b 2t 2-a 2+m 2 ;
弦长公式：AB =1+t 2y 1-y 2 =1+t 2
⋅y 1+y 2
2
-4y 1y 2=1+t 2⋅
Δ
A
(A =b 2t 2-a 2)3.抛物线中的硬解定理
①抛物线方程为y 2=2px p >0 ,直线y =kx +m 与抛物线交于A 、B 两点，设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 .联立:y 2=2px p >0 y =kx +m ,消元得：
k 2x 2+2km -p x +m 2=0
则x 1+x 2=-2km -p k 2,x 1x 2
=m 2
k 2
y 1+y 2=kx 1+m +kx 2+m =k x 1+x 2 +2m =-2km -p k +2km
k =2p k
;y 1⋅y 2=kx 1+m ⋅kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=m 2-2m km -p k +m 2=2pm
k ;
x 1y 2+x 2y 1=x 1kx 2+m +x 2kx 1+m =2kx 1x 2+m x 1+x 2 =2m 2
k -2m km -p k 2=2pm k 2
;
Δ=4km -p 2-4k 2m 2=4p p -2km ;
弦长公式：AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2⋅
x 1+x 2
2
-4x 1x 2=1+k 2⋅
Δ
A
(A =k 2)②抛物线方程为y 2=2px p >0 ,直线x =ty +m 与抛物线交于A 、B 两点，设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 .
联立:y 2=2px p >0 x =ty +m ,消元得：y 2-2tpy -2pm =0
则y 1+y 2=2tp ,y 1y 2=-2pm
x 1+x 2=ty 1+m +ty 2+m =t y 1+y 2 +2m =2pt 2+2m ;
x 1⋅x 2=ty 1+m ⋅ty 2+m =t 2y 1y 2+tm y 1+y 2 +m 2=-2pmt 2+2pmt 2+m 2=m 2;x 1y 2+x 2y 1=y 2ty 1+m +y 1ty 2+m =2ty 1y 2+m y 1+y 2 =-4pmt +2pmt =-2pmt ;Δ=4t 2p 2-4-2pm =4p pt 2+2m ;
三、切线方程
1.椭圆的切线
①椭圆方程为x 2
a 2+y 2
b 2=1a >b >0 ,点P x 0,y 0 为椭圆上一点，过点P x 0,y 0 作椭圆的切线，则切
线的斜率为k =-b 2x 0
a 2y 0.
【证明】：设切线方程为y =k x -x 0 +y 0即y =kx +m (m =y 0-kx 0)
∵点P x 0,y 0 为椭圆x 2
a 2+y 2b
2=1a >b >0 上一点
∴x 02
a 2+y 02
b 2=1，则x 02-a 2
=-a 2b 2y 02,y 02-b 2=-b 2a
2x 0
2联立:x 2a 2+y 2
b 2
=1
y =kx +m
,消元得：b 2+a 2k 2 x 2+2kma 2x +a 2m 2-b 2
=0则Δ=4k 2m 2a 4-4a 2m 2-b 2 b 2+a 2k 2 =4a 2b 2b 2+a 2k 2-m 2 =0,即b 2+a 2k 2-y 0-kx 0 2=0
整理得：x 02-a 2 k 2-2x 0y 0k +y 02-b 2
=0,即a 2b 2y 02k 2+2x 0y 0k +b 2a
2x 02=0,
∴a 2b 2y 02k 2+2b 2⋅x 0a 2⋅y 0k +b 4⋅x 02a 4⋅y 02
=0，即a 2b 2y 02
k +b 2x 0a 2y 0
2=0∴k =-b 2x 0
a 2
y 0
②椭圆方程为x 2
a 2+y 2
b 2=1a >b >0 ,点P x 0,y 0 为椭圆上一点，过点P x 0,y 0 作椭圆的切线，则切
线方程为x 0x
a 2+y 0y b
2=1.
【证明】：∵点P x 0,y 0 为椭圆x 2
a 2+y 2b
2=1a >b >0 上一点
∴b 2x 02+a 2y 02
=a 2b 2
设切线方程为y -y 0=k x -x 0 ,又k =-b 2x 0a 2y 0,则y -y 0=-b 2x 0
a 2y 0
x -x 0
∴a 2y 0y -a 2y 02=b 2x 02-b 2x 0x ,b 2x 0x +a 2y 0y =b 2x 02+a 2y 02
=a 2b 2
左右两边同时除以a 2b 2得：x 0x
a 2+y 0y b
2=1
则P x 0,y 0 处的切线方程为x 0x
a 2+y 0y b
2=1.
③椭圆方程为x 2
a 2+y 2b
2=1a >b >0 ,点P x 0,y 0 为椭圆外一点，过点P x 0,y 0 作椭圆的切线PA
和PB ，则切点弦方程为x 0x
a 2+y 0y b
2=1.
【证明】：∵设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 .∴切线PA 和切线PB 方程分别为
x 1x a 2+y 1y b 2=1、x 2x
a 2+y 2y
b 2
=1∵点P x 0,y 0 在直线PA 和PB 上
∴x 1x 0
a 2
+y 1y 0b 2
=1x 2x 0
a 2+y 2y 0
b 2
=1
即A 、B 两点都满足方程x 0x
a 2+y 0y b
2=1
故切点弦AB 的方程为x 0x
a 2+y 0y
b 2=1
④椭圆方程为x 2
a 2+y 2b
2=1a >b >0 ,点P x 0,y 0 为椭圆内一点，过点P x 0,y 0 作椭圆的一条弦
AB ，与椭圆分别交于点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，过点A x 1,y 1 和点B x 2,y 2 分别作椭圆的切线，切线交
点为点M ，则点M 的轨迹方程为x 0x
a 2+y 0y b
2=1.
【证明】：∵AB 可以看成是点M 的切点弦
∴直线AB 的方程为
x M x a 2+y M y b 2
=1又点P x 0,y 0 在直线AB 上
∴x M x
0a 2+y M y 0b
2=1
即点M 满足方程x 0x
M a 2+y 0y M b
2=1
故点M 的轨迹方程为x 0x
a 2+y 0y b
2=1
2.双曲线的切线①双曲线方程为x 2
a 2-y 2b
2=1a >0,b >0 ,点P x 0,y 0 为双曲线上一点，过点P x 0,y 0 作双曲线的
切线，则切线的斜率为k =b 2x 0
a 2y 0.
