2021-2022学年高二物理沪科版选修3-2学案：1.6 习题课：电磁感应中的电路问题和图像问题

学案6 习题课：电磁感应中的电路问题和图像问题
[目标定位] 1.把握电磁感应现象中电路问题的分析方法和解题基本思路.2.综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图像问题.
一、电磁感应中的电路问题
在电磁感应现象中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势.若回路闭合，则产生感应电流，所以电磁感应问题常与电路学问综合考查. 解决与电路相联系的电磁感应问题的基本方法是：
(1)明确哪部分导体或电路产生感应电动势，该导体或电路就是电源，其他部分是外电路. (2)画等效电路图.分清内外电路，画出等效电路图是解决此类问题的关键.
(3)感应电动势的大小由法拉第电磁感应定律E ＝BL v 或E ＝n ΔΦ
Δt 确定，感应电动势的方向由楞次定律或右手定
则确定，在等效电源内部从负极指向正极.
(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解.
例1 用相同导线绕制的边长为L 或2L 的四个闭合导线框，以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图1所示.在每个线框进入磁场的过程中，M 、N 两点间的电压分别为U a 、U b 、U c 和U d .下列推断正确的是( )
图1
A.U a <U b <U c <U d
B.U a <U b <U d <U c
C.U a ＝U b <U c ＝U d
D.U b <U a <U d <U c
解析 U a ＝34BL v ，U b ＝56BL v ，U c ＝34·B ·2L v ＝32BL v ，U d ＝46B ·2L ·v ＝4
3BL v ，故选B.
答案 B
例2 如图2所示，有一范围足够大的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.2 T ，磁场方向垂直纸面对里.在磁场中有一半径r ＝0.4 m 的金属圆环，磁场与圆环面垂直，圆环上分别接有灯L 1、L 2，两灯的电阻均为R 0＝2 Ω.一金属棒MN 与圆环接触良好，棒与圆环的电阻均忽视不计.
图2
(1)若棒以v 0＝5 m/s 的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径的瞬间MN 中的电动势和流过灯L 1的电
流；
(2)撤去金属棒MN ，若此时磁场的磁感应强度随时间均匀变化，磁感应强度的变化率为ΔB Δt ＝4
π T/s ，求回路中
的电动势和灯L 1的电功率. 解析 (1)等效电路如图所示.
MN 中的电动势E 1＝B ·2r ·v 0＝0.8 V MN 中的电流I ＝
E 1
R 0/2
＝0.8 A 流过灯L 1的电流I 1＝I
2＝0.4 A
(2)等效电路如图所示
回路中的电动势E 2＝ΔB
Δt ·πr 2
＝0.64 V
回路中的电流I ′＝E 2
2R 0
＝0.16 A
灯L 1的电功率P 1＝I ′2R 0＝5.12×10－2 W 答案 (1)0.8 V 0.4 A (2)0.64 V 5.12×10－
2 W 二、电磁感应中的图像问题
1.对于图像问题，搞清物理量之间的函数关系、变化范围、初始条件、斜率的物理意义等，往往是解题的关键.
2.解决图像问题的一般步骤
(1)明确图像的种类，即是B －t 图像还是Φ－t 图像，或者E －t 图像、I －t 图像等. (2)分析电磁感应的具体过程.
(3)确定感应电动势(或感应电流)的大小和方向，有下列两种状况.
①若回路面积不变，磁感应强度变化时，用楞次定律确定感应电流的方向，用E ＝n ΔΦ
Δt 确定感应电动势大小的
变化.
②若磁场不变，导体垂直切割磁感线，用右手定则推断感应电流的方向，用E ＝BL v 确定感应电动势大小的变化.
(4)涉及受力问题，可由安培力公式F ＝BIL 和牛顿运动定律等规律写出有关函数关系式. (5)画图像或推断图像.特殊留意分析斜率的变化、截距等.
