湖北省华中师范大学第一附属中学平面向量多选题试题含答案

湖北省华中师范大学第一附属中学平面向量多选题试题含答案
一、平面向量多选题
1．下列命题中真命题的是（ ）
A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）
B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则
3
π
＜θ≤π
C ．A 、B 、C 、
D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形
D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向 【答案】BC 【分析】
对于A ：利用共线定理判断 对于B ：利用平面向量的数量积判断 对于C ：利用数量积的应用判断 对于D ：利用向量的四则运算进行判断 【详解】
对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即1
2
a b ⋅＜，又
1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3
π
＜θ≤π，即B 正确.
对于C ：
()()
22
0BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，
0||
BC BD cosB BC BD ⋅=
⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所
以C 正确.
对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】
（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.
2．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（ ） A ．()a b a +⊥
B ．|2|5a b +=
C ．向量a 在向量b 上的投影是22
D ．向量a 的单位向量是255,⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】
多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断； 对于B:利用模的计算公式； 对于C:利用投影的计算公式； 对于D:直接求单位向量即可． 【详解】
(2,1),(3,1)a b ==-
对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；
对于B:
222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；
对于C: 向量a 在向量b 上的投影是2210
2||(3)1a b b ⋅==--+，故C 错误；
对于D: 向量a 的单位向量是255,55⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，故D 正确．
故选：ABD ． 【点睛】
多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
3．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且
(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）
A ．当0x =时，[]2,3y ∈
B ．当P 是线段CE 的中点时，1
2x =-，52
y =
C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段
D ．x y -的最大值为1- 【答案】BCD 【分析】
利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确. 【详解】
当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错 当P 是线段CE 的中点时，1
3()2
OP OE EP OB EB BC =+=+
+ 115
3(2)222
OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对
x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一
点，故P 的轨迹是线段，故C 对
如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：
OP ON OM =+；
又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；
由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；
此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确 故选：BCD 【点睛】
结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.
4．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且
2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ） A ．1233AE AC AD =+ B ．2
5
DF DB =
C ．,3
AB AD π
=
D ．2725
FB FC ⋅=
【答案】BCD 【分析】
根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】
对于选项A ：()
222
33
133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确； 对于选项B ：易证DEF BFA ，所以
23DF DE BF AB ==，所以22
35
DF FB DB ==，故选项B 正确；
对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()
223AD A B D AB A ⎛
⎫
+
-=- ⎪⎝⎭
，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以114233
2
AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，
11
cos ,212
AB AD AB AD AB AD
⋅=
=
=⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3
AB AD π
=
，
故选项C 正确； 对于选项D ：()(
)33
255
5AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫
⋅=
⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭
(
)()()3
23325
5555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=
-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
229693627
34252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得
2
3
DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.
5．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）
A ．()
0a b c -⋅= B ．()
0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=
D ．2a b c ++=
【答案】ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()
0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；
对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则
()0a c b a --⋅=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
6．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，
2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．1233
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =
【答案】BD 【分析】
利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】
由20PA PC +=，2QA QB =，
可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：
对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()
2212
3333
BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；
对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，1
32
ABC
S AB h =
=，即6AB h =， 则APQ 的面积12122
26423233
APQ
S AQ h AB h =
⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 【点睛】
本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题
7．下列说法中错误的为 （）
A ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底
C ．若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为a
D ．三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足
AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫
⎪=⋅+
= ⎪⎝⎭
，则O 是ABC 的内心 【答案】AC 【分析】
对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可； 对于B ，由124e e =，可知1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底； 对于C ，利用向量投影的定义即可判断；
对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫
⎪⋅+= ⎪⎝⎭
，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC 的内心. 【详解】
对于A ，已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角， 可得()
0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++， 即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+，
解得53λ>-
且0λ≠，则实数λ的取值范围是5
3
λ>-
且0λ≠， 故A 不正确；
对于B ，向量，，213,24e ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
， 124e e =，
∴向量1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；
对于C ，若a b ，则a 在b 上的投影为a ±，故C 错误； 对于D ，
AB CA AB
CA
+
表示与ABC 中角A 的外角平分线共线的向量，
由0AB CA OA AB CA ⎛⎫
⎪⋅+= ⎪⎝⎭
，可知OA 垂直于角A 的外角平分线，
所以，点O 在角A 的平分线上，
同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上， 故点O 是ABC 的内心，D 正确. 故选：AC. 【点睛】
本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.
