最佳保温层厚度的计算

最佳保温层厚度的计算（再取个名字）
一、 摘要
通过对热传导和保温隔热材料性能的研究，根据题意，建立了解决保温层材料和厚度的计算模型。

针对第一个问题（即珍珠岩的厚度应为多少），我们建立模型一。

利用傅立叶定律列出方程，通过室温与屋顶内表面有温差和对散热过程、感热过程的分析，给出两个不等式，通过对不等式的求解，得出珍珠岩保温层的厚度范围5δ≥0.533893cm 且5δ≥10.3713cm ，由于保温层材料已给定是珍珠岩，单价为定值，所以用料最省就最经济，又由于保温层要同时考虑保温和隔热两种效果，还要用料最省，故珍珠岩保温层的厚度选择为10.3713cm ，约为10.4cm ，通过资料查证，保温层珍珠岩的厚度在7cm 到20cm 之间，所以在忽略误差的情况下，通过模型一对珍珠岩保温层的计算得出的结果是正确的。

针对第二个问题（即如果更换保温层成其他保温材料，哪种好？并求其厚度。

），我们建立模型二。

在保温层用一种材料替代的情况下，利用0，1规划，列出关系式，目标函数设为保温层费用的求解函数，由于热阻大的材料保温隔热的效果好，所以在限制条件中，替代材料的热阻要大于等于珍珠岩的热阻，在目标函数中未知变量为所选保温隔热材料的厚度和单价，厚度又由导热系数导出，通过编译程序代入所有已知材料的种类数，并依次输入它们对应的导热系数和对应的单价，即算出最优材料及其对应的厚度和价钱，输出的结果为 。

本文的特色在于两个模型用了两种不同的计算方法，模型一思路清晰，运行简单，但只能计算已知保温隔热材料的厚度，并不是判断最优材料和计算厚度的通式，模型二利用0，1规划，建立了判断最经济材料和计算其厚度的通式，运行简便，无论是思路还是使用范围都优于模型一，模型二可为模型一求解，模型一可为模型二检验。

(最后一个问题不知道是否可行，你检验一下程序二。

)
关键词：保温隔热材料，热阻，导热系数，温度差，外围结构
二、问题重述
目前，城市居民楼很多都是简单的平屋顶，屋顶由里向外的结构是涂料，水泥砂浆, 楼板，水泥砂浆，珍珠岩保温层，水泥砂浆，三毡四油防水材料。

厚度分别为0.1cm,1.5cm,20cm,2cm,xcm,2cm,1cm,其中x为未知变量。

已知屋顶外表面最高表面温度为75℃，最低为-40℃。

要求：①保持室内温度舒适②所用材料最省最经济
问：⑴珍珠岩保温层厚度是多少？
⑵如果更换保温层成其他保温材料，哪种好？并求其厚度。

三、问题分析
在任何介质中，当两处存在温差时，在温度高低两部分就会产生热量的传递，热量将由温度较高的部分通过不同的方式向温度低的地方转移。

就人们的住宅来讲，冬天室内温度较室外高，热量就会通过房屋的外围结构向室外传递，使室内温度降低，造成热损失；夏天室外温度高于室内，热量就会通过房屋的外围结构向室内传递，使室内的温度升高，为了保持室内有宜于人们生活、工作的温度，房屋的外围结构所采用的建筑材料必须有一定的保温隔热性能，以保证冬暖夏凉的环境，减少供热和降温用的能量消耗，从而达到节能的目的。

为了实现这一目的，我们就屋顶的保温层材料进行了设计和厚度计算。

由于室内外温差波动不大，所以在建筑保温的热工计算中，把通过建筑围护结构的传热过程看作是在稳定条件下进行的，即是指热量在通过围护结构时，其热流量的大小不随时间的变化而变化，因此对通过围护结构的实体材料层的传热过程均按导热考虑。

对于热传导的过程我们不考虑热量传递的瞬时性，只考虑时间段的持
续性。

由于在实际生活中，室温与屋顶内表面有温度差，所以必须考虑屋顶内层空气的感热过程和散热过程，又因为已知条件中给定了屋顶外表面的温度变化范围，故不考虑屋顶外表面的感热过程和散热过程。