【证明】：设切线方程为y =k x -x 0 +y 0即y =kx +m (m =y 0-kx 0)
∵点P x 0,y 0 为双曲线x 2
a 2+y 2b
2=1a >0,b >0 上一点
∴x 02
a 2-y 02
b 2=1，则x 02-a 2
=-a 2b 2y 02,y 02+b 2=b 2a
2x 0
2联立:x 2a 2-y 2
b 2
=1
y =kx +m
,消元得：b 2-a 2k 2 x 2-2kma 2x -a 2m 2+b 2
=0则Δ=4k 2m 2a 4+4a 2m 2+b 2 b 2-a 2k 2 =4a 2b 2b 2-a 2k 2+m 2 =0,即b 2-a 2k 2+y 0-kx 0 2=0
整理得：x 02-a 2 k 2-2x 0y 0k +y 02+b 2
=0,即a 2b 2y 02k 2-2x 0y 0k +b 2a
2x 02=0,
∴a 2b 2y 02k 2-2b 2⋅x 0a 2⋅y 0k +b 4⋅x 02
a 4⋅y 02 =0，即a 2
b 2y 02
k -b 2x 0a 2y 0
2=0∴k =b 2x 0
a 2
y 0
②双曲线方程为x 2
a 2-y 2b
2=1a >0,b >0 ,点P x 0,y 0 为双曲线上一点，过点P x 0,y 0 作双曲线的
切线，则切线方程为x 0x
a 2-y 0y b
2=1.
【证明】：∵点P x 0,y 0 为双曲线x 2
a 2-y 2b
2=1a >0,b >0 上一点
∴b 2x 02-a 2y 02
=a 2b 2
设切线方程为y -y 0=k x -x 0 ,又k =b 2x 0a 2y 0,则y -y 0=b 2x 0
a 2y 0
x -x 0
∴a 2y 0y -a 2y 02=b 2x 0x -b 2x 02,b 2x 0x -a 2y 0y =b 2x 02-a 2y 02
=a 2b 2
左右两边同时除以a 2b 2得：x 0x
a 2-y 0y b
2=1
则P x 0,y 0 处的切线方程为x 0x
a 2-y 0y
b 2=1.
③双曲线方程为x 2
a 2-y 2b
2=1a >0,b >0 ,点P x 0,y 0 为双曲线外一点，过点P x 0,y 0 作双曲线的
切线PA 和PB ，则切点弦方程为x 0x
a 2-y 0y b
2=1.
【证明】：∵设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 .∴切线PA 和切线PB 方程分别为
x 1x a 2-y 1y b 2=1、x 2x
a 2-y 2y
b 2
=1
∵点P x 0,y 0 在直线PA 和PB 上
∴x 1x 0
a 2-y 1y 0
b 2=1x 2x 0
a 2-y 2y 0
b 2
=1
即A 、B 两点都满足方程x 0x
a 2-y 0y b
2=1
故切点弦AB 的方程为x 0x
a 2-y 0y
b 2=1
④双曲线方程为x 2
a 2-y 2b
2=1a >0,b >0 ,点P x 0,y 0 为双曲线内一点，过点P x 0,y 0 作双曲线的
一条弦AB ，与双曲线分别交于点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，过点A x 1,y 1 和点B x 2,y 2 分别作双曲线的切
线，切线交点为点M ，则点M 的轨迹方程为x 0x
a 2-y 0y b
2=1.
【证明】：∵AB 可以看成是点M 的切点弦
∴直线AB 的方程为x M x
a 2-y M y b
2=1
又点P x 0,y 0 在直线AB 上
∴x M x
0a 2-y M y 0b
2=1
即点M 满足方程x 0x
M a 2-y 0y M b
2=1
故点M 的轨迹方程为x 0x
a 2-y 0y b
2=1
3.抛物线的切线
①抛物线方程为y 2=2px p >0 ,点P x 0,y 0 为抛物线上一点，过点P x 0,y 0 作抛物线的切线，则切
线的斜率为k =p
y 0.
【证明】：设切线方程为y =k x -x 0 +y 0即y =kx +m (m =y 0-kx 0)∵点P x 0,y 0 为抛物线y 2=2px p >0 上一点
∴y 02=2px 0
联立:y 2=2px p >0 y =kx +m ,消元得：k 2x 2+2km -p x +m 2=0
则Δ=4km -p 2-4k 2m 2=4p p -2km =0,即p =2k y 0-kx 0
整理得：2x 0k 2
-2y 0k +p =0,即y 02p
k 2-2y 0k +p =0
∴y 02p k 2-2p y 0k +p 2y 0
2
=0，即y 02p k -p y 0 2=0∴k =
p y 0
②抛物线方程为y 2=2px p >0 ,点P x 0,y 0 为抛物线上一点，过点P x 0,y 0 作抛物线的切线，则切线方程为y 0y =p x 0+x .
【证明】：∵点P x 0,y 0 为抛物线y 2=2px p >0 上一点
∴y 02=2px 0
设切线方程为y -y 0=k x -x 0 ,又k =
p y 0,则y -y 0=p
y 0
x -x 0
∴y 0y -y 02=p x -x 0 ,即y 0y =p x -x 0 +y 02
=p x -x 0 +2px 0=p x 0+x .
则P x 0,y 0 处的切线方程为y 0y =p x 0+x .
③抛物线方程为y 2=2px p >0 ,点P x 0,y 0 为抛物线外一点，过点P x 0,y 0 作抛物线的切线PA 和PB ，则切点弦方程为y 0y =p x 0+x .
【证明】：∵设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 .
∴切线PA 和切线PB 方程分别为y 1y =p x 1+x 、y 2y =p x 2+x ∵点P x 0,y 0 在直线PA 和PB 上∴y 1y 0=p x 1+x 0 y 2y 0=p x 2+x 0
即A 、B 两点都满足方程y 0y =p x 0+x 故切点弦AB 的方程为y 0y =p x 0+x
④抛物线方程为y 2=2px p >0 ,点P x 0,y 0 为抛物线内一点，过点P x 0,y 0 作抛物线的一条弦AB ，与抛物线分别交于点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，过点A x 1,y 1 和点B x 2,y 2 分别作抛物线的切线，切线交点为点M ，则点M 的轨迹方程为y 0y =p x 0+x .
【证明】：∵AB 可以看成是点M 的切点弦∴直线AB 的方程为y M y =p x M +x 又点P x 0,y 0 在直线AB 上∴y M y 0=p x M +x 0
即点M 满足方程y 0y =p x 0+x 故点M 的轨迹方程为y 0y =p x 0+x
四、调和分割
“调和分割”又称“调和共轭” , 来源于交比，分“调和线束”和“调和点列”两种, 它是交比研究中的一个重要特例, 也是贯穿《高等几何》课程的一个重要概念.
