几何布朗运动

Nankai University
几何布朗运动
前面我们曾经讲过，若随机变量Y为以为参数的对数正态 随机变量，则
2
2
E (Y ) e
若已知证券的初始价格为S(0)，时刻t价格的期望值仅依 赖于几何布朗运动的漂移参数和波动参数，即对于S(t)我 们有
2
2
E[ S (t )] e
t (
)
S (0)
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几何布朗运动
用Δ表示一个小的时间增量，并假定，在每个Δ时间单 位内，证券的价格或者以概率p增长u倍，或者以概率 （1-p）下跌d倍，其中
u e

, d e

,
1 p (1 ) 2
当Δ取得越来越小时，价格的变化就越来越频繁，相应 的价格集就近似为一个几何布朗运动。
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正态随机变量
标准正态随机变量： μ=0， σ2=1。 设为Z一标准正态随机变量，定义在实数域上的函数Φ(x) 称为标准正态分布函数，即
1 ( x) P{Z x} e dx 2 根据标准正态分布的密度函数的对称性我们有
P(Z<-x)= P(Z>x) 即Φ(-x)=1-Φ(x)
X

| a )
X
X

| 1) 0.6826
| 2) 0.9544
P(| X | 3 ) P(|
X

| 3) 0.9974
随机变量只有不到0.3%的可能取值在均值3倍标准差以外。
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正态随机变量
两个相互独立的正态随机变量的和仍然是正态随机变量。 若X1，X2为相互独立的随机变量，且X1~N (μ1, σ12) ， X2~N (μ2, σ22) ，则 X1+X2 也服从正态分布，且 E(X1+X2)= E(X1)+E(X2)= μ1 + μ2 Var(X1+X2)= Var(X1)+Var(X2)= σ12+ σ22 即X1+X2~N (μ1 + μ2, σ12+ σ22)
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布朗运动
1900年，法国数学家Bachelier也独立地介绍了布朗 运动，他在自己的博士论文中用此来建立股票和商品价 格运动的模型。 布朗运动：价格集合S(y)：0≤y≤+∞，若对任意非负的 实数y，t，随机变量S(y+t)-S(y)独立于时刻y及此前的所 有价格，并且它是一个均值为μ，方差为tσ2的正态随机 变量，则称价格集合为漂移参数为μ ，方差参数为σ2的 布朗运动。
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几何布朗运动
几何布朗运动可以克服上述缺点 仍用S(y)（0≤y≤+∞）表示y时刻某证券的价格，若对任 何非负实数y ，t， （1）随机变量S(y+t)/ S(y)独立于y时刻及此前的所有价 格； （2）ln (S(y+t)/ S(y))是均值为μ t ，方差为tσ2的正态随 机变量， 则称价格集服从漂移参数为μ ，波动参数为σ的几何布 朗运动。
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几何布朗运动
如果证券价格遵循几何布朗运动，那么一旦μ ， σ的值 确定了，影响未来价格概率分布的只是现在的价格，而 与历史价格无关。 涉及未来时刻t以后的价格与当前价格比值的所有概率都 与当前价格无关。 比如一种证券在一个月后增长一倍的概率与该证券现在 的价格是$10还是$25是没有关系的。
2
2
E (Y ) e