例3 在竖直方向的匀强磁场中，水平放置一圆形导体环.规定导体环中电流的正方向如图3甲所示，磁场的磁感应强度向上为正.当磁感应强度B 随时间t 按图乙所示规律变化时，下列能正确表示导体环中感应电流变化状况的是 ( )
图3
解析 依据法拉第电磁感应定律有：E ＝n ΔΦΔt ＝nS ΔB
Δt ，因此在面积、匝数不变的状况下，感应电动势与磁场的
变化率成正比，即与B －t 图像中的斜率成正比，由图像可知：0～2 s ，斜率不变，故感应电流不变，依据楞次定律可知感应电流方向顺时针即为正值，2～4 s 斜率不变，电流方向为逆时针，整个过程中的斜率大小不变，所以感应电流大小不变，故A 、B 、D 错误，C 正确. 答案 C
例4 如图4所示，一个由导体做成的矩形线圈，以恒定速率v 运动，从无场区进入匀强磁场区，磁场宽度大于矩形线圈的宽度da ，然后出来，若取逆时针方向的电流为正方向，那么下列图中的哪一个图能正确地表
示回路中的电流与时间的函数关系( )
图4
解析 依据楞次定律，线圈进入磁场的过程，穿过线圈的磁通量垂直线圈向里且增加，产生逆时针的感应电流，由于速度恒定，所以电流恒定，故A 、D 错误；离开磁场时，穿过线圈的磁通量垂直线圈向里且削减，产生顺时针的感应电流，B 错误，故选C.
答案 C
1.(电磁感应中的电路问题)由粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行.现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框一边a 、b 两点间的电势差确定值最大的 是( )
答案 B
解析 本题在磁场中的线框与速度垂直的边等效为切割磁感线产生感应电动势的电源.四个选项中的感应电动势大小均相等，回路电阻也相等，因此电路中的电流相等，B 中a 、b 两点间电势差为路端电压，为电动势的34倍，而其他选项则为电动势的1
4
倍.故B 正确.
2.(电磁感应中的图像问题)
如图5所示，两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为L，磁场方向垂直纸面对里，abcd是位于纸面内的梯形线圈，ad与bc间的距离也为L，t＝0时刻bc边与磁场区域边界重合.现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域，取沿a—b—c—d—a方向为感应电流正方向，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化的图线可能是()
图5
答案 B
解析由于bc进入磁场时，依据右手定则推断出其感应电流的方向是沿adcba的方向，其方向与电流的正方向相反，故是负的，所以A、C错误；当渐渐向右移动时，切割磁感线的条数在增加，故感应电流在增大；当bc边穿出磁场区域时，线圈中的感应电流方向变为abcda，是正方向，故其图像在时间轴的上方，所以B 正确，D错误.
3.(电磁感应中的电路问题)
如图6所示，在磁感应强度B＝2 T的匀强磁场中，有一个半径r＝0.5 m的金属圆环.圆环所在的平面与磁感线垂直，OA是一个金属棒，它沿着顺时针方向以20 rad/s的角速度绕圆心O匀速转动.A端始终与圆环良好接触，OA棒的电阻R＝0.1 Ω，图中定值电阻R1＝100 Ω，R2＝4.9 Ω，电容器的电容C＝100 pF.圆环和连接导线的电阻忽视不计，则：
图6
(1)电容器所带的电荷量是多少？哪个极板带正电？(2)电路中消耗的电功率是多少？
答案(1)4.9×10－10 C上极板带正电(2)5 W
解析(1)等效电路如图所示
金属棒OA产生的感应电动势为：
E＝Bl v＝Brω
r
2
＝5 V.
I＝
E
R＋R2
＝1 A.
则Q＝CU C＝CIR2＝4.9×10－10 C.
依据右手定则，感应电流的方向由O→A，但金属棒切割磁感线相当于电源，在电源内部电流从电势低处流向电势高处，故A点电势高于O点电势，所以电容器上极板与A点相接为正极，带正电，同理电容器下极板与O点相接为负极，带负电.
(2)电路中消耗的电功率P消＝I2(R＋R2)＝5 W，或P消＝IE＝5 W.
题组一电磁感应中的图像问题
1.如图1甲所示，一个闭合线圈固定在垂直纸面的匀强磁场中，设向里为磁感应强度B的正方向，线圈中的箭头为电流I的正方向.线圈中感应电流I随时间变化的图线如图乙所示，则磁感应强度B随时间变化的图线可能是下图中的()
图1
答案 CD
2.在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如图2甲所示，当磁场的磁感应强度B 随时间t 按如图乙所示规律变化时，下图中能正确表示线圈中感应电动势E 变化的是 ( )
图 2
答案 A
解析 在第1 s 内，由楞次定律可判定电流为正，其产生的感应电动势E 1＝ΔΦ1Δt 1＝ΔB 1
Δt 1S ，在第2 s 和第3 s 内，
磁感应强度B 不变，线圈中无感应电流，在第4 s 和第5 s 内，B 减小，由楞次定律可判定，其电流为负，产生的感应电动势E 2＝ΔΦ2Δt 2＝ΔB 2
Δt 2
S ，由于ΔB 1＝ΔB 2，Δt 2＝2Δt 1，故E 1＝2E 2，由此可知，A 选项正确.
