极值点偏移 教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习

微专题:极值点偏移之零点和教学设计
一．
二．内容分析
本专题在高考中的地位
近年来高考中函数极值点问题属于考试热点、难点，几乎年年都在考查。

其中，我们常常会遇到极值点发生偏移，使函数图像失去了对称性，以此为背景的题常出现在压轴题位置。

比如2010年高考天津卷理，2016年高考全国卷1理21,2021全国新高考一卷22题。

同时各省市的月考联考试题对极值点偏移也是情有独钟。

教学目标分析
（1）知识目标
理解极值点偏移的概念，掌握极植点偏移之零点和的基本解题方法。

（2）能力与方法
通过问题与方法的探究,加强学生的自主学习能力,培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生分析问题解决问题的能力。

（3）情感、态度与价值观
通过引导学生分析与合作交流，让学生体会解题过程中数形结合、转化化归等数学思想，培养学生主动探求知识、合作交流的数学活动能力，增强学生学习的自信心与成就感。

三、学情分析
本人所带的高三(1)班、三(16)班都是偏理组合班，学生的基础相对历史班学生要强些，但是却仍然有很大的提升空间，极值点偏移这个知识点属于难点，少数学生在这方面有心钻研。

刚刚结束的3月调考中三（1）班的学生吴楸同学以147分位居全校第一。

像这样好学的学生班上很有一部分，他们心中有着想考985的梦想，因此很有必要对这类问题进行系统讲解一下。

四、教法学法
这节课以”教师为主导，学生为主体”为指导思想，采用导练结合的教学方式，教师为主导-----教师提出问题，引导学生思考，分析题意，示范引领。

学生为主体-----学生自学，互学，交流，讨论，小组互动，逐步深入。

五、教学过程设计 （一）基础知识 1.极值点偏移的认识
（1）直线y=a 与函数y=f(x)交于A （x 1， a ），B(x 2，a)两点，AB 的中点与f(x)在区间（x 1，x 2）上的极值点x 0位置关系由函数f(x)决定的。

这类题的一个通法是构造新函数，求导确定新函数的单调性，再通过f(x)的单调性得出与x 0
的大小。

极值点的左偏与右偏：函数极值点左右两侧图像由于“增减速度”的不同，从而出现了极值点左右偏移。

(二)创设情境，真题再现
2
x x
2
1
+1、（2010年高考天津卷）已知函数)()(R x xe x f x
∈=-
（3）如果21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .
2、（2016高考全国卷1）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点.
（2）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x .
（三）典型例题 （无参零点和）
方法一(对称化构造法)：
构造辅助函数F (x )＝f (x )－f (2－x )，x >1，
则F ′(x )＝f ′(x )＋f ′(2－x )＝e －x (1－x )＋e x －2(x －1)＝(x －1)(e x －2－e －x )， 因为当x >1时，x －1>0，e x －2－e －x >0， 所以F ′(x )>0，
所以F (x )在(1，＋∞)上为增函数，
所以F (x )>F (1)＝0，
故当x >1时，f (x )>f (2－x )，(*) 由f (x 1)＝f (x 2)，x 1≠x 2，可设x 1<1<x 2，
将x 2代入(*)式可得f (x 2)>f (2－x 2)， 又f (x 1)＝f (x 2)， 所以f (x 1)>f (2－x 2).
又x 1<1，2－x 2<1，而f (x )在(－∞，1)上单调递增， 所以x 1>2－x 2，所以x 1＋x 2>2. 方法二(比值代换法)：
设0<x 1<1<x 2，f (x 1)＝f (x 2)即x 1e －x 1＝x 2e －x 2, 取对数得ln x 1－x 1＝ln x 2－x 2.
令t ＝x 2x 1
>1，则x 2＝tx 1，代入上式得ln x 1－x 1＝ln t ＋ln x 1－tx 1，得x 1＝ln t t －1，
x 2＝t ln t
t －1
.
3、（2021全国新高考1卷）已知函数)ln 1()(x x x f -=.
（2）设b a ,为两个不相等的正数，且b a b a a b -=-ln ln ，证明：e b a <+<1
12.
例1：已知函数x
xe x f -=)(,若21x x ≠，有)()(21x f x f =，证明：221>+x x .
要证x 1＋x 2＝（t ＋1）ln t t －1>2，即证ln t －2（t －1）
t ＋1>0，
设g (t )＝ln t －2（t －1）
t ＋1
(t >1)，
所以g ′(t )＝1t －2（t ＋1）－2（t －1）（t ＋1）2＝（t －1）2
t （t ＋1）2>0，
所以当t >1时，g (t )为增函数， 所以g (t )>g (1)＝0， 所以ln t －2（t －1）
t ＋1>0，
故x 1＋x 2>2.
设计意图：让学生体会如何解决这类问题的方法和步骤。