定义：调和线束与调和点列
若交比为-1,则称为调和比.交比为-1的线束称为调和线束,点列称为调和点列. 一般地, 若AC =λCB AD =-λDB ，若λ>0且λ≠1,则A ,C ,B ,D 四点构成“调和点列”，其中A ,B 叫做基点,C ,D 叫做内、外分点.
1.调和点列：如图，在直线l 上有两点A ,B ，则在l 上存在两点C ,D 到A ,B 两点的距离比值为定值，即AC BC
=AD
BD =λ，则称顺序点列A ,C ,B ,D 四点构成调和点列，其中A ,B 叫做基点,C ,D 叫做内、外分点.(调和关系2AB =1AC +1
AD
).
同理，也可以C ,D 为基点，A ,B 为内、外分点”.(调和关系1DB +1DA =2
DC ).
则顺序点列A ,C ,B ,D 四点仍构成调和点列。

所以称A ,B 和C ,D 称为调和共轭.
定理1：调和点列的性质：若A ,C ,B ,D 为调和点列, 即AC BC
=
AD BD
,则:
1AC +1AD =2
AB
①调和性:
1AC +1AD =2
AB 【证明】:∵AC BC =
AD
BD
∴CB CA =DB DA ,即AB -CA CA =DA -AB DA ∴AB CA -1=1-AB DA ，即AB CA +AB DA =2∴1AC +1AD =2AB ②共轭性:若A ,C ,B ,D 构成调和点列, 则D ,B ,C ,A 也构成调和点列，即：若AC BC
=
AD BD
成立, 则
1DB +1DA =2
DC
也成立.【证明】:∵AC BC =
AD
BD
∴CB DB =CA DA ,即CD -DB DB =DA -CD DA ∴CD DB -1=1-CD DA ,即CD DB +CD DA =2∴1DB +1DA =2DC ③等比性:⑴CA CB =DA DB
=λ⑵记线段AB 的中点为M , 则有MA |2= MB |2=MC ⋅MD .⑶记线段CD 的中点为N , 则有NC |2= ND |2=NA ⋅NB .
【证明】:∵CA CB
=DA DB
∴MA +MC MB -MC =MD +MA MD -MB ,即MA +MC MA -MC
=
MD +MA MD -MA
∴
MA +MC MD +MA
=
MA -MC MD -MA
由等比性质可知:MA +MC +MA -MC MD +MA +MD -MA
=
MA +MC -MA - MC ∣ MD +MA -MD -MA
即
2MA 2MD =2MC
2MA
⇒MA |2= MB 2=MC ⋅MD
同理可得：NC |2= ND |2=NA ⋅NB .
2.调和线束：如图，若A ,C ,B ,D 构成调和点列，O 为直线AB 外任意一点，则直线OA ,OB ,OC ,OD 称为调和线束.若另一直线截调和线束，则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列.
交比：如图, 过点O 的四条直线被任意直线l 所截的有向线段之比AC AD /BC BD
称为线束OA 、OC 、OB 、OD 或点列A ,C ,B ,D 的交比.
定理1：交比与所截直线无关.
【证明】:令线束O a ,b ,c ,d 分别交l 于A ,B ,C ,D ,
则AC AD /BC BD
=S ΔAOC S △AOD /S ΔBOC S ΔBOD =12⋅AO ⋅CO ⋅sin ∠AOC 12⋅AO ⋅DO ⋅sin ∠AOD /
12
⋅BO ⋅CO ⋅sin ∠COB
12
⋅BO ⋅DO ⋅sin ∠BOD =CO ⋅sin ∠AOC DO ⋅sin ∠AOD /CO ⋅sin ∠COB DO ⋅sin ∠BOD =sin ∠AOC sin ∠AOD ⋅sin ∠COB sin ∠BOD
.∴AC AD /BC BD
=-AC AD /BC BD =-sin ∠AOC sin ∠AOD ⋅
sin ∠COB sin ∠BOD 定理2：保持线束不变, 取另一直线l 交线束于A ,B ,C ,D , 可视为对l 作射影变换, 所得交比不变, 由此说明交比是射影不变量, 具有射影不变性.
【证明】:令线束O a ,b ,c ,d 分别交l 于A ,B ,C ,D ,交l 于A ,B ,C ,D .
则A C A D /B C B D
=S ΔA
OC
S △A
OD
/S ΔB
OC
S ΔB
OD
=12⋅A O ⋅C O ⋅sin ∠A OC 12⋅A O ⋅D O ⋅sin ∠A OD /
12⋅B O ⋅C O ⋅sin ∠C OB
12
⋅B O ⋅D O ⋅sin ∠B OD =C O ⋅sin ∠A OC D O ⋅sin ∠A OD /C O ⋅sin ∠C OB D O ⋅sin ∠B OD =sin ∠A OC sin ∠A OD ⋅sin ∠C OB sin ∠B OD =sin ∠AOC sin ∠AOD ⋅sin ∠COB sin ∠BOD .∴A C A D /B C B D
=-A C A D /B C B D
=-sin ∠AOC sin ∠AOD ⋅sin ∠COB sin ∠BOD 性质1:若A 、C 、B 、D 为调和点列，即OA 、OC 、OB 、OD 为调和线束时，过点B 作BE ⎳OD 交OA 于点E ，交OC 于点F ，则点F 为BE 的中点.
【证明】:∵AC BC =S △AOC S △BOC =12
⋅OA ⋅OC ⋅sin ∠AOC
12
⋅OB ⋅OC ⋅sin ∠BOC =
OA ⋅sin ∠AOC OB ⋅sin ∠BOC ∴sin ∠AOC sin ∠BOC =AC BC ⋅OB OA
∴EF BF =S △EOF S △BOF =12
⋅OE ⋅OF ⋅sin ∠AOC
12
⋅OB ⋅OF ⋅sin ∠BOC =OE ⋅sin ∠AOC OB ⋅sin ∠BOC =OE OB ⋅AC BC ⋅OB OA =OE OA ⋅
AC BC =BD AD ⋅AC BC =BD AD ⋅AD BD
=1∴EF =BF ,即点F 为BE 的中点
性质2:若A 、C 、B 、D 为调和点列，即OA 、OC 、OB 、OD 为调和线束时，过点C 作CE ⎳OA 交OD 于点E ，交OB 于点F ，则点F 为CE 的中点.