由于除保温层外的其他材料给定且厚度已知，所以在考虑最省问题时只需考虑保温隔热材料的用料和价格，用料越省、单价越低则越省钱。

基于以上分析，我们重点考虑室内的舒适程度,即保证室内温度最适条件下,计算用料最省和价钱最省。

四、 问题假设
1) 假设屋顶各部分材料均匀，通过屋顶的热传导过程看作是在稳定条件下
进行的，即是指热量在通过屋顶结构时，其热量的大小和方向不随时间而变化，室内温度w T ,室外温度n T 保持不变。

2) 假设研究一个时间段Z 的热传导情况，即不考虑热量传递的瞬时性，而
只考虑时间段Z 的持续性。

3) 不考虑屋顶外表面的感热或者散热过程，即外表面温度已知为n T 。

4) 室内温度为常温25℃。

五、 符号说明
w T ——室内温度
n T ——屋顶外表面温度
0T ——屋顶内表面温度
T ∆——屋顶内表面与室内温度的允许温差
i T ——第i 层材料上表面温度（i=1，2，3，4，5，6，7）
i δ——第i 层材料的厚度（i=1，2，3，4，5，6，7）
i λ——第i 层材料的导热系数（i=1，2，3，4，5，6，7）
i R ——第i 层材料的热阻（i=1，2，3，4，5，6，7）
s R ——屋顶内表面空气散热阻
g R ——屋顶内表面空气感热阻
R ——总热阻
R 0——满足保温条件的珍珠岩保温层最小热阻
Q ——通过整个屋顶的热量
Q 0——通过屋顶内表面空气散热层的热量
F ——屋顶面积
Z ——传热时间
i c ——第i 种保温隔热材料的单价
M ——单位面积下的最小费用
六、 模型的建立与求解
模型一：
分别由里到外记涂料，水泥砂浆，楼板，水泥砂浆，珍珠岩保温层，水泥砂浆，三毡四油防水材料为i=1,2,3,4,5,6,7,各层材料厚度分别对应为i δ,热传导系数 为i λ，面积为F ，传热时间为Z ，则由傅立叶定律得： Q=
δλFZ T T w n )(- 易知，Q 与λδ成反比，于是我们设R=λ
δ，则R 可表示热流通过材料时的阻力，简称热阻，由表达式可知在同样温差条件下，R 越大，通过材料的热量越少。

于是我们可以得到
Q =R
FZ T T w n )(- 如果记第i 层材料上表面温度为T i ，下表面温度为T 1-i ，热阻为R i ，则有
Q i =i
i i R FZ T T )(1--（i=1,2,3…） R i =i
i λδ 情况Ⅰ：当室外温度高于室内温度，即T w <T n ≦75℃时，屋顶内表面空
气散热阻记为R s ，则有总热阻
R=R s +∑=n
i i R 1 ——①
通过整个屋顶的热量
Q =R
FZ T T w n )(- ——② 通过屋顶内表面散热空气层的热量
Q 0=s
w R FZ T T )(0- ——③ 由于在热稳定条件下，通过任何一层的热流都是相同的，则有
Q= Q 0 ——④
由②③④得 R=)
()(0w s w n T T R T T -- ——⑥ 若∆T 表示屋顶内表面与室内温度允许的温度差，则有
w T T -0≤ T ∆ ——⑦
假设珍珠岩保温层是第x 层，则有
R x =R-R s -
∑≠=x i i i R ,1 ——⑧ 综上
R x ≥T R T T s w n ∆-)(-R s - ∑≠=x i i i R ,1 ——Ⅰ
情况Ⅱ：当室内温度高于室外温度，即-40℃≦T n < T w 时，屋顶内表面
空气感热热阻为R g ，则有总热阻
R=R g +∑=n
i i R 1 —— ①
通过整个屋顶的热量
Q =－R
FZ T T w n )(- ——② 通过屋顶内表面感热空气层的热量
Q 0=－g
w R FZ T T )(0- ——③ 由于在热稳定条件下，通过任何一层的热流都是相同的，则有
Q= Q 0 ——④
由②③④得
R=)()(0w g
w n T T R T T -- ——⑥
若T ∆表示屋顶内表面与室内温度允许的温度差。

