高考数学《8.1立体几何》

第八章
8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
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(2)斜二测画法中的“三变”与“三不变” 坐标轴的夹角改变,
“三变” 与������轴平行的线段的长度变为原来的一半, 图形改变 平行性不改变,
“三不变” 与������轴和������轴平行的线段的长度不改变, 相对位置不改变
.
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由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一般的平行四边形;③错误,等
腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,
④也错误.
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1
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1.从空间几何体的定义入手,借助几何模型强化其结构特征. 2.注意空间几何体的不同放置对其三视图的影响. 3.在斜二测画法中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段可通过确定 端点的办法来画,即过端点作坐标轴的平行线段,再借助所作的平 行线段来确定端点在直观图中的位置.
图(2)
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5.利用斜二测画法得到的:
①三角形的直观图一定是三角形;
②正方形的直观图一定是菱形;
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;
④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的个数是
,上、下底面是 全等
多 面
且平行的多边形. (2)棱锥的底面是 任意多边形 是 有一个公共顶点的三角形
体
,侧面 .
(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、下底面
是 相似 多边形
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思考用斜二测画法画直观图的方法技巧有哪些?
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考点2
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答案: (1)C (2)A 解析: (1)A'D'∥y'轴,根据斜二测画法规则,在原图形中应有 AD⊥BC,又AD为BC边上的中线,所以△ABC为等腰三角形.AD为 BC边上的高,则有AB,AC相等且最长,AD最短.
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对点训练 2 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边 AB 平行于 y 轴,BC,AD 平行于 x 轴.已知四边形 ABCD 的面积为 2 2 cm2,则原平面图形的面积为( )
易B知其左视图为 B 项中图.故选 B.
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4.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几 何体的侧(左)视图为( )
关闭
B
答案
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其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体不是圆锥.如图(2)所示,
它是由两个同底圆锥组成的.
图(1)
图(2)
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考点 2 空间几何体的直观图
例2(1)右图是水平放置的某个三角形的直观图,D'是△A'B'C'中 B'C'边的中点,且A'D'∥y'轴,A'B',A'D',A'C'三条线段对应原图形中的 线段AB,AD,AC,那么( )
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A
答案
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解析 ①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定, 因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共 顶点的三角形”,如图(1)所示;③不一定.当以斜边所在直线为旋转轴 时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(2)所示, 它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是 相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长 不一定相等.
图(1)
图(2)
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3.(2016天津,文3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个
棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧
(左)视图为( )
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由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图 所示:
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考点 1 空间几何体的结构特征
例1下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转 形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六 棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 思考如何熟练应用空间几何体的结构特征?
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8.1 空间几何体的结构
及其三视图和直观图
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1.空间几何体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都 平行且相等
(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
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答案
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2.(教材习题改编P8TA1(2))给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆 柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都 是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
.
答案:①③④
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解析: 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的;底面是 矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误的; 命题③正确,如图(1),PD⊥平面ABCD,其中底面ABCD为矩形,可证 明∠PAB,∠PCB为直角,这样四个侧面都是直角三角形;命题④由棱 台的定义知是正确的;命题⑤错误,当以斜边所在直线为旋转轴时,
答案: D
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解析: A错误,如图(1)是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的
几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图(2),若
△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角
2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据 条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系 或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.
3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只 要举出一个反例即可.
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8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
边,所得的几何体都不是圆锥;C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,
它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设
矛盾.
图(1)
图(2)
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解题心得1.要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面 地去分析,多观察实物,提高空间想象能力.
(2)由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为
2,所以原图形为平行四边形,位于 y 轴上的对角线长为 2 2.
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解题心得在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x'轴 或y'轴平行,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端 点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图 中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.
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对点训练1设有以下命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形; ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点; ⑤直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都
是圆锥.
其中真命题的序号是
A.最长的是AB,最短的是AC B.最长的是AC,最短的是AB C.最长的是AB,最短的是AD D.最长的是AD,最短的是AC
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(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所 示的一个正方形,则原来的图形是( )
() (2)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之 间的部分.( ) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.( ) (4)画几何体的三视图时,看不到的轮廓线应画虚线.( ) (5)在用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行 于x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中∠A=45°.( )
②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平
行于x轴和z轴的线段长度在直观图中 保持不变
,
平行于y轴的线段长度在直观图中 变为原来的一半
.
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4.常用结论 (1)常见旋转体的三视图 ①球的三视图都是半径相等的圆. ②底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的 等腰三角形. ③底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的 等腰梯形. ④底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的 矩形.
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(1)圆柱可以由 矩形 绕其任一边所在直线旋转得到.
(2)圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 所在直线旋转得
旋 到. 转 (3)圆台可以由直角梯形绕Fra bibliotek直角腰
所在直线或等腰梯形
体
绕上、下底中点连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥底面 的平面截 圆锥 得到.
(4)球可以由 半圆面或圆面
绕直径所在直线旋转得
(3)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形 的面积有以下关系 S = 直观图 42·S 原图形,S 原图形=2 2S 直观图.
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1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.
到
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2.三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何 体的 正前 方、 正左 方、 正上 方观察几何体画出的轮
廓线.
(2)三视图的画法 ①基本要求: 长对正 , 高平齐 , 宽相等 . ②画法规则: 正侧 一样高, 正俯 一样长, 侧俯 一 样宽;看不到的轮廓线画 虚 线.
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3.直观图
(1)画法:常用 斜二测 画法.
(2)规则
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角
为 45°(或135°) ,z'轴与x'轴和y'轴所在平面 垂直 .
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解析 给几何体的各顶点标上字母,如图(1).A,E在侧投影面上的投 影重合,C,G在侧投影面上的投影重合,几何体在侧投影面上的投影 及把侧投影面展平后的情形如图(2)所示,故正确选项为B(而不是
A).
图(1)