【证明】:∵BD BC =S △BOD S △BOC =12
⋅OD ⋅OB ⋅sin ∠BOD
12
⋅OC ⋅OB ⋅sin ∠BOC =
OD ⋅sin ∠BOD OC ⋅sin ∠BOC ∴sin ∠BOD sin ∠BOC =BD BC ⋅OC OD
∴EF CF =S △EOF S △COF =2
⋅OE ⋅OF ⋅sin ∠EOF
12
⋅OC ⋅OF ⋅sin ∠COF =OE ⋅sin ∠EOF OC ⋅sin ∠COF =OE ⋅sin ∠BOD OC ⋅sin ∠BOC =OE OC ⋅BD BC ⋅
OC OD =OE OD ⋅BD BC =AC AD ⋅BD BC
=BC BD ⋅BD BC =1
∴CF =EF ,即点F 为CE 的中点
性质3:若A 、C 、B 、D 为调和点列，即OA 、OC 、OB 、OD 为调和线束时，过点A 作直线l ⎳OD ，直线l 交OC 的延长线于点E ，交OB 的延长线于点F ，则点F 为AE 的中点.
【证明】:∵AC BC =S △AOC S △BOC =12
⋅OA ⋅OC ⋅sin ∠AOC
12
⋅OB ⋅OC ⋅sin ∠BOC =
OA ⋅sin ∠AOC OB ⋅sin ∠BOC ∴sin ∠AOC sin ∠BOC =AC BC ⋅OB OA
∴AE EF =S △AOE S △EOF =12
⋅OA ⋅OE ⋅sin ∠AOC
12
⋅OF ⋅OE ⋅sin ∠BOC =OA ⋅sin ∠AOC OF ⋅sin ∠BOC =OA OB +BF ⋅AC BC ⋅OB OA
=OB OB +BF ⋅AC BC =11+BF OB ⋅AC BC =11+AB BD
⋅AC BC =BD BD +AB ⋅AC BC =BD AD ⋅
AC BC =BC AC ⋅AC BC
=1∴AE =EF ,即点E 为AF 的中点
性质4:若A 、C 、B 、D 为调和点列，即OA 、OC 、OB 、OD 为调和线束时，过点D 作直线l ⎳OA ，直线l 交OB 的延长线于点E ，交OC 的延长线于点F ，则点E 为DF 的中点.
【证明】:∵BD BC =S △BOD S △BOC =12
⋅OD ⋅OB ⋅sin ∠BOD
12
⋅OC ⋅OB ⋅sin ∠BOC =
OD ⋅sin ∠BOD OC ⋅sin ∠BOC ∴sin ∠BOD sin ∠BOC =BD BC ⋅OC OD
∴DE EF =S △DOE S △EOF =2
⋅OD ⋅OE ⋅sin ∠DOE
12
⋅OF ⋅OE ⋅sin ∠EOF =OD ⋅sin ∠DOE OF ⋅sin ∠EOF =OD ⋅sin ∠BOD OF ⋅sin ∠BOC
=OD OF ⋅BD BC ⋅OC OD =OC OF ⋅BD BC =OC OC +CF ⋅BD BC =11+CF OC ⋅BD BC =11+DC AC
⋅BD BC
=AC AC +DC ⋅BD BC =AC AD ⋅BD BC =AC AD ⋅AD AC
=1∴DE =EF ,即点E 为DF 的中点
性质5:A 、C 、B 、D 为调和点列，若OC 平分∠AOB ,则：①OC ⏊OD ；②OD 为∠AOB 的外角平分线.
【证明】:∵AC BC =S ΔAOC S ΔBOC =12
⋅AO ⋅CO ⋅sin ∠AOC
12
⋅BO ⋅CO ⋅sin ∠BOC =AO BO ⋅sin ∠AOC sin ∠BOC =
AO BO ∴AD BD =S ΔAOD S △BOD =12
⋅AO ⋅OD ⋅sin ∠AOD
12
⋅BO ⋅DO ⋅sin ∠BOD =AO ⋅sin ∠AOD BO ⋅sin ∠BOD =AC BC =
AO BO ∴sin ∠AOD =sin ∠BOD ,又∠AOD ≠∠BOD ∴∠AOD +∠BOD =π,又∠AOD +∠EOD =π
∴∠BOD =∠EOD ,即OD 为∠AOB 的外角平分线
∵∠AOC =∠BOC =12∠AOB ,∠BOD =∠EOD =1
2∠BOE ,且∠AOB +∠BOE =π
∴∠BOC +∠BOD =π
2
,即OC ⏊OD
五、调和性
如图所示，设点P 是椭圆x 2a 2+y 2
b 2=1a >b >0 外一点，过点P 作椭圆的两条切线PM 和PN ，则直
线MN 的方程为x P x
a 2+y P y b
2=1，记直线MN 为l ,过点P 任作一条割线交椭圆于点A ,B ，交l 于点Q
①P 、A 、Q 、B 构成“调和点列”，既有PA PB =QA QB 或1PA
+1PB =2PQ
【证明】：设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ∵点Q 在切点弦MN 上∴x P x Q a 2+y P y Q b 2
=1
设AP =-λPB ,则
x P =
x 1-λx 21-λy P =y 1
-λy 2
1-λ
由已知点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 在椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1a >b >0 上可得：x 12
a 2+y 12
b 2=1x 22
a 2+y 22
b 2=1
即x 12
a 2+y 12
b 2=1⋯①
λ2⋅x 22a 2+λ2⋅y 22
b
2=λ2⋯② ①-②得：x 1+λx 2 ⋅x 1-λx 2 a 2+y 1+λy 2 ⋅y 1-λy 2
b 2
=1+λ ⋅1-λ
整理得1a 2⋅x 1+λx 2 ⋅x 1-λx 2 1+λ ⋅1-λ +1b 2⋅y 1+λy 2 ⋅y 1-λy 2
1+λ ⋅1-λ =1
即1a 2⋅x 1+λx 21+λ⋅x 1-λx 21-λ+1b
2⋅y 1+λy 21+λ⋅y 1-λy 221-λ=1
∴1a 2⋅x 1+λx 21+λ⋅x P +1b 2⋅y 1+λy 2
1+λ⋅y P =1,又x P x Q a 2+y P y Q b 2=1
∴x Q =x 1
+λx 2
1+λ
y Q =y 1
+λy 21+λ
，即x Q -x 1=λx 2-x Q y Q -y 1=λy 2-y Q
∴AQ =λQB
∴PA
PB =QA QB
=λ②由“调和点列”的共轭性可得：BQPA 也构成调和点列，即有BQ AQ =BP AP 或1BQ +1BP =
2
BA
③如图，当直线经过曲线中心O 时，有OP ⋅OQ =OA 2=OB 2
④x P ⋅x Q =x A 2=x B
2
【证明】：如图，设点P 在x 轴左边∵直线PA 过原点O
∴x B=x A
由PA
PB=
QA
QB=
x A-x P
-x A-x P=
x Q-x A
-x A-x Q
即x P⋅x Q-x A2+x P⋅x A-x Q⋅x A=x P⋅x A+x A2-x P⋅x Q-x Q⋅x A
∴x P⋅x Q=x A2=x B2
六、极点和极线的定义
1. 极点和极线的几何定义
(1)当P在圆锥曲线Γ上时，则点P的极线是曲线Γ在P点处的切线；
(2)当P在圆锥曲线Γ内时，过点P任作两条割线分别交曲线Γ于A、B和C、D，设曲线Γ在A，B处的切线交于点M，在C,D处的切线交于点N，则直线MN称为点P对应的极线，点P称为极点，此时极线圆锥曲线必定相离.
