上海市第一中学2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析2

上海市第一中学2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）． A ．
3
2
B ．
105
C ．
155
D ．
63
2．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则32z x y =+的最大值为（ ）
A ．5
B ．9
C ．6
D ．12
3．若双曲线E ：22
1x y m n
-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）
A ．
23
3
B ．3
C ．2或
23
3
D ．2或3
4．函数2|sin |
2
()61x x f x x
=-
+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A ．316
π-
B ．
34
C ．
36
π D ．
14
6．已知数列满足：.若正整数
使得
成立，则
( ) A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
7．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，则23342122a a a a a a ++
+=（ ）
A ．
58
B ．
34 C ．
54
D ．
52
8．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1
()3
V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸
B ．3寸
C ．4寸
D ．5寸
9．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条
渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A 2
B 3
C 5
D ．
72
10．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2i
B ．﹣1+2i
C ．1﹣2i
D ．1+2i
11．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b +=-”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解:
12．将函数2()322cos f x x x =
-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
，再向右平移8
π
个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．3,18⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
π C ．3,08⎛⎫
-
⎪⎝⎭
π D ．3,18⎛⎫
-
⎪⎝⎭
π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()2
2
212,204821,2,0
x x x f x x x
x x x x ⎧++-<<⎪=+⎨⎪+-≤-≥⎩，若函数()()1g x a f x =+有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.
14．设P 为有公共焦点12,F F 的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且12PF PF ⊥，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，若213e e =，则1e =______________.
15．在面积为6
2
的ABC ∆中，23AB AC ⋅=，若点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，则BN CM ⋅的最大值是______.
16．()5
2311x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭
的展开式中的常数项为__________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆C ()222210,0y x a b a b +=>>的长轴长为4，离心率3
2
e =
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设,A B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由.
18．（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间[
)20,40内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表. 图：设备改造前样本的频率分布直方图
表：设备改造后样本的频率分布表 质量指标值 [)15,20
[)20,25
[)25,30
[)30,35
[)35,40
[)40,45
频数
2
18
48
14
16
2
（1）求图中实数a 的值；
（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间[)25,30内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间[)20,25或[)30,35内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望.
19．（12分）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°
而成，如图2.已知圆O 的半径为10cm ，设,02
BAO π
θθ∠=<<，圆锥的侧面积为2Scm .
（1）求S 关于θ的函数关系式；
（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大.求S 取得最大值时腰AB 的长度.
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设1m ，过点(,0)m 的直线l 与圆22:1P x y +=相切，且与抛物线2:2Q y x
=相交于,A B 两点．
（1）当m 在区间[1,)+∞上变动时，求AB 中点的轨迹；
（2）设抛物线焦点为F ，求ABF 的周长(用m 表示)，并写出2m =时该周长的具体取值．
21．（12分）将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -后得到如图所示几何体，O 为11A C 的中点.
（1）求证：//OB 平面1ACD ； （2）求二面角11C AD C --的正弦值.
22．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1
(1)(2)
n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，得出
11
,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角，根据中位线定理，
结合余弦定理求出,,AC MQ MP 和MNP ∠的余弦值再求其正弦值即可. 【详解】
根据题意画出图形:
设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，
则
11
,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角
可知115
2MN AB =
=
，1122NP BC ==. 作BC 中点Q ，则PQM 为直角三角形；
1
1,2
PQ MQ AC ==
ABC 中，由余弦定理得
22212cos 4122172AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫
=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
AC ∴=
2
MQ =
在MQP △
中，2
MP =
=
在PMN 中，由余弦定理得
222
222
222cos 25MN NP PM MNP MH NP ⎛⎛⎛+- +-∠====-⋅⋅
所以sin 5MNP ∠=== 故选：C 【点睛】
此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目. 2、C 【解析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】
作出满足约束条件220
100x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．
由32z x y =+，得322z y x =-
+，平移直线322z y x =-+，当直线322
z
y x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值， 即max 32206z =⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 3、C 【解析】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，所以
3b a =3
2
1b e a ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
即可算出结果.
【详解】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，又双曲线的焦点既可在x 轴，又可在y
轴上，所以3b a =33，2
12b e a ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭
23. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想. 4、A 【解析】
用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42
f π
>排除D .故只能选A .