则有
T T T w ∆≤-0 ——⑦
假设珍珠岩保温层是第x 层，则有
R x =R-R g -
∑≠=x i i i R ,1 ——⑧ 综上
R x ≥T R T T g
n w ∆-)(-R g -
∑≠=x i i i R ,1 ——Ⅱ
情况Ⅲ，当室内温度等于室外温度，无能量流动。

模型一求解：
联立Ⅰ，Ⅱ得
x δ≥ [T R T T s w n ∆-)(-R s -∑≠=x i i i
i
,1λδ]x λ，T w <T n ≤75℃ x δ≥ [T R T T g
n w ∆-)(-R g -∑≠=x i i i
i ,1λδ]x λ，-40℃≤T n < T w 查参数表有各种材料热导系数分别为：膨胀珍珠岩0.09w/(m ·K)，水泥砂浆0.93 w/(m ·K), 防火隔热涂料0.1w/(m ·K),钢筋混泥土1.53 w/(m ·K),建筑用毡0.1 w/(m ·K)，T ∆ =5.5℃,屋顶感热阻R g =0.114(m 2·k/w),
屋顶散热阻R s =0.043(m 2·k/w),室温T w =25℃，屋顶外表面温度变化范围-40℃75≤≤n T ℃。

输入程序得
5δ≥0.533893cm 且5δ≥10.3713cm
由于保温层要同时满足保温和隔热两种需求，所以最省的保温层厚度取上述结果交集的最小值时，用料最省，故珍珠岩的厚度为10.3713cm 。

模型二：
由模型一知，在满足要求条件下确定保温层的热阻，记为R 0，
且 R 0=833.05
5=λδ
如果更换保温层为其他材料i ，则i 材料必须满足
i
i λδ≥R 0 我们设i 材料单位体积下的价格为c i ,那么i 材料单位面积下的成本最小值 Z i =R 0i λ c i
我们容易看出如果要材料最省，就是再在所有Z i 中取个最小值，即目标函数为
min Z i =min R 0i λ c i
可见如果选择的材料少，我们只要知道材料的价格和热导系数便可容易算出所有成本再做比较，即可得出结果。

但此时我们不能直观地把另一个目标函数厚度表示出来，因此我们稍微转换一下。

记x i =1表示选择材料i,x i =0表示不选择材料i,则有
x i ={0,1}
假设只用一种材料替代，则必满足以下条件：
∑=n i i x
1=1
目标函数可表示为
M=min ∑=n
i i i i c x R 10λ
R i = R 0i λ
M 即表示所有材料中单位面积下的最小成本
R i 表示此时选择此种材料的厚度
整理得
M=min ∑=n
i i i i c x R 10λ
R i = R 0i λ
s.t. ∑=n
i i x 1=1
x i ={0,1}
模型二求解：
经查资料的知保温隔热材料有种，其编码及其导热系数和单价见附录。

在编译好的程序中，代入材料的种数，并依次输入对应材料的导热系数和单价，即得出最佳保温隔热材料的代码及其厚度和最经济价格，其结果为。

七、模型的检验与推广
八、模型的优缺点分析
优点：1、模型一思路简单易于理解，可用来计算已知保温隔热材料的厚度，运行简便，只需带入相应数据便可求解。

2、模型二要优于模型一，我们可以通过模型二的通式比较多种材料，得
出最优材料并能同时计算出其厚度和价钱，以达到最省的目的，运行
过程比模型一更简便，使用范围较广。