(3)当P在圆锥曲线Γ外时，过点P作曲线Γ的两条切线，设其切点分别为A，B，则点P对应的极线是直线AB(即切点弦所在的直线),点P称为极点,此时极线与曲线Γ必定相交.
点P任作两条割线分别交Γ于C、D和E、F,设Γ在C，D处的切线交于点M，在E,F处的切线交于点N，则点M、N必定在点P对应的极线上.
2.自极三角形
圆锥曲线Γ上有四个点A、B、C、D，对角线AD和BC的交点为N点，延长AC和BD交于点M,延长AB和CD交于点P，过点P作曲线Γ的两条切线，设其切点分别为E，F,则点P对应的极线是直线EF(即切点弦所在的直线)，则点M,N一定在点P对应的极线EF上,此时称点P为极点，直线MN 称为极点P对应的极线；过点M作曲线Γ的两条切线，设其切点分别为T，S,则点M对应的极线是
直线TS(即切点弦所在的直线).则点P,N一定在点M对应的极线TS上,此时称点M为极点，直线PN称为极点M对应的极线;过点A、D分别作曲线Γ的两条切线，设其交点为点G，过点B、C分别作曲线Γ的两条切线，设其交点为点H，此时点G、H一定在直线PM上，则点N对应的极线是直线PM,此时称点N为极点，直线PM称为极点N对应的极线.我们把△PMN称为“自极三角形”.
自极三角形△PMN：极点P一一极线MN；极点M一一极线PN;极点N一一极线PM.
其中有两种特殊情况：
1 .当四边形变成三角形时：
①曲线上的点A B、M、N
对应的极线就是切线PA;
②曲线外的点P对应的极线，退化成点A.
2 .当四边有一组对边平行时，例如AB⎳CD时：
①AB和CD的交点P落在无穷远处；
②点M的极线NF和点N对应的极线ME满足：ME⎳AB⎳NF⎳CD
3.极点极线的代数定义
【定义】:已知圆锥曲线Γ:Ax 2+Cy 2+2Dx +2Ey +F =0,则称点P (x 0,y 0)和直线l :Ax 0x +Cy 0y +D (x +x 0)+E (y +y 0)+F =0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.
事实上，在圆锥曲线方程中，以x 0x 替换x 2，以x 0+x
2替换x ,以y 0+y 2
替换y ，即可得到点P (x 0,y 0)的
极线方程.
特别地：⑴对于椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1，与点P (x 0,y 0)对应的极线方程为x 0x a 2+y 0y b
2=1；当P (x 0,y 0)为其
焦点F (c ,0)时，极线x 0x a 2+y 0y b
2=1变成x =a 2
c ，恰是椭圆的右准线；
⑵对于双曲线x 2
a 2-y 2
b 2=1，与点P (x 0,y 0)对应的极线方程为x 0x a 2-y 0y b
2=1；当P (x 0,y 0)为其焦点F
(c ,0)时，极线x 0x a 2−y 0y b
2=1变成x =a 2
c ，恰是双曲线的右准线；
⑶对于抛物线y 2=2px ，与点P (x 0,y 0)对应的极线方程为y 0y =p (x 0+x ).当P (x 0,y 0)为其焦点F p 2,0 时，极线y 0y =p (x 0+x )变为x =−p 2，恰为抛物线的准线。

4.配极原则
对于任意的二次曲线C ：Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0,平面内任一点P (x 0,y 0)对关于曲线C 对应的极线方程为：
Ax 0x +By 0y +C ⋅
x 0y +y 0x 2+D ⋅x 0+x
2+E ⋅y 0+y 2
+F =0也就是说任意一点P (x 0,y 0)对应二次曲线C 的极线方程遵循以下替换原则：
x 2→x 0x ,y 2→y 0y ,xy →x 0y +y 0x 2,x →x 0+x
2,y →y 0+y 2
，常数不变
以上替换原则我们称为配极原则.七、极点与极线的基本性质、定理
【定理1】①当P (x 0,y 0)在圆锥曲线Γ上时，其极线l 是曲线Γ在P 点处的切线；
【证明】：设圆锥曲线Γ的方程为Ax 2+Cy 2+2Dx +2Ey +F =0
两边同时对x 求导得2Ax +2Cyy +2D +2Ey =0，解得y =-Ax +D
Cx +E
，
于是曲线Γ在P 点处的切线斜率k =-Ax +D
Cy +E ，故切线l 的方程为y -y 0=-Ax 0+D Cy 0+E
(x -x 0)
化简得，Ax 0x +Cy 0y -Ax 20-Cy 2
0+Dx +Ey -Dx 0-Ey 0=0⋯①
∵点P (x 0,y 0)在曲线Γ上
∴Ax 20+Cy 20+2Dx 0+2Ey 0+F =0，即Ax 20+Cy 20=-2Dx 0-2Ey 0-F ⋯②
由①②可得曲线Γ在P 点处的切线l 的方程为Ax 0x +Cy 0y +D (x 0+x )+E (y 0+y )+F =0.根据极点极线的代数定义，此方程恰为点P (x 0,y 0)对应的极线方程.