【详解】
因为22|sin()|
|sin |
2
2
()()6
6
()1()
1x x x x f x f x x x
---=-
=-
=+-+ ,
所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;
因为
2
|sin |
2
4
2
1()6
11
1
1f ππππππ=-
=-
++
1
1110
11
22
<-
=-=+,故排除B , 因为2|sin |
2
2
()2()6
2
1()
2
f π
π
π
π
=-
=
+4
2
1
616
4
ππ-
+
42
1
6164
44>-
+446662425
=->-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】
本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题. 5、A 【解析】
求出满足条件的正ABC ∆的面积，再求出满足条件的正ABC ∆内的点到顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案． 【详解】
满足条件的正ABC ∆如下图所示：
其中正ABC ∆的面积为2
3443ABC S ∆= 满足到正ABC ∆的顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形平面区域如图中阴影部分所示， 阴影部分区域的面积为21
222
S ππ=
⨯⨯=. 则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2的概率是311643
P π
==-. 故选：A.
本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题．
6、B
【解析】
由题意可得，，时，，将换为，两式相除，，，
累加法求得即有，结合条件，即可得到所求值．
【详解】
解：，
即，，
时，，
，
两式相除可得，
则，，
由，
，
，
，，
可得
，
且，
正整数时，要使得成立，
则，
则，
故选：．
【点睛】
本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.
7、C
利用()32n n a -的前n 项和求出数列
(){}32n
n a -的通项公式，可计算出n
a
，然后利用裂项法可求出
23342122a a a a a a ++
+的值.
【详解】
()12347324n a a a n a n +++
+-=.
当1n =时，14a =；
当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=，
可得()()1231473541n a a a n a n -+++
+-⋅=-，
两式相减，可得()324n n a -=，故4
32
n a n =-，
因为14a =也适合上式，所以4
32
n a n =-.
依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫
=
=- ⎪++++⎝⎭
，
故2334212216111111
11161153477101013
616434644
a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+
++=
-+-+-++
-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题. 8、B 【解析】
试题分析：根据题意可得平地降雨量2
221
9(106)
33
14πππ
⨯⨯+==，故选B.
考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积. 9、A 【解析】
求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，且90MPN ∠=︒，则可根据圆心
到渐近线距离为2
a 列出方程，求解离心率． 【详解】
不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，
因为90MPN ∠=︒，所以圆心P 到0bx ay -=2
2
b c ==，
即2222c a -=，因为1c
e a
=
>，所以解得e = 故选A ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,a c 的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程. 10、D 【解析】
两边同乘-i ，化简即可得出答案． 【详解】
i •z ＝2+i 两边同乘-i 得z=1-2i ,共轭复数为1+2i ，选D. 【点睛】
(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为z a bi =-
11、C 【解析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系||02|2|a b a b a a b b +=-⇔⋅⇔=⊥，可得选项. 【详解】
222222
||||22224444a b a b a b a b a a b b a a b b -⇔⇔++-+⋅+-⋅+===， ||||0a b =≠，∴等价于0a b a b ⋅=⇔⊥，
故选：C. 【点睛】
本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题. 12、D 【解析】
先化简函数解析式,再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律,可得所求函数的解析式为2
2sin 13
4y x π⎛⎫=--
⎪⎝⎭,
再由正弦函数的对称性得解. 【详解】
23sin 22cos y x x =-
()
21cos 2x x =-+2sin 216x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭,
∴将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为
2
2sin 13
6y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,
再向右平移
8
π
个单位长度,所得函数的解析式为 22sin 1386y x ππ⎡⎤
⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
2
2sin 13
4x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,
233,3428
x k x k k Z ππ
ππ-=⇒=+∈， 0k =可得函数图象的一个对称中心为3,18⎛⎫
- ⎪⎝⎭
π，故选D.
【点睛】
三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、41,5⎡⎫--⎪⎢⎣
⎭
【解析】
由题意首先研究函数()y f x =的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于a 的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围. 【详解】
当10x -<<时，函数()2
2t x x x =+在区间()1,0-上单调递增，
很明显()()1,0t x ∈-，且存在唯一的实数1x 满足()112
t x =-， 当10t -≤<时，由对勾函数的性质可知函数14y t t =+
在区间11,2⎛
⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递增，
结合复合函数的单调性可知函数2
21
248y x x x x
=++
+在区间()11,x -上单调递减，在区间()1,0x 上单调递增，且当
1x x =时，22
1
2148y x x x x
=++
=+， 考查函数2
21y x x =+-在区间()0,∞+上的性质，
由二次函数的性质可知函数2
21y x x =+-在区间()
0,21-上单调递减，在区间(
)
21,-+∞上单调递增，
函数()()1g x a f x =+有6个零点，即方程()10a f x +=有6个根， 也就是1|()|f x a =-
有6个根，即|()|y f x =与1
=-y a
有6个不同交点， 注意到函数2
2y x x =+关于直线1x =-对称，则函数|()|y f x =关于直线1x =-对称，
绘制函数|()|y f x =的图像如图所示，
观察可得：1514a ≤-
<，即415
a -≤<-. 综上可得，实数a 的取值范围是41,5⎡
⎫--
⎪⎢⎣
⎭
. 故答案为41,5⎡⎫--⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】
本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力. 14
【解析】 设122F AF θ∠=
根据椭圆的几何性质可得22
1211tan S PF F b b θ∆==
11c e a =
,22221112111,1c a b a c c e e ⎛⎫∴=∴=-=- ⎪⎝⎭
根据双曲线的几何性质可得，2
2
2122
tan b S PF F b θ
∆== 22c e a =
,222
c a e ∴= 222
2222211b c a c e ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭
2222121111c c e e ⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即
12,1221211233
e e e e e +==∴=，
15
、
3
-【解析】
由任意三角形面积公式与23AB AC ⋅=|AB ||AC |，再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算转化BN CM ⋅，最后由重要不等式求得最值. 【详解】 由
△ABC 的面积为
2得12|AB ||AC |sin ∠
BAC =2
所以|AB ||AC |sin
∠BAC ，①
又23AB AC ⋅=即|AB ||AC |cos ∠BAC =
由①与②的平方和得:|AB ||AC |=
又点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =， 所以()()
2132BN CM BA AN CA AM AB AC AC AB ⎛
⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-+
⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22421
332
AB AC AC AB =⋅--
222221832183
23323323
AC AB AC AB =
--≤-⋅=- 当且仅当
222123
323
AC AB AB AC =⇒=时，取等号，
即BN CM ⋅-
-【点睛】
本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量，进而由重要不等式求最值，属于中档题. 16、31 【解析】
由二项式定理及其展开式得通项公式得：因为5
21x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式得通项为()55
15=-12r r r r r T C x --+⋅⋅，则
()5
2311x x ⎛⎫-⋅- ⎪
⎝⎭
的展开式中的常数项为： ()()4545
5531114C C ⨯-+-=，得解. 【详解】
解：()55
15=-12r
r r r r T C x --+⋅⋅，
则()5
2311x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭
的展开式中的常数项为：
()()4
5
1405
553121231C C ⨯-⋅⋅--⋅⋅=.
故答案为：31. 【点睛】
本题考查二项式定理及其展开式的通项公式，求某项的导数，考查计算能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2
214
y x +=（2）是定值，详见解析
【解析】
（1）根据长轴长为4
，离心率2e =
，则有22
22a c a a b c =⎧⎪
⎪=⎨⎪-=⎪⎩
求解. （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则2
2
0044x y +=，直线()00:11y PA y x x =
--，令0x =得，0
01
M y y x -=-，则
2=-M BM y ，直线022:2y PB y x x -=
+，令0y =，得0
022
N x x y -=-，则1=-N AN x ，再根据()()∆∆∆∆∆∆∆∆-=---=-PMN PAB MAN PAN BAN PAN MAN BAN S S S S S S S S 求解.
【详解】
（1
）依题意得2222
2a c
a a
b
c =⎧⎪
⎪=⎨⎪-=⎪⎩
，
解得21a b =⎧⎨=⎩
，
则椭圆C 的方程2
214
y x +=.
（2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则22
0044x y +=，
直线()0
0:11
y PA y x x =
--， 令0x =得，0
01
M y y x -=
-， 则0
0221
M y BM y x =-=+
-，
直线02
2
:2y PB y x x -=
+， 令0y =，得0
022
N x x y -=
-， 则0
02112
=-=+
-N x AN x y ， ()()PMN PAB MAN PAN BAN PAN MAN BAN S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∴-=---=- 0000211
2122212
=
⋅=++=--y x AN BM x y . 【点睛】
本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题. 18、（1）0.080a =（2）详见解析 【解析】
（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1可计算出a 值； （2）由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为
111
,,236
.，选2件产品，支付的费用X 的所有取值为240，300，360，420，480，由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望． 【详解】
解：（1）据题意，得0.00850.032550.02450.03650.02051a ⨯+⨯++⨯+⨯+⨯= 所以0.080a =
（2）据表1分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为111
,,236
. 随机变量X 的所有取值为240，300，360，420，480.
