黑龙江宾县第一中学2021届高三第二次月考数学(理)试卷 Word版含答案

数学（理）
一、选择题
1.设全集{}2|log 2U x x =∈N ，集合{}{}1,22,3A B ==，，则()U A B =( )
A.{1,4}
B.{}1,2,3
C.{3,4}
D.{2,3,4}
2.已知非零向量,a b 满足||2||a b =,且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( ) A ．
π6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
3.已知3sin()cos cos()sin 5βαβαββ---=，为第三象限角，则cos 4απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭( )
A. 2
B. 72
C. 2
D.
72
4.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则( ) A ．2
3
3231(log )(2)(2)4
f f f -
-
>>
B ．233231(log )(2)(2)4
f f f -->>
C ．233
231(2)(2)(log )4
f f f -
-
>>
D ．23
3231(2)(2)(log )4
f f f -
-
>>
5.设点,,A B C 不共线,则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知非零向量,m n 满足35=m n ,1
cos ,5=m n .若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为( )
A.35
-
B.38
C.3-
D.3
7.已知曲线ln x y ae x x =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A.,1a e b ==-
B.,1a e b ==
C.1,1a e b -==
D.1,1a e b -==-
8.已知sin ()2cos2x x =,a ，co ()s sin b ϕϕ=,
，将函数()f x =⋅a b 的图像向右平移π
6
个单位长度后关于y 轴对称，则ϕ的值可以是( ) A.5π
6
B.
π2
C.
π3
D.
π6
9.函数()()()
sin0,0,π0
f x A x A
ωϕωϕ
=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到
()sin
g x A x
ω
=的图象，只需将函数()
y f x
=的图象( )
A．向左平移
π
3
个单位长度B．向左平移
π
12
个单位长度
C．向右平移
π
3
个单位长度D．向右平移
π
12
个单位长度
10.已知ABC是边长为1的等边三角形,点,D E分别是边,
AB BC的中点,连接DE并延长到点F,使得2
DE EF
=,则AF BC
⋅的值为( )。

A.
5
8
- B.
1
8
C.
1
4
D.
11
8
11.下列判断正确的是( )
A.“若sin cos
x x
=，则
π
4
x=”的逆否命题为真命题
B.0
x
∀>，总有1sin
x
e x
>+
C.“32
2210
x x x
--+=”的充要条件是“1
x=-”
D.函数()
2
2π
f x
x+
的最小值为e
12.设函数()
f x的定义域为R，()
f x
'是其导函数，若3()()0,(0)1
f x f x f
'
+>=，则不等式()3x
f x e-
>的解集是（）
A．()
0,+∞B．()
1,+∞C．(),0
-∞D．()
0,1
二、填空题
13.已知数列*
{}()
n
a n∈N是等差数列,
n
S是其前n项和.若
2589
0,27
a a a S
+==,则
8
S的值是__________.
14.已知
tan2
π3
tan
4
α
α
=-
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，则
π
sin2
4
α
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
的值是________
15.已知函数()()()3log 12,03,0x x f x f x x +-≥⎧⎪=⎨
+<⎪⎩
，则()2020f -=________． 16.已知函数()2sin 6πf x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的一个对称中心为π,04⎛⎫
⎪⎝⎭
其中()0,1ω∈则以下结论正
确的是————
（1）.函数()f x 的最小正周期为3π
（2）.将函数()f x 的图像向左平移π
6
所得图像关于原点对称
（3）函数()f x 在区间ππ,62⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增
（4）.函数()f x 在区间()0,100π上有66个零点 四、解答题
17.已知函数23()3sin cos f x x x x =+⋅+（1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间4π,6π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
18.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足222
2
cos 3cos 2a b c a B A c c +-⋅+=.
(1) 若sin 2
c
C =，求a .
(2)若2ABC S =△3b c +=，求ABC △外接圆的面积.
19.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()
*121n n a S n +=+∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令3log n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20.已知各项均为正数的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，且236a a ⋅=，238b b a ⋅= (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式. (2)若222
1
log n n n c a b +=，求12n c c c ++⋯+.