Var (Y ) e
2 2 2
e
2 2
e
2 2
(e 1)
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2
对数正态随机变量
例 给定初始时间，设S(n)为某证券在n周后的价格(n>0)， 一个模拟这些价格变化的常用模型是假设价格比率 S(n)/S(n-1)是独立同分布的对数正态随机变量，设参数
0.0165 P Z 0.0730
P Z 0.226
P Z 0.226 0.5894
连续两周价格上升的概率为(0.5894)2=0.3474.
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对数正态随机变量
（2）求两周后证券价格高于今天的价格，即求
μ=0.0165，σ=0.0730，求以下事件的概率：
（1）此后两星期证券价格连续上升； （2）两周后的证券价格高于今天的价格。
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对数正态随机变量
解 （1）设Z为标准正态随机变量，求第一周证券价格 上升的概率即求
S (1) S (1) 0 1 P ln P S (0) S (0)
X 50 40 50 P{ X 40} P{ } 25 25
X 50 P{ 2} 25
(2) 0.0228
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对数正态随机变量
设Y是一个随机变量，若ln(Y)服从均值为μ，方差为σ2 的正态分布，则称Y为以μ和σ为参数的对数正态随机变 量。 即如果Y为对数正态的，则它可以表示为 Y=eX ，其中X~N (μ, σ2) 可以证明
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x
x2 2
正态随机变量
例 一个年级学生的IQ测验成绩服从均值为100，标准 差为14.2的正态分布。问随机抽取一名该年级学生其IQ 成绩大于130的概率是多少？ 解 设X为随机抽出的该年级学生的IQ成绩，则：
X ~ N (100,14.22 )
故
X 100 130 100 P{ X 130} P{ } 14.2 14.2
n
。
中心极限定理 对足够大的n，Sn近似于均值为n μ ，方 差为nσ的正态随机变量，即对任意x，我们有
S n n P x ( x) n
且随着n的逐步增大，近似程度变得越来越高。
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中心极限定理
一个n重贝努利试验，假设每次试验只有成功和失败两种 结果，我们用随机变量Xi来表示，若第i次试验成功则 Xi=1，若第i次试验失败则Xi=0。且各次试验成功的概率 皆为p。 设随机变量
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正态随机变量
例：条件与上例题同，现问从六年级学生中随机抽取4 人，他们的平均IQ分数高于130的概率是多少？ 解：设 X 表示随机抽取四人的平均IQ分数，于是
X ~ N (100,14.22 / 4)
故
X 100 130 100 P{ X 130} P 14.2 14.2 4 4
则随着Δ趋于0，和式 Yi
i 1
t /
越来越接近正态随机变量，
故是ln (S(t)/ S(0))一个正态随机变量，并且
t / S (t ) t t t 2 p E ln 2 E (Yi ) i 1 S (0) t t 1 2 (1 ) t 2
S (2) S (2) S (1) 1 P P 1 S (0) S (1) S (0)
S (2) S (1) P ln ln 0 S (0) S (1)
0.0330 P Z 0.0730 2 P Z 0.31965
X i 1 X i
n
则X服从参数为n，p的二项分布，且
E[ X ] np, var( X ) np (1 p)
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中心极限定理
例：掷一均匀硬币100次，求出现正面的次数小于40的 概率。 解：设X为出现正面的次数，则X服从参数n=100，p=1/2 的二项分布。且np=50，np(1-p)=25，故：
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几何布朗运动
下面证明当Δ取得越来越小时，上述简单过程趋近于几 何布朗运动。 首先定义随机变量Yi，若iΔ时的价格上涨，则令Yi=1， 否则令Yi=0. 证券价格在前n次变化过程中上涨的次数为 Yi ，下跌的 次数为 n Yi ，故在时刻nΔ的证券价格S(nΔ)可以表
P Z 0.31965 0.6354
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布朗运动
1827年英国植物学家罗伯特•布朗（Robert Brown）首 次提出布朗运动来描述散布在液体或气体中微粒的不规 则运动。 1905年阿尔伯特•爱因斯坦（Albert Einstein）首次给 出了这种运动的解释。 1918年美国数学家诺伯特•维纳（Norbert Wiener）发 表一系列文章，给出了布朗运动简练的数学定义以及对 它的某些数学性质的说明。
几何布朗运动

南开大学数学科学学院 白晓棠
Contents
1 2
正态随机变量
对数正态随机变量
3 4
布朗运动
几何布朗运动
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正态随机变量
连续性随机变量X都对应一个函数f(x)，称为X的概率密度 函数，它按下面的方式决定与X有关的概率：对任意实数 a<b，曲线f(x)下方x轴上方位于区间[a,b]的部分的面积等 于X取值于a,b之间的概率。即： P(a≤X≤ b) =a与b之间f(x)与x轴所围成 的面积 即右图中阴影区域面积
P{Z 4.23}
1 (4.23) 0.0002
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中心极限定理
大量独立同分布的随机变量之和所构成的随机变量近似 于一个正态随机变量。 设X1，X2，…为独立同分布的随机变量，它们的均值皆
S 为μ，方差为σ2，记
n
i 1 X i
i 1 n
i 1 n
示为：
S (n) S (0)u i1 d
Yi
n
n
Yi
i 1
n
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几何布朗运动
将上述形式整理一下
Yi u S (n) d n S (0)( ) i1 d
t /
n
若记n=t/Δ，则上述方程可以改写为
Yi S (t ) u d t / ( ) i1 S (0) d
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几何布朗运动
用布朗运动建立的股票或商品价格运动的模型存在一些 缺陷，比如： 1、既然股票价格是一个正态随机变量，那它在理论上就 可以取负值，但这与实际是不符的。 2、在布朗运动的模型里，假定无论初始价格为何值，固 定时间长度的价格差具有相同的正态分布。这个假设不 太合理，比如一支股票从$20跌到$15的概率一般不会与 另一支股票在相同时间内从$10跌到$5的概率相同。
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正态随机变量
正态随机变量X的密度函数f(x)由两个参数μ和σ决定， 密度函数的具体形式为：
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
,
x
正态概率密度函数是关于x =μ对称的钟形曲线，参数决 定了曲线的陡峭与舒缓程度。 E(X)=μ Var(X)=σ2
X 100 P{ 2.113} 14.2
1 (2.113) 0.017
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3σ原则
例 设X为正态随机变量X~N (μ, σ2)，则
P(| X X | ) P (|
P (| X | 2 ) P (|
两边取对数得
t/ S (t ) t t u t/ ln 2 Yi ln d ln Yi d i 1 i 1 S (0)
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几何布朗运动
既然
t/ S (t ) t 2 Yi ln i 1 S (0)