8．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ） A ．-2 B ．
12
C ．1
D ．-1
【答案】ABD 【分析】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解 【详解】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-， 故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD 【点睛】
本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.
二、立体几何多选题
9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）
A ．()
()
2
2
12AA AB AD
AC ++=
B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点
C ．1AA 与平面ABC
D 所成角大于45 D ．1BD 与AC
所成角的余弦值为3
【答案】AC 【分析】
对A ，分别计算()
2
1++AA AB AD 和2
AC ，进行判断；对B ，设BD 中点为O ，连接
1A O ，假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，应得10⋅=O AB A ，计算
10⋅≠O AB A ，即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点；对C ，计算
11
,,A A AC AC ，根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ，1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，再计算1tan ∠A AC ；对D ，计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅，再利用向量的夹角
公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】
对A ，由题意，111
11cos602
⋅=⋅=⋅=⨯⨯=
AA AB AA AD AD AB ，所以(
)
2
222
111112*********
++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯
=AA AB AD
AA AB AD AA AB AB AD AA AD ，AC AB AD =+，所以()
2
2
2
2
21113=+=+⋅+=++=AC AB AD
AB AB AD AD ，
所以()()2
2
1
26++==AA AB AD AC ，故A 正确；对B ，设BD 中点为O ，连接1
A O ，
1
111111
222
=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ，若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，则1A O ⊥平面ABCD ，则应10
⋅=O AB A ，又因为21111111111110
222222224⎛⎫
⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠ ⎪⎝⎭
O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ，故B 错误；对D ，11,BD AD AA AB AC AB AD =+-=+，
所以()()2
2
11
=2,=3=
+-=
+AD A B A AB AC AB AD D ()()2
2
1
1
1
1
1
⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB
AB AD BD
，111cos ,2⋅<>=
=
=B AC D BD BD AC AC
D 不正确；对C ，
112==AC BD ，在
1A AC 中，111,===A A AC AC 2
2
2
11+=A A AC AC ，所以11⊥A A AC ，所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，又1tan 1∠=>A AC ，即145∠>A AC ，故C 正确；
故选：AC
【点睛】
方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，需要树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解.
10．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使得1CN A
B ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值
C ．若AB BM =，则1AM B
D ⊥
D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -外接球的体积是
43
π 【答案】BD 【分析】
对于A ，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三
线,,NE NF NC 共面共点，不可能；
对于B ，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =
（定值），AM EC =（定值），由余弦定理可得NC 是定值．
对于C ，取AM 中点O ，连接1,B O DO ，假设1AM B D ⊥，易得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不一定成立．
对于D ，当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为1，体积是
43
π． 【详解】 对于A 选项：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，
则11////NE AB NF MB ，，又11AB MB ⊥，所以EN NF ⊥，
如果1CN AB ⊥，可得EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点，
不可能，故A 选项不正确；
对于B 选项：如图1，由A 选项可得1AMB EFN ≈△△，故1NEC MAB ∠=∠（定值），112
NE AB =（定值），AM EC =（定值）， 故在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，
整理得2
22212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+ 故CN 为定值，故B 选项正确．
对于C 选项：如图，取AM 中点O ，连接1,B O DO ，
由AB BM =，得1B O AM ⊥，假设1AM B D ⊥，
111B D B O B =，所以AM ⊥面1ODB ，所以OD AM ⊥，
从而AD MD =，显然不恒成立，所以假设不成立，可得C 选项不正确．
对于D 选项：由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，
此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得122
BO =，2DM =22
2211221
22B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1， 体积是
43
π．故D 选项正确． 故答案为：BD ．
【点睛】 本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于难题.本题C 选项的解题的关键在于采用反证法证明，进而推出矛盾解题，D 选项求解的关键在于把握平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大.。