21.已知函数()()()ln 1f x x ax a =+-∈R .
(1)讨论函数()f x 的单调性.
(2)若()()2112g x x x a f x =--+-，设()1122,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若3
2
a ≥，求
证:()()1215
2ln 28
x g x g -≥-.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()3sin x y θ
θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数，将曲线C 上的点按坐标变换3
x x y y ⎧'='=
⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标
系.设A 点的极坐标为3,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（1）求曲线C '的极坐标方程； （2）若过点A 且倾斜角为
π
6
的直线l 与曲线C '交于,M N 两点，求AM AN ⋅的值.
答案
1.答案：D
解析：因为{}{}222|log 2|log log 4{|04}{1,2,3,4}U x x x x x x =∈=∈=∈<=N N N ，所以
{3,4}U
A =，所以(
)
{23,4}U
A B =，.故选D.
2.答案：B
解析：因为()a b b -⊥，所以2()0a b b a b b =-⋅=⋅-，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=
22
||122||a b b b a b
⋅=
=
⋅，所以a 与b 的夹角为π
3
，故选B ． 3.答案：A
解析：∵3
sin()cos cos()sin sin[()]sin 5
βαβαβββαβα---=
=--=-， ∴3sin 5α=-,又α为第三象限角,则4
cos 5
α=-，
42322cos cos cos sin sin πππ44455ααα⎛
⎫+-=-= ⎪⎝
⎭故选：A. 4.答案：C 解析：
()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛
⎫∴= ⎪⎝
⎭．
3
02
3log 4122
-∴>=>，又()f x 在(0,)+∞单调递减，()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
2332
3122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故选C
5.答案：C
解析：因为点,,A B C 不共线,由向量加法的三角形法则,可知BC AC AB =-,所以
AB AC BC +>等价于AB AC AC AB +>-,因模为正,故不等号两边平方得
2222
2cos 2cos AB AC AB AC AC AB AC AB θθ++⋅>+-⋅(θ为AB 与AC 的夹角),整理得
4cos 0AB AC θ⋅>,故cos 0θ>,即θ为锐角.又以上推理过程可逆,所以“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的充分必要条件.故选C. 6.答案：C
解析：由()t ⊥+n m n ，得()2
t t +=⋅+⋅m n m n n n 2105t =⋅⋅+=m n n ，2103t ⎛⎫ ∴⎪⎭+⎝=n ，解得
3t =-.故选C
7.答案：D
解析：因为11x y ae n x '=++,所以1|1x y ae ='=+,所以切线方程为()()11y ae ae x -=+-,即
()11y ae x =+-,与切线方程2y x b =+对照,可得12
1ae b +=⎧⎨=-⎩,解得11
a e
b -⎧=⎨=-⎩，故选D.
8.答案：A
解析：()sin 2cos cos2sin f x x x ϕϕ=+()sin 2x ϕ=+，将其图像向右平移
π
6
个单位长度，得ππsin 263f x x ϕ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝=+⎝-⎭⎭
-的图像，此时图像关于y 轴对称，所以πππ,32k k ϕ-+=+∈Z ，解
得5ππ,6k k ϕ=
+∈Z 取0k =，得5π6
ϕ=故选A 9.答案：B
解析：根据函数()()sin()0,0,π0f x A x A ωϕωϕ=+>>-<<的部分图象，可得2A =，
2π236
π1πω⋅=+，∴2ω=. 再根据五点法作图可得π2π23ϕ⨯
+=,求得,()2sin 2π66πf x x ϕ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭∴.
为了得到()sin 2sin 2g x A x x ω==的图象，
只需将函数()2sin 2π6y f x x ⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭的图象向左平移π12个单位长度，
故选：B.