过程处理：引导学生思考、分析，然后讲解例题，最后总结题型、方法、步骤。

总结：极值偏离对称轴，构造函数觅单调，单调产生不等式，赋值其中得结论。

（含参零点和）
等价转化:令1()x g x xe a -=-有两个零点12,,x x 证明: 122x x +> 设计意图：让学生体会探寻解法，等价转化
过程处理：学生自主思考完成，学生代表展示结果教师点评。

总结：式中含参，本质相同。

含参零点，分离优先。

学会分析，学会转化。

（零点积）
例 3．已知函数f (x )＝ax －ln x 有两个零点x 1，x 2.求证：x 1x 2>e 2.
例2：已知函数x ae x g x -=)(有两个不同的零点21,x x ，证明：221>+x x .
变量分离：0)(=-=x ae x g x 等价于x
x
xe e x a -==
a
x f x f ==)()(21
().2ln ln ,2ln ln .21221>+=>x x e x x 即
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==⇔==⇔=21ln 2ln 1ln ln ln ln ln 0)(x x x e x a e x a e x
x x a x f .0ln ,ln 21的两个根是方程即：=-a e
x
x x x
2
,
,)(,
ln ,ln 21212211>+-===m m m m a e
m
m g m x m x m 证明：有两个零点则此题可转化为：函数设 (方法二)
证明：不妨设x 1<x 2，由题意得⎩⎨⎧ax 1＝ln x 1，
ax 2＝ln x 2，
所以a (x 1＋x 2)＝ln x 1＋ln x 2，a (x 2－x 1)＝ln x 2－ln x 1，所以a ＝ln x 2－ln x 1
x 2－x 1 ，
要证x 1x 2>e 2，只需证ln x 1＋ln x 2>2.
ln x 1＋ln x 2＝a (x 1＋x 2)＝ln x 2－ln x 1x 2－x 1
·(x 1＋x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＋1x 2x 1－1 ·ln x 2
x 1 ， 令t ＝x 2
x 1 ，t >1，只需证⎝
⎛⎭⎪⎫t ＋1t －1 ·ln t >2， 因为t >1，所以t ＋1t －1 >0，所以只需证ln t >2（t －1）
（t ＋1）
. 令F (t )＝ln t －
2（t －1）
（t ＋1）
(t >1)，
所以F ′(t )＝1t －4
（t ＋1）2 ＝（t －1）2t （t ＋1）2
>0，
所以F (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以F (t )>F (1)＝0， 所以ln t >2（t －1）
（t ＋1） 成立．
综上所述，x 1x 2>e 2成立．
设计意图：让学生体会逻辑推理，类比提升
过程处理：引导学生自主思考完成，学生代表展示结果，教师点评。

总结：形式不同，本质相同。

指对同构，把“零点积”问题转化为“零点和”问题， 抓住本源，融会贯通。

（四）课堂小结
这节课主要学习了极值点偏移问题之零点和的无参零点和含参零点和以及零点积这三个类型的问题，多种题型，一种方法解决，万变不离其“宗”。

其中含参和不含参的本质是相同的，关注通性通法，学会转化、抓住本源、融会贯通。

以解有限道题的思维方法获得解决无限道题的智慧。

（五）课后练习、 强能提升
已知函数ln ()x f x x
=，若()f x a =有两个不同的零点12,x x ，且12x x <．
(1)求a 的取值范围；(2)求证：1
2
e x a x <；
(3)求证：122x x a
+>；
(4)求证：122e x x +>； (5)求证：122ln a x x a
+<-； (6)求证：123e x x a
+>-； (7)求证：121ln a x x a -+>；(8)求证：212e x x >； (9)求证：122
1
x x a <；
(10)求证：12e x x a >； (11)12x x a
； (12)求证：12112a x x +>；
(13)求证：12112e x x +>；(14)求证：12112ln ln x x +>； (15)求证：()()12232111x x a a
++<-+；
(16)求证：22
122122e x x x x a
+>；
(17)当1m ≥时，求证：112e m m x x +>； (18)求证：122ln ln e x x +>； (19)求证：()()120f x f x '+'>． (20)求证：2121e a x x -->；
(21)当32
<31
2<a e
e 时，求证：3
322141(21)<x x e e a ---+；
六．教学反思
近年来高考中经常出现函数中的极值点偏移问题，对于这种题型学生还是感到很陌生，没有通过系统的训练，部分学生不知如何动笔。

本专题针对五中偏物理的学生，选择恰当的教法，注重通性通法，化解难点，渗透数学思想，提升数学核心素养。

预期基础好的学生能独立完成，基础弱的学生能完成部分
的练习题目。

目的是鼓励他们不畏难，敢于动手，培养他们自主探究的能力、合作交流的团队精神，归纳反思的良好习惯，提升复习备考针对性和有效性。