D102对坐标曲线积分25184资料

l
0
P
[x(s),
y(s)]cos

Q[x(s),
y(s)]cos

ds
L P(x, y) cos Q(x, y) cos ds
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类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是
P d x Q d y R d z
L
0
2a3 2 1 4 a3
3
3
(2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a,则
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例3. 计算
其中L为 y
B(1,1)
(1) 抛物线 L : y x2, x : 0 1; x y 2
(2) 抛物线
例4. 设在力场 沿移动到
作用下, 质点由
其中为
z
B
试求力场对质点所作的功. 解: (1)
Ay x
2 (R2 k 2t ) d t 0
(2) 的参数方程为
2 k
y d x x d y z d z t d t
AB
0
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沿椭圆
F
A(a,0) x
沿逆时针移动到
求力F 所作的功.
提示: OM (x , y), F k(x , y) 思考: 若题中F 的方向
改为与OM 垂直且与
W AB kx dx k ydy
y 轴夹锐角,则
AB :
x a cos t y bsin t
t
:
0


2
F k( y, x)
例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;
B
A
a o a x
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (1) 取L的参数方程为
则
y2 dx a2 sin2 t (a sin t )d t
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n
根据定义

lim
0
i 1
P(i
,
i
)xi
设分点 xi 对应参数 ti ,
对应参数 i ,由于
xi xi xi1 (ti ) (ti1) (i)ti
n

lim
0

i 1
(解见 P139 例5)
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2. 已知 为折线 ABCOA(如图), 计算
提示:
AB d x d y BC d y y d z 0 OA d x
k

P(x, y)dx Q(x, y)dy
i1 L i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
说明:
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
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y x
OB : y x, x : 0 1
o
x
y x
xydx xydx xydx
L
AO
OB
解法2 取 y 为参数, 则
A(1,1) 2ຫໍສະໝຸດ 1x3 2
dx

4
0
5
xydx 1 y2 y( y2 )dy
L
1
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o y
x
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三、两类曲线积分之间的联系
设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为
已知L切向量的方向余弦为 cos dx , cos dy
则两类曲线积分有如下联系
ds
ds
L P(x, y) d x Q(x, y) d y
(t) (t)
,
t :




P[
(t),
(t )] (t )

Q[
(t),
(t)]
(t)d
t
• 对有向光滑弧 L : y (x) , x : a b
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
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k


i 1
Li
P(x,
y)dx

Q(x,
y)d y
(2) L－ 表示 L 的反向弧
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
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3. 计算
•
对有向光滑弧
L
:

x y


L
P(x,
y)dx

lim
0

k 1
P(k
,
k
)xk ,
称为对
x
的曲线积分;
n
L
Q(
x,
y)
d
y

lim
0
Q(
k 1
k
,
k
)yk ,
称为对
y
的曲线积分.
若记 d s (d x , dy), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P(x, y)dx Q(x, y)dy
P[
(
i
)
,

(
i
)]

(
i)ti
因为L 为光滑弧 ,
同理可证
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n

lim
0

i 1
P[
(
i
)
,

(
i
)]
(
i
)ti
P[ (t), (t)](t)dt

Q[ (t), (t)] (t) d t
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说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.
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例7.将积分
化为对弧长的积
分, 其中L 沿上半圆周
解： y
2x x2, d y
1 x d x 2x x2
y
ds 1 y2 dx 1 dx 2x x2
o
Bx
二、对坐标的曲线积分的计算法
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
连续,
L 的参数方程为

x y

(t) (t)
t :
,
则曲线积分
存在, 且有




P[
(t),

(t)]
(t
)

Q
[
(t),

(t)]
(t)d
t
证明: 下面先证
P[ (t), (t)](t)dt
2x x2,
1 x
L P(x, y) dx Q(x, y) dy
2x x2
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(1 x)
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内容小结
1. 定义
2. 性质
n

lim
0 k 1
P(k
, k )xk
Q(k
,k )yk
(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧
)]
(t)
(t)
(t )
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例1. 计算 xyd x , 其中L 为沿抛物线 y2 x 从点 L
A(1, 1)到B(1, 1)的一段.
y B(1,1)
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB
AO : y x, x :1 0
L P d x Q d y
P d x Q d y R d z
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思考与练习
y
1. 设一个质点在
处受 B(0,b)
M (x, y)
力F 的作用, F 的大小与M 到原
原点 O 的距离成正比, F 的方向
o
恒指向原点, 此质点由点
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , dy , dz)
F(x, y, z) (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
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3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
则 P(x, y)dx Q(x, y)dy L
x (t) • 对空间有向光滑弧 : y (t), t :
z (t)




P
[
(t
),

(t
)
,

(t)]
(t
)
Q[ (t), (t), (t)] (t)
R[ (t), (t), (t)](t)d t
4. 两类曲线积分的联系
所做的功为
则
n
W Wk
k 1
2) “常代变”
有向小弧段
用有向线段
近似代替, 在
上任取一点
y F(k , k )
L
M ykk B
Mxk k1
A
x
则有
Wk F (k , k ) M k1M k
P(k , k )xk Q(k , k )yk
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例6. 设 续, 曲线段 L 的长度为s, 证明
在L上连
证:
L P cos Q cos ds
L P cos Q cos ds
设 A (P, Q), t (cos ,cos )
二者夹角为
L A t ds L A cos ds
y x2
(3) 有向折线 L : OA AB.
o
A(1, 0 ) x
解: (1) 原式
4 1 x3 dx 0
(2) 原式
1
(
2y2
y

2y

y4
)d
y
0
(3) 原式
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1
(
2x

0

x
2

0
)dx

1
( 2y 0 1)dy
0
0
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3) “近似和”
n
W P(k , k )xk Q(ξk , k )yk
k 1
4) “取极限”
n
W

lim
0
k
1
P(ξk
,
ηk
)Δxk
Q(ξk ,
ηk
)Δyk

(其中 为 n 个小弧段的
最大长度)
y F(k , k )
第二节
第十章
对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念 与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
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一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用
y L
B
F(x, y) (P(x, y), Q(x, y))
特别是, 如果 L 的方程为 y (x), x : a b,则
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
x (t) 对空间光滑曲线弧 : y (t) t : , 类似有
z (t)



P[
(t
),

(t
)
,

(t
例5. 求
其中
从 z 轴正向看为顺时针方向.
解: 取 的参数方程
x cos t, y sin t, z 2 cost sin t (t : 2 0)
z
(2 2cost sin t) cost
2 (1 4cos2 t) d t 2 0
记作
)xk
Q(k
, k
)yk

L P(x, y)dx Q(x, y)dy
都存在, 则称此极限为函数
在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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n
P cos Q cos R cos ds
令 A (P , Q, R), d s (d x , dy , dz)
t (cos , cos , cos )
A d s At ds
记 A 在 t 上的投影为 At
Ad s
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A
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移x
动过程中变力所作的功W.
变力沿直线所作的功
F W F AB cos
A
B F AB
解决办法: “大化小” “常代变” “近似和”
“取极限”
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1) “大化 小”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿
L
M ykk B
Mxkk1
A
x
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2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
n
lim
0
k 1

P(k , k