②当P (x 0,y 0)在圆锥曲线Γ外时，其极线l 是曲线Γ从点P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；
【证明】：设过点P (x 0,y 0)作圆锥曲线Γ的两条切线的切点分别为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，如图由①可知，点M 处的切线方程为:Ax 1x +Cy 1y +D (x 1+x )+E (y 1+y )+F =0点N 处的切线方程为Ax 2x +Cy 2y +D (x 2+x )+E (y 2+y )+F =0∵点P 在切线PM 上
∴Ax 0x 1+Cy 0y 1+D (x 0+x 1)+E (y 0+y 1)+F =0
∵点P在切线PN上
∴Ax0x2+Cy0y2+D(x0+x2)+E(y0+y2)+F=0
即点M(x1,y1),N(x2,y2)都在直线Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0上
故切点弦MN所在的直线方程为Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0.
根据极点极线的代数定义，此方程恰为点P(x0,y0)对应的极方程.
③当P(x0,y0)在圆锥曲线Γ内时，其极线l是曲线Γ过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 【证明】：设过点P(x0,y0)作曲线Γ的割线ST，过点S、T分别作曲线Γ的切线，设切线交点为点M.设S(x1,y1),T(x2,y2)，M(m,n)如图所示：
由①可知，曲线在点S(x1,y1)处的切线方程为Ax1x+Cy1y+D(x1+x)+E(y1+y)+F=0
曲线在点T(x2,y2)处的切线方程为Ax2x+Cy2y+D(x2+x)+E(y2+y)+F=0，
∵点M(m,n)在切线SM上
∴Ax1m+Cy1n+D(x1+m)+E(y1+n)+F=0
∵点M(m,n)在切线ST上
∴Ax2m+Cy2n+D(x2+m)+E(y2+n)+F=0
即点S(x1,y1),T(x2,y2)都在直线Axm+Cyn+D(x+m)+E(y+n)+F=0上
故直线ST的方程为Axm+Cyn+D(x+m)+E(y+n)+F=0.
又直线ST过点P(x0,y0)
∴Ax0m+Cy0n+D(x0+m)+E(y0+n)+F=0
即点M(m,n)在直线Ax0m+Cy0n+D(x0+m)+E(y0+n)+F=0
∴两切线的交点的轨迹方程式Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0.
根据上述几何定义个性质可知，当曲线为圆或椭圆时，若极点在曲线外，则极线与曲线相交有两个共同点；若极点在曲线内，则极线与曲线相离没有公共点；若极线与曲线相交，则极点在曲线外；若极线与曲线相离，则极点在曲线内.
若过极线l上一点Q可作Γ的两条切线，M,N为切点，则直线MN必过极点P.
【定理2】配极原则
⑴点P关于圆锥曲线Γ的极线p经过点Q⇔点Q关于Γ的极线q经过点P;
⑵直线p关于Γ的极点P在直线q上⇔直线q关于Γ的极点Q在直线p上.
由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.
特别地：圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线.
①对于椭圆x 2a 2+y 2b 2=1而言，右焦点F (c ,0)对应的极线为c ⋅x a 2+0⋅y b
2=1，即x =a 2
c ，恰为椭圆的
右准线；对于椭圆x 2a 2+y 2b
2=1而言，点M (m ,0)对应的极线方程为x =a 2
m ;
②对于双曲线x 2a 2-y 2b
2=1而言，点M (m ,0)对应的极线方程为x =a 2
m ；
③对于抛物线y 2=2px 而言，点M (m ,0)对应的极线方程为x =-m .
【引理】从直线x =t (且t >a )上任意一点P 向椭圆E :x 2
a 2+y 2b
2=1a >b >0 的左右顶点A 1,A 2引
两条割线PA 1,PA 2与椭圆交于M ,N 两点，则直线MN 恒过定点a 2
t
,0 ．
【证明】：如图所示，设AB 和CD 的交点为M ,连接AD 和BC 相交于点N ，连接MN ，则直线MN 为极点P 对应的极线.
设点P t ,n ,则直线MN 的方程为
t ⋅x
a 2+n ⋅y
b 2
=1令y =0得：x =a 2t ,即点M a 2
t
，0 ∴直线CD 过定点a 2
t
,0
【定理3】椭圆E :x 2a 2+y 2
b
2=1a >b >0 左右顶点为A ,B ，椭圆外一点P m ,t (且m >a )，PA 交椭
圆于另一点C ,PB 交椭圆于另一点D ，若直线CD 过定点M n ,0 ，则mn =a 2．
【证明】：如图所示，连接AD 和BC 相交于点N ，连接MN ，则直线MN 为极点P 对应的极线.∵点P m ,t ,
∴直线MN 的方程为
m ⋅x
a 2+t ⋅y
b 2
=1,又点MM n ,0 在直线m ⋅x
a 2+t ⋅y
b 2
=1
∴m ⋅n a 2
=1,即mn =a 2
【定理4】如图所示，设点P 是椭圆C 外的一个极点，它对应的极线为l ,过点P 作直线m 垂直于x 轴，再过点P 任作直线交曲线C 于A ,B 两点，交极线于点E ，点M 是直线m 上任意一点，记直线MA ,MB ,ME 的斜率分别为k 1,k 2,k 0,则有k 1+k 2=2k 0.
【证明】：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0且m ≠n )，设点P x 0,y 0 ，则点P 对应的极线方程为l :mx 0x +ny 0y =1.设M x 0,t ,E x E ,y E ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l AB :y =kx +b k ≠0 ,则有：y 0=kx 0+b
联立：y =kx +b mx 0x +ny 0y =1 ，解得：x E =
1-nby 0
mx 0+nky 0y E =
k +mbx 0
mx 0+nky 0
∴k 0=y E -t x E -x 0=k +mbx 0-mtx 0-ntky 01-nby 0-mx 02-nkx 0y 0=1-nty 0 k +b -t mx 01-mx 02-b +kx 0 ny 0=1-nty 0 k +b -t mx 0
1-mx 02-ny 0
2=nty 0-1 k +t -b mx 0mx 02+ny 02
-1联立：y =kx +b mx 2+ny 2=1
得：nk 2+m x 2+2nkbx +nb 2-1 =0∴x 1+x 2=-2nkb nk 2+m ,x 1x 2=
nb 2-1
nk 2+m ∴k 1+k 2=y 1-t x 1-x 0+y 2-t x 2-x 0=kx 1+b -t x 1-x 0+kx 2+b -t x 2-x 0=2k -y 0-t x 1+x 2-2x 0
x 1x 2-x 1+x 2 x 0+x 0
2=2k -y 0-t -2nbk -2nk 2
+m x 0
nb 2-1+2nkbx 0+nk 2+m x 02=2k -2y 0-t mx +kx 0+b nk mx 02
+kx 0+b n -1=2⋅nty 0-1 k +t -b mx 0
mx 02+ny 02
-1
=2k 0【定理5】如图所示，设点P 是双曲线C ：x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)外的一个极点，它对应的极线为l ,
过点P 作直线m 垂直于x 轴，再过点P 任作直线交曲线C 于A ,B 两点，交极线于点E ，点M 是直线
m 上任意一点，记直线MA ,MB ,ME 的斜率分别为k 1,k 2,k 0,则有k 1+k 2=2k 0.