3.如图3甲所示，光滑导轨水平放置在竖直方向的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度B 随时间的变化规律如图乙所示(规定向下为正方向)，导体棒ab 垂直导轨放置，除电阻R 的阻值外，其余电阻不计，导体棒ab 在水平外力F 的作用下始终处于静止状态.规定a →b 的方向为电流的正方向，水平向右的方向为外力的正方向，则在0～2t 0时间内，能正确反映流过导体棒ab 的电流与时间或外力与时间关系的图线是 ( )
图3
答案 D
解析 在0～t 0时间内磁通量为向上削减，t 0～2t 0时间内磁通量为向下增加，两者等效，且依据B －t 图线可知，两段时间内磁通量的变化率相等，依据楞次定律可推断0～2t 0时间内均产生由b 到a 的大小不变的感应电流，
选项A 、B 均错误；在0～t 0可推断所受安培力的方向水平向右，则所受水平外力方向向左，大小F ＝BIL 随B 的减小呈线性减小；在t 0～2t 0时间内，可推断所受安培力的方向水平向左，则所受水平外力方向向右，大小F ＝BIL 随B 的增加呈线性增大，选项D 正确.
4.如图4所示的区域内有垂直于纸面对里的匀强磁场，磁感应强度为B .一个电阻为R 、半径为L 、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O 轴匀速转动(O 轴位于磁场边界上)，周期为T ，从图示物置开头计时，则线框内产生的感应电流的图像为(规定电流顺时针方向为正) ( )
图4
答案 A
解析(1)正确利用法拉第电磁感应定律，在本题中由于扇形导线框匀速转动，因此导线框进入磁场的过程中产生的感应电动势是恒定的.(2)留意只有线框在进入磁场和离开磁场时，才有感应电流产生，当完全进入时，由于磁通量不变，故无感应电流产生.故A正确.
5.如图5所示，在0≤x≤2L的区域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直于xoy坐标系平面(纸面)向里.具有确定电阻的矩形线框abcd位于xoy坐标系平面内，线框的ab边与y轴重合，bc边长为L.设线框从t＝0时刻起在外力作用下由静止开头沿x轴正方向做匀加速运动，则线框中的感应电流i(取逆时针方向的电流为正)随时间t变化的函数图像可能是下图中的()
图5
答案 D
解析线圈的ab边刚进入磁场时，产生逆时针方向的电流，随着速度的增大，感应电流渐渐增大；线圈全部进入磁场后，无感应电流；当线圈的ab边离开磁场时，此时cd边切割磁感线，产生顺时针方向的电流，且随速度的增加而增大.由于线圈此时的速度不为零，所以电流是从某一值增大.选项D正确.
6.如图6所示，宽度为d的有界匀强磁场，方向垂直于纸面对里.在纸面所在平面内有一对角线长也为d的正方形闭合导线框ABCD，沿AC方向垂直磁场边界匀速穿过该磁场区域.规定逆时针方向为感应电流的正方向，t＝0时C点恰好进入磁场，则从C点进入磁场开头到A点离开磁场为止，下图中能正确描述闭合导线框中感应电流随时间的变化图像的是()
图6
答案 A
解析导线框在进磁场的过程中，依据楞次定律可知，感应电流的方向为CBADC方向，即为正值，在出磁场的过程中，依据楞次定律知，感应电流的方向为ABCDA，即为负值.在导线框进入磁场直到进入一半的过程中，切割的有效长度均匀增大，感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大，在导线框连续运动至全部进入磁场的过程中，切割的有效长度均匀减小，感应电动势均匀减小，则感应电流均匀减小；在导线框出磁场直到离开一半的过程中，切割的有效长度均匀增大，感应电流均匀增大，在导线框全部出磁场的过程中，切割的有效长度均匀减小，感应电流均匀减小.故A正确，B、C、D错误.
题组二电磁感应中的电路问题
7.如图7所示，将用粗细相同的铜丝做成边长分别为L0和2L0的两只闭合正方形线框a和b，以相同的速度从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外，若闭合线框的电流分别为I a、I b，则I a∶I b为()
图7
A.1∶4
B.1∶2
C.1∶1
D.不能确定
答案 C
解析产生的电动势为E＝BL v，由闭合电路欧姆定律得I＝
BL v
R
，又L b＝2L a，由电阻定律知R b＝2R a，故I a∶I b
＝1∶1.