()111
2406636P X ==⨯=
()1
2111300369P X C ==⨯⨯=
()1
211115360263318P X C ==⨯⨯+⨯=
()1
2111420233
P X C ==⨯⨯=
()111
480224
P X ==⨯=
随机变量X 的分布列为
X
240 300 360 420 480
P
136 19 518 13 14
所以()11511
2403003604204804003691834
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 【点睛】
本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题时掌握性质：频率分布直方图中所有频率和为1．本题考查学生的数据处理能力，属于中档题． 19、（1）S 2400sin cos θθ=π，(0)2
π
θ<<（2）侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为
206
cm 3
【解析】
试题分析：（1）由条件，20cos AB θ=，20cos sin BD θθ=⋅，所以S 2400sin cos πθθ=，(0)2
π
θ<<
；（2）
()
23400sin cos 400sin sin S πθθπθθ==-，令x sin θ=，所以得()3
f x x x =-，通过求导分析，得()f x 在33
x =
时取得极大值，也是最大值． 试题解析：
（1）设1B 交BC 于点D ，过1C 作OE AB ⊥，垂足为E ，
在AOE ∆中，AE 10cos θ=，220cos AB AE θ==， 在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅， 所以S 2400sin cos πθθ=，(0)2
π
θ<<
（2）要使侧面积最大，由（1）得：
()
23400sin cos 400sin sin S πθθπθθ==-
令x sin θ=，所以得()3
f x x x =-，
由()2
130f x x =-='得：x =
当⎛ ⎝⎭时，()0f x '>，当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭
时，()0f x '<
所以()f x 在区间⎛ ⎝⎭上单调递增，在区间⎫⎪⎪⎝⎭
上单调递减，
所以()f x 在x =
所以当sin 3
θ=
时，侧面积S 取得最大值，
此时等腰三角形的腰长20cos AB θ====
答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB ．
20、（1）2x y =+（2）ABF 的周长为22212m m +-+2m =时，ABF 的周长为
11+【解析】
（1）设l 的方程为x ky m =+，根据题意由点到直线的距离公式可得
1=，将直线方程与抛物线方程联立可得
2220y ky m --=，设A ､B 坐标分别是()11,x y ､()22,x y ,利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解.
（2）根据抛物线的定义可得12||||AF BF p x x +=++，由（1）可得2
||||221AF BF m m +=+-，再利用弦长公
式即可求解. 【详解】
（1）设l 的方程为x ky m =+
22
11k m =⇒=-
联立22
2202x ky m
y ky m y x
=+⎧⇒--=⎨=⎩ 设A ､B 坐标分别是()11,x y ､()22,x y 则122
12
222y y k
x x k m +=⎧⎨
+=+⎩ 设AB 的中点坐标为(,)x y ，则
221x k m m m y k ⎧=+=-+⎪
⎨==⎪⎩ 消去参数m
得：2x y =+（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线定义知
1||2p AF x =+
，2||2
p
BF x =+，1p = ∴12||||AF BF p x x +=++
由（1）知(
)
2
2
1222212x x k m m m +=+=-+ ∴2
||||221AF BF m m +=+-
||AB =
=
=
122y y k +=，122y y m ⋅=-，221k m
=-
||2AB ==
ABF 的周长为22212m m +-+2m
=时，ABF 的周长为11+【点睛】
本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题. 21、（
1）见解析；（2）3
. 【解析】
（1）取AC 的中点M ，连接BM 、1D M ，连接11B D ，证明出四边形1MBOD 为平行四边形，可得出1//OB MD ，然
后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）以点1A 为坐标原点，11A D 、11A B 、1A A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角11C AD C --的余弦值，进而可求得其正弦值.
【详解】
（1）取AC 中点M ，连接MO 、BM 、1D M ，
11//AA CC 且11AA CC =，∴四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =， O 、M 分别为11A C 、AC 中点，1//AM AO ∴且1
AM AO =， 则四边形1
AAOM 为平行四边形，1//OM AA ∴且1OM AA =， 11//AA BB 且11AA BB =，1//OM BB ∴且1OM BB =，
所以，四边形1BB OM 为平行四边形，1//BM OD ∴且1BM OD =，
∴四边形1MBOB 为平行四边形，1//OB D M ∴，
1MD ⊂平面1ACD ，OB ⊄平面1ACD ，//OB ∴平面1ACD ；
（2）以点1A 为坐标原点，11A D 、11A B 、1A A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1A xyz -，则()2,2,2C 、()0,0,2A 、()12,2,0C 、()12,0,0D ，
()12,0,2AD =-，()2,2,0AC =，()110,2,0DC =，
设平面1ACD 的法向量为()111,,m x y z =，
由100
m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1111220220x y x z +=⎧⎨-=⎩，取11x =，则11y =-，11z =，()1,1,1m ∴=-， 设平面11AD C 的法向量为()222,,n x y z =，
由11100
n D C n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22220220y x z =⎧⎨-=⎩，取21x =，则20y =，21z =，()1,0,1n ∴=， 26cos 332m n m n m n ⋅<⋅>===⨯⋅，23sin ,1cos ,3
m n m n ∴<>=-<>=， 因此，二面角11C AD C --的正弦值为
33. 【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
22、（Ⅰ）
;（Ⅱ） 【解析】
试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n T .
试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+，
当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+．
设数列{}n b 的公差为d ，
由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d
=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+．
（2）由（1）知()()()116631233n n n n n c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得
()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作
差，得()()
()23412224213222221234123221n n n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．
考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和.
【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.。