2020年江苏省无锡市江阴第一中学高二数学文联考试卷含解析

2020年江苏省无锡市江阴第一中学高二数学文联考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（）
A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25
参考答案：
D
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解： =（1+2+3+4）=2.5，=（4.5+4+3+2.5）=3.5，
将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是：
=﹣0.7x+a，可得3.5=﹣1.75+a，
故a=5.25，
故选：D．
【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．
2. 下列结论中正确的是
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
C．如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值
D．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
参考答案：
B
略
3. 已知向量，，若与平行，则m的值为（）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣6
参考答案：
D
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解： =（﹣3，3+2m），
∵与平行，∴3+2m+9=0，解得m=﹣6．
故选：D．
4. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差是（）
A． B．1 C．2
D．3
参考答案：
B
略
5. 直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件为()．
A．m＜1 B．－3＜m＜1 C．－4＜m＜2D．0＜m＜1参考答案：
D
略
6. 已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）
A．100 B．99 C．98 D．97
参考答案：
C
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．
【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，
∴9a5=27，a5=3，
又∵a10=8，
∴d=1，
∴a100=a5+95d=98，
故选：C
7. 已知函数，则其导数
A． B． C．
D．
参考答案：
D
8. 某四棱锥的三视图如右上图所示，则该四棱锥的体积是
A． B． C．
D．
参考答案：
B
9. 椭圆的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是（）A．20 B．12 C．10 D．6
参考答案：
A
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据椭圆的标准方程，求出a的值，由△ABF2的周长是（|AF1|+|AF2|）+
（|BF1|+|BF2|）=2a+2a 求出结果．
【解答】解：椭圆，
∴a=5，b=3．
△ABF2的周长是（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=20，
故选A．
10. 函数内（）
A．只有最大值 B．只有最小值
C．只有最大值或只有最小值 D．既有最大值又有最小值
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知tan(+α)=3，则tanα的值是，cos2α的值是．
参考答案：
，
【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的余弦．
【分析】由两角和与差的正切函数展开已知等式，整理即可求得tanα的值，由万能公式即可求得cos2α的值．
【解答】解：∵tan（+α）==3，
解得：tanα=，
∴cos2α==．
故答案为：，．
12. 若，且，则__________．
参考答案：
【分析】
由两角差正弦求解即可
【详解】由题，则
故答案为
【点睛】本题考查两角差的正弦，熟记公式准确计算是关键，是基础题
13. 设是不重合的两直线，是不重合的两平面，其中正确命题的序号
是．
①若//，则；②若，则；
③若，则//；④若，则//或
参考答案：
②④
14. 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为
的矩形，则该正方体的正视图的面积为▲.
参考答案：
略
15. 如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F 分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是．
参考答案：
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角．
【分析】通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出．
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
由于AB=BC=AA1，不妨取AB=2，
则E（0，1，0），F（0，0，1），C1（2，0，2）．
∴=（0，﹣1，1），=（2，0，2）．
∴===．
∴异面直线EF和BC1的夹角为．
故答案为：．
【点评】本题考查了通过建立空间直角坐标系和向量的夹角公式求异面直线的夹角，属于基础题．
16. 若实数a,b,c成等差数列，点P(－1,0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，点N坐标为(3,3)，则线段MN长度的最小值是▲．
参考答案：
5 -
17. 如图所示，已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，
，点为线段中点，直线交椭圆于两点（其中为坐标原点），
与的面积分别记为.
当椭圆的离心率时，求椭圆的方程；
当椭圆的离心率变变化时，是否为定值？若是求出该定值，若不是说明理由.
参考答案：
解：（1）由已知，且∴∴
∴椭圆方程为……………………………………………………3分
（2）由已知，设，则
直线………………4分
直线……………5分
∴
到直线的距离为
到直线的距离为……………………………………9分
（定值）
是定值，定值为…………………………………………………10分
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点．
（1）求证：四边形AEC1F为平行四边形；
（2）求直线AA1与平面AEC1F所成角的正弦值．
参考答案：
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质．
【专题】转化思想；等体积法；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）取CC1的中点H，连接BH，EH，运用平行四边形的判定和性质，即可得证；（2）设A1到平面AEC1F的距离为d，运用等积法，可得=，运用三棱锥的体积公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）取CC1的中点H，连接BH，EH，
在正方形BCC1B1中，BF∥HC1，BF=HC1，可得BFC1H为平行四边形，
即有BH∥FC1，BH=FC1，
又AB∥EH，AB=EH，可得四边形ABHE为平行四边形，
即有AE∥BH，AE=BH，
则AE=FC1，AE∥FC1，可得四边形AEC1F为平行四边形；
（2）设A1到平面AEC1F的距离为d，
直线AA1与平面AEC1F所成角θ的正弦值为，
由=，可得d?S△AEF=a?，
即为d?=a?a2，即有d==a，
即有直线AA1与平面AEC1F所成角的正弦值为．
【点评】本题考查空间线线的位置关系的判断和线面角的求法，注意运用平行四边形的判定和性质，以及体积转换法，考查运算能力，属于中档题．
19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b﹣5，c=，且4sin2﹣cos2C=．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积．
参考答案：
【考点】解三角形；二倍角的余弦；余弦定理．
【分析】（1）由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知的等式
，再根据二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后得到关于cosC 的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，再根据完全平方公式变形后，将a+b，c及cosC的值代入求出ab的值，然后再由ab，sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）∵A+B+C=180°，
∴=90°﹣，
由得：，
∴，
整理得：4cos2C﹣4cosC+1=0，
解得：，
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°；
（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，
∴7=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab?ab=6，
∴．
20. （本题满分13分）已知的展开式前两项的二项式系数的和为10.
(1) 求的值.
(2) 求出这个展开式中的常数项.
参考答案：
（1）展开式前两项的二项式系数的和为10
即------------------------------------------5分（2）展开式的通项----8分令且得------------------------------------10分
展开式中的常数项为第7项，即-------13分
21. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程．参考答案：
22. 在中，,三边成等比数列，求。

参考答案：
解析：由已知得：
, ,
，
又成等比数列，，
又由正弦定理得，
，
或,
但若则这与已知矛盾，。