【证明】：设点P n ,t ，则点P 对应的极线方程为l :
nx
a 2-ty
b 2
=1.设M n ,s ,E x E ,y E ,A x 1,y 1 ,
B x 2,y 2 ,直线l AB :y =kx +m k ≠0 ,则有：t =kn +m 联立：y =kx +m
nx a 2-ty b 2=1
，解得：x E =b
2
+mt a 2
nb 2-kta 2
y E =
ka 2+mn b 2
nb 2-kta 2
∴k 0=s -y E n -x E =s nb 2-kta 2 -ka 2+mn b 2n nb 2-kta 2 -b 2+mt a 2=s -m n -ka 2 b 2-skta
2
n 2-a 2 b 2-t kn +m a
2=s -m n -ka 2 b 2-skta 2
n 2-a 2 b 2-t 2a
2
联立：y =kx +m
x 2a 2-y 2
b
2=1
得：b 2-a 2k 2 x 2-2kma 2x -a 2b 2+m 2
=0∴x 1+x 2=2kma 2
b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+m 2 b 2-a 2k
2
y 1+y 2=k x 1+x 2 +2m =-2k 2ma 2
b 2-a 2k
2
x 1y 2+x 2y 1=x 1kx 2+m +x 2kx 1+m =2kx 1x 2+m x 1+x 2 =-2ka 2b 2+m 2 b 2-a 2k 2+2km 2a 2b 2-a 2k 2=-2ka 2b 2
b 2-a 2k
2
∴k 1+k 2=y 1-s x 1-n +y 2-s x 2-n =
y 1-s x 2-n +y 2-s x 1-n
x 1-n x 2-n
=x 1y 2+x 2y 1-s x 1+x 2 -n y 1+y 2 +2sn x 1x 2-n x 1+x 2 +n 2=-2ka 2b 2b 2-a 2k 2-2kmsa 2b 2-a 2k 2+2k 2mna 2b 2-a 2k
2+2sn -a 2b 2+m 2 b 2-a 2k 2-2kmna 2b 2-a 2k
2+n 2
=-2ka 2b 2-2kmsa 2+2k 2mna 2+2snb 2-2sna 2k 2
-a 2b 2+m 2 -2kmna 2+b 2n 2-a 2k 2n 2=2⋅s -m n -ka 2 b 2-sk kn +m a 2
n 2-a 2 b 2-a 2
kn +m
2=2⋅s -m n -ka 2 b 2-skta 2
n 2-a 2 b 2-t 2a
2
=2k 0【定理6】如图所示，设点P 是抛物线C ：y 2=2px (p >0)外的一个极点，它对应的极线为l ,过点P 作直线m 垂直于x 轴，再过点P 任作直线交曲线C 于A ,B 两点，交极线于点E ，点M 是直线m 上任意一点，记直线MA ,MB ,ME 的斜率分别为k 1,k 2,k 0,则有k 1+k 2=2k 0.
【证明】：设点P n ,t ，则点P 对应的极线方程为l :ty =p n +x .设M n ,s ,E x E ,y E ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l AB :x =my +k ,则有：n =mt +k
联立：x =my +k
ty =p n +x ，解得：x E =
pmn +tk t -pm y E =
p n +k
t -pm
∴k 0=y E -s x E -n =p n +k -s t -pm pmn +tk -n t -pm =
p n +k -s n -k m
-pm pmn +n -k m ⋅k -n n -k m
-pm =pmn +pmk -sn +sk +spm
2
pm 2n +nk -k 2-n 2+nk +pm 2n =pm n +k +s pm 2+k -n 2pm 2n -k -n 2
联立：x =my +k y 2=2px
得：y 2-2pmy -2pk =0∴y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-2pk
x 1+x 2=m y 1+y 2 +2k =2pm 2
+2k ,x 1x 2=y 122p ⋅y 22
2p =y 1y 2 24p
2=k 2x 1y 2+x 2y 1=my 1+k y 2+my 2+k y 1=2my 1y 2+k y 1+y 2 =-2pmk
∴k 1+k 2=y 1-s x 1-n +y 2-s x 2-n =
y 1-s x 2-n +y 2-s x 1-n
x 1-n x 2-n =x 1y 2+x 2y 1-s x 1+x 2 -n y 1+y 2 +2sn x 1x 2-n x 1+x 2 +n 2=
-2pmk -s 2pm 2+2k -2pmn +2sn k 2-n 2pm 2+2k +n 2
=2⋅pmk +s pm 2+k +pmn -sn n 2pm 2+2k -n 2-k 2=2⋅pm n +k +s pm 2+k -n 2pm 2n -k -n 2
=2k 0
特别得：如图，当过点P 的直线与其极线交点E 在x 轴时，直线MP 为点E 的极线.