3、模型一和模型二用了两中不同的方法，可以互相检验，操作方便。

缺点：由于不同厂家生产的同种材料的性能有微小差别，故在数值查证上有误差，通过多步计算误差较大。

附录：
1、参数表：
2、屋面保温隔热材料的性能指标要求：
厚度，你最好能把下表填上，有下表上表可删除）
3、程序原代码：
（1）程序一原代码：
#include<iostream> //引用基本输入输出头文件
using namespace std; //使用std命名空间
int main(int argc, char* argv[])
{
double Tn,Tw,Rm,deltaT; //声明双精度浮点型变量
int len; //数组长度
//输入Tx的值（即室外温度）
cout<<"请输入Tn:"<<endl;
cin>>Tn;
//输入Tw的值（即室内温度）
cout<<"请输入Tw:"<<endl;
cin>>Tw;
//输入Rm的值（即屋顶内表面空气热阻值）
cout<<"请输入屋顶内表面空气热阻值（感热阻或散热阻）:"<<endl;
cin>>Rm;
//输入deltaT的值（即允许温差）
cout<<"请输入△T:"<<endl;
cin>>deltaT;
//输入n值（即材料层）
cout<<"请输入n值:"<<endl;
cin>>len;
double *delta=new double[len]; //创建动态数组
double *lambda=new double[len]; //创建动态数组
//输入lambdax的值
cout<<"请输入被求材料厚度的热传导系数λx值:"<<endl;
cin>>lambda[0];
//输入其他各层材料的热传导系数
cout<<"请输入其他各层材料的热传导系数(每输入完一个，按回车):"<<endl;
for(int i=1;i<=len-1;++i)
cin>>lambda[i];
//输入其他各层材料厚度
cout<<"请输入其他各层材料厚度(输入顺序与热传导系数输入顺序一致，每输入完一个，按回车):"<<endl;
for(i=1;i<=len-1;++i)
cin>>delta[i];
double temp = 0.0; //临时变量
for(i=1;i<=len-1;++i)
temp += delta[i]/lambda[i];
if(Tn>Tw)
delta[0]=((Tn-Tw)*Rm/deltaT-Rm-temp)/lambda[0];
else
delta[0]=((Tw-Tn)*Rm/deltaT-Rm-temp)/lambda[0];
cout<<"所求值为:"<<delta[0];
delete[] delta;
delete[] lambda;
delta=NULL;
lambda=NULL;
system("pause");
return 0;
}
（2）程序二原代码：
#include<iostream>
using namespace std;
int main(int argc,char* argv[])
{
double R0;
int n;
//输入R0
cout<<"请输入R0"<<endl;
cin>>R0;
//输入材料数
cout<<"请输入材料种数n"<<endl;
cin>>n;
double *lambda=new double[n];
double *lambdatemp=new double[n];
//输入每种材料λ值
cout<<"请输入每种材料热导系数,每输一个，按回车"<<endl;
for(int i=0;i<=n-1;++i)
{
cin>>lambda[i];
lambdatemp[i]=lambda[i];
}
//输入每种材料价格
double *fee=new double[n];
cout<<"请输入每种材料价格（与热导系数输入顺序一致），每输一个，按回车"<<endl;
for(i=0;i<=n-1;++i)
{
cin>>fee[i];
lambdatemp[i] *= fee[i];
}
int index=1,indexfee=1,temp,fees;
for(i=0;i<=n-2;++i)
{
if(lambda[i]<=lambda[i+1])
{
temp=lambda[i];
lambda[i]=lambda[i+1];
lambda[i+1]=temp;
}
else
index=i+2;
if(lambdatemp[i]<=lambdatemp[i+1])
{
fees=lambdatemp[i];
lambdatemp[i]=lambdatemp[i+1];
lambdatemp[i+1]=fees;
}
else
indexfee=i+2;
}
cout<<"选择第"<<index<<"号材料,用料最少"<<endl;
cout<<"厚度为"<<R0*lambda[index];
cout<<"选择第"<<indexfee<<"号材料,费用最低"<<endl;
cout<<"费用为"<<R0*lambdatemp[indexfee];
system("pause");
return 0;
}
参考文献：
[1] 姜启源等，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003
[2] 马宝国，刘军主编，建筑功能材料，武汉：武汉理工出版社，2004
[3] 邹先欣编著，建筑结构工程施工质量监控手册，北京：建筑工业出版社，2004
[4] 张德信主编，建筑保温隔热材料，北京：化学工业出版社，2006。