8.如图8所示，两个相同导线制成的开口圆环，大环半径为小环半径的2倍，现用电阻不计的导线将两环连接在一起，若将大环放入一均匀变化的磁场中，小环处在磁场外，a 、b 两点间电压为U 1，若将小环放入这个磁场中，大环在磁场外，a 、b 两点间电压为U 2，则 ( )
图8 A.U 1
U 2＝1 B.U 1
U 2＝2 C.U 1
U 2＝4 D.U 1U 2＝14
答案 B
解析 依据题意设小环的电阻为R ，则大环的电阻为2R ，小环的面积为S ，则大环的面积为4S ，且ΔB
Δt ＝k ，
当大环放入一均匀变化的磁场中时，大环相当于电源，小环相当于外电路，所以E 1＝4kS ，U 1＝E 1R ＋2R R ＝4
3kS ；
当小环放入磁场中时，同理可得U 2＝E 2R ＋2R
2R ＝23kS ，故U 1
U 2＝2.选项B 正确.
9.如图9所示，竖直平面内有一粗细均匀的金属圆环，半径为a ，总电阻为R (指剪开拉直时两端的电阻)，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直穿过环平面，与环的最高点A 用铰链连接长度为2a 、电阻为R
2的导体棒AB ，AB
由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B 点的线速度为v ，则这时AB 两端的电压大小为( )
图9 A.Ba v
3
B.Ba v 6
C.2Ba v 3
D.Ba v
答案 A
解析 摆到竖直位置时，AB 切割磁感线的瞬时感应电动势E ′＝B ·2a ·(1
2v )＝Ba v .由闭合电路欧姆定律有U AB
＝
E ′R 2＋R 4
·R 4＝1
3Ba v ，故选A. 10.如图10所示，半径为R 的圆形导轨处在垂直于导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度为B ，方向垂直于纸面对里.一根长度略大于导轨直径的导体棒MN 以恒定速率v 在圆导轨上从左端滑到右端，电路中的定值电阻阻值为r ，其余电阻不计.导体棒与圆形导轨接触良好.求：
图10
(1)在滑动过程中通过电阻r 的电流的平均值； (2)MN 从左端到右端的整个过程中，通过r 的电荷量； (3)当MN 通过圆形导轨中心时，通过r 的电流是多少？ 答案 (1)πBR v 2r (2)πBR 2
r (3)2BR v r
解析 (1)计算平均电流，应当用法拉第电磁感应定律先求出平均感应电动势.整个过程磁通量的变化为ΔΦ＝BS ＝πBR 2，所用的时间
Δt ＝2R v ，代入公式E ＝ΔΦΔt ＝πBR v
2，平均电流为I ＝E r ＝πBR v 2r
.
(2)电荷量的计算应当用平均电流，q ＝I Δt ＝B πR 2
r
.
(3)当MN 通过圆形导轨中心时，切割磁感线的有效长度最大，L ＝2R ，依据导体切割磁感线产生的电动势公式E ＝BL v ，得E ＝B ·2R v ，此时通过r 的电流为I ＝E r ＝2BR v
r
.
11.把总电阻为2R 的均匀电阻丝焊接成一半径为a 的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，如图11所示，一长度为2a 、电阻等于R 、粗细均匀的金属棒MN 放在圆环上，它与圆环始终保持良好接触，当金属棒以恒定速度v 向右移动经过环心O 时，求：
图11
(1)棒上电流的大小和方向及棒两端的电压U MN ；
(2)圆环消耗的热功率和在圆环及金属棒上消耗的总热功率. 答案 (1)4Ba v 3R N →M 2
3Ba v (2)8(Ba v )29R 8(Ba v )23R
解析 (1)金属棒MN 切割磁感线产生的感应电动势E ＝BL v ＝2Ba v .
外电路的总电阻为R 外＝R ·R R ＋R ＝1
2R
金属棒上电流的大小为 I ＝
E
R 外＋R ＝2Ba v 12
R ＋R
＝4Ba v 3R ，电流方向从N 到M
金属棒两端的电压为电源的路端电压U MN ＝IR 外＝2
3Ba v .
(2)圆环消耗的热功率为外电路的总功率P 外
＝I 2R
外＝8(Ba v )2
9R
圆环和金属棒上消耗的总热功率为电路的总功率 P 总＝IE ＝8(Ba v )2
3R
.。