此时定理可以表述为：设直线与曲线x 2
a 2±y 2b
2=1交于A 、B 两点，且直线分别与x 轴、y 轴相交于点
E m ,0 ，点E 不在椭圆端点和椭圆中心 若M 是E 点对应极线x =a 2
m 上任一点，则k MA ,k ME ,k MB 成等差数列，即k MA +k MB =2k ME
【定理7】如图所示，已知椭圆E :x 2a 2+y 2
b
2=1a >b >0 ，不与x 轴垂直的直线l 与椭圆交于A ,B 两
点，点M a 2
m
,0 0<m <a ，则直线l 过定点P m ,0 等价于x 轴平分∠AMB ，即∠AMB =
∠BMO ．
【证明】：如图所示：过点M 作x 轴的垂线m ，延长BA 交直线m 于点N
∵点M a 2
m ,0
∴点M a 2m ,0 对应的极线方程为a 2m
⋅x
a 2+0⋅y b
2=1,即极线方程为x =m ∵点P m ,0 在点M a
2m
,0 对应的极线上
∴k MA +k MB =2k MP =0即∠AMB =∠BMO ．
【性质1】已知点A 是椭圆x 2
a 2+y 2b
2=1(a >b >0)上任一点，极点P (t ,0)t <a ,t ≠c ,t ≠0 ，相应的
极线x =a 2t ；椭圆在点A 处的切线与极线x =a 2
t
交于点N ，过点N 作直线AP 的垂线MN ，垂足为
M ，则直线MN 恒过x 轴上的一个定点Q ，且点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆(点Q 除外),如图所示：
【证明】：设点A x 1,y 1 ，则切线AN 的方程为
x 1x
a 2+y 1y
b 2
=1切线AN 与极线x =a 2t 的交点N a 2t ,
b 2
t -x 1
ty 1
由P t ,0 ,MN ⏊PA 可得直线MN 的斜率为k MN =-x 1
-t
y 1
∴直线MN 的方程为y -b 2t -x 1 ty 1=-x 1-t y 1x -a 2
t
当x 1≠t 时，令y =0得：-b 2t -x 1 ty 1=-x 1-t y 1x -a 2t ，解得：x =
c 2
t
∴直线MN 的方程过x 轴上一定点Q c 2
t
,0 当x 1=t 时，直线MN 的方程为y =0,也过点Q c 2
t
,0
∴直线MN 恒过x 轴上一定点Q c 2
t ,0 ∵PQ 是定点且∠PMQ =90∘
∴点M 的轨迹是以PQ 的中点为圆心，PQ 为直径的圆.
【性质2】已知点A 是双曲线x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)上任一点，极点P t ,0 t >a ,t ≠c ，相应的
极线x =a 2t . 双曲线在点A 处的切线与极线x =a 2
t
交于点N ，过点N 作直线AP 的垂线MN ，垂足
为M ，则直线MN 恒过x 轴上的一个定点Q ，且点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆(点Q 除外). 如图所示：
【证明】：设点A x 1,y 1 ，则切线AN 的方程为
x 1x
a 2-y 1y
b 2
=1
切线AN 与极线x =a 2t 的交点N a 2t ,
b 2
x 1-t
ty 1
由P t ,0 ,MN ⏊PA 可得直线MN 的斜率为k MN =
t -x 1
y 1
∴直线MN 的方程为y -b 2x 1-t ty 1=t -x 1y 1x -a 2
t 当x 1≠t 时，令y =0得：-b 2x 1-t ty 1=t -x 1y 1x -a 2t ，解得：x =
c 2
t
∴直线MN 的方程过x 轴上一定点Q c 2
t
,0 当x 1=t 时，直线MN 的方程为y =0,也过点Q c 2
t
,0 ∴直线MN 恒过x 轴上一定点Q c 2
t ,0 ∵PQ 是定点且∠PMQ =90∘
∴点M 的轨迹是以PQ 的中点为圆心，PQ 为直径的圆.
【性质3】已知点A 是抛物线y 2=2px (p >0)上任一点，极点P (t ,0)t >0,t ≠
p
2
，相应的极线为x =-t ；抛物线在点A 处的切线与极线x =-t 交于点N ，过点N 作直线AP 的垂线MN ，垂足为M ，则直线MN 恒过x 轴上的一个定点Q ，且点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆(点Q 除外). 如图所示：
【证明】：设点A x 1,y 1 ，则切线AN 的方程为y 1y =p x 1+x
切线AN 与极线x =-t 的交点N -t ,
p x 1-t
y 1
由P t ,0 ,MN ⏊PA 可得直线MN 的斜率为k MN =
t -x 1
y 1
∴直线MN 的方程为y -p x 1-t y 1=t -x 1
y 1x +t
当x 1≠t 时，令y =0得：-p x 1-t y 1=t -x 1
y 1
x +t ，
解得：x =p -t ∴直线MN 的方程过x 轴上一定点Q p -t ,0
当x 1=t 时，直线MN 的方程为y =0,也过点Q p -t ,0 ∴直线MN 恒过x 轴上一定点Q p -t ,0 ∵PQ 是定点且∠PMQ =90∘
∴点M 的轨迹是以PQ 的中点为圆心，PQ 为直径的圆.
【性质4】椭圆x 2
a 2+y 2b
2=1(a >b >0)的一个焦点F ，其对应的准线（极线）为l 上，过点F 的直线交椭
圆于A 、B 两点，C 是椭圆上任意一点任一点，直线CA 、CB 分别与准线l 交于M 、N 两点，则以线段MN 为直径的圆必过焦点F .如图所示：
【证明】：如图，连接CF 并延长交椭圆于点Q ，则B 、Q 、M 和A 、Q 、N 一定共线
设点M a 2c ,y 1 ,N a 2
c
,y 2 ∵直线FN 为点M 对应的极线
∴直线FN 的方程为
x
c +y 1y b
2=1又点N 在直线FN 上
∴a 2c 2+y 1y 2b 2=1,即y 1y 2=-b 4
c
2
∴k FN ⋅k FM =y 1a 2c -c ⋅y 2a 2c
-c =c 2⋅y 1y 2
b 4=-1,即FM ⏊FN
∴以线段MN 为直径的圆必过焦点F
【性质5】椭圆x 2
a 2+y 2b
2=1(a >b >0)的一个类焦点为F t ,0 0<t <a ，其对应的类准线（极线）为
l ：x =a 2
t
，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，C 是椭圆上任意一点任一点，直线CA 、CB 分别与类准
线l 交于M 、N 两点，则以线段MN 为直径的圆恒过点a 2t ±b
t
⋅a 2-t 2,0 .
【证明】：设点M a 2t ,y 1 ,N a 2t ,y 2 ，则点M 对应的极线方程为x
t +y 1y b
2=1
∵直线FN 为点M 对应的极线
∴直线FN 的方程为x
t +y 1y b
2=1
又点N 在直线FN 上
∴a 2t 2+y 1y 2b 2=1,即y 1y 2=b 2
⋅1-a 2t 2 =b 2t
2⋅t 2-a 2 ∴以线段MN 为直径的圆的方程为x -a 2t
2
+y -y 1 y -y 2 =0
令y =0得：x -a 2t 2+y 1y 2=0，即x -a 2t 2+b 2t 2⋅t 2-a 2
=0
∴x -a 2t 2=b 2t 2⋅a 2-t 2 ,即x -a 2t =±b
t a 2-t 2
∴x =a 2t ±b t
a 2-t 2
∴以线段MN 为直径的圆恒过点a 2t ±b
t
⋅a 2-t 2,0 .
八、梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理：直线与△ABC 中AB ,BC ,CA 所在直线分别交于点P ,Q ,R ，则有AP PB ⋅BQ QC ⋅CR
RA
=1.。