10.答案：B
解析：由2DE EF =可得3324DF DE AC =
=,且12
AB AC ⋅=,则()()AF BC AD DF AC AB ⋅=+⋅-=13()24AB AC AC AB ⎛⎫
+⋅-=
⎪⎝⎭22311||||424AC AB AB AC --⋅=3111
4288
--=。

11.答案：B
解析：对于A 项，若sin cos x x =，则π
π4
x k k =+∈Z ,，故原命题为假命题，所以它的逆否命题也为假命题，所以A 项错误；
对于B 项，构造函数()1sin x f x e x =--，则()cos x
f x e x '=-，易知()0f x '>在0x >时恒成
立，所以()f x 在(0)+∞,上单调递增，所以()()0
01sin 00f x f e >=--=，所以B 项正确；
对于C 项，322210x x x --+=可化为()()
2
1310x x x +-+=.令2310x x -+=，则0∆>，可知
原方程还有另外两根，故“1x =-”不是“322210x x x --+=”的充要条件，所以C 项错误； 对于D 项，函数()22π
f x x +22ππ
x x =++.令2ππ
t x +()e g t t t =+由对
勾函数的图像可知，()g t 在)π+∞［,上单调递增，所以函数的最小值()min ππ
f x 以D 项错误.故选B. 12.答案：A
解析：令()3()x
g x e f x =，则33()3()()x x g x e f x e f x =+''，
因为3()()0f x f x '+>，所以333()()0x x e f x e f x '+>，所以()0g x '>， 所以函数3()()x g x e f x =在R 上单调递增，
而3()x f x e ->可化为3()1x e f x >等价于()(0)g x g >，解得0x >， 所以不等式3()x f x e ->的解集是()0,+∞. 13.答案：16
解析：由题意可得：()()()2581119147098
9272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪
⎨⨯=+=⎪
⎩
， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩
，则8187
840282162S a d ⨯=+
=-+⨯=. 14.答案：
2
10
解析：由()tan 1tan tan tan 2
tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-
++⎛
⎫+ ⎪
-⎝
⎭， 得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1
tan 3
α=-
. sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭
)2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫
+-=+ ⎪+⎝⎭ 2222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭
，
当tan 2α=时，上式22
222122
==22110
⎫⨯+-⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=2
2
11212233=21011
3⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
综上，2sin 2410
πα⎛
⎫
+= ⎪
⎝
⎭ 15.答案：1-
解析：3(2020)(2017)(1)(2)log (21)21f f f f -=-=⋅⋅⋅=-==+-=- 16.答案：AC
解析：由函数()2sin 6πf x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像 的一个对称中心为π04⎛⎫
⎪⎝⎭
，
,得()2π46ππk k z ω-=∈,因为()0,1ω∈，所以π0,3k ω==,则()2
2si 6πn 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以周期
2π
3π23
T ==.A 项正确；将函数()f x 的图像向左平移
π
6，得()ππ22
2sin 2sin 6366318ππg x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦,显然
()g x 的图像不关于原点对称，B 项错误；由()π22π2π36π
2
k x k k z ≤
-≤+∈,取0k =，得ππ2x -≤≤,即ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是数()f x 的一个单调递增区间，又ππ62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，是π,π2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦的子集，所以函数()f x 在区间ππ62⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，C 项正确；由()0f x =,得()2π36πx k k z -=∈.解的
π3π26x k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，30π10π2π06k ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，得1
66.56
k -<<，因为k z ∈，所以0,1,2,3,66k =⋅⋅⋅,
所以函数()f x 在区间()0,100π上有67个零点。

D 项错误 17.答案：(1) ()23
3sin cos f x x x x +⋅ 3(cos21)13
sin 22x x +=
+ πsin 233x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
2π
π2
T =
=∴ （2）因为ππ64x -≤≤，所以π5
02π36
x ≤+≤， 当ππ232x +=时，即π
12
x =时，()f x 的最大值为13+， 当π203x +
=时，即π
6
x =-时，()f x 3. 解析：
18.答案：(1)由题干及余弦定理，得2
2cos cos 3cos 2a bc A
B A c c ⋅+=，即 cos cos 3cos a B b A c A +=.
由正弦定理，得sin cos sin cos 3sin cos A B B A C A +=，
所以()sin 3sin cos A B C A +=.因为sin 0C ≠，所以3cos 1A =，解得1cos 3A =，所以22
sin A ，
又sin 2c C =
，所以由正弦定理，得
2sin sin a c A C ==，所以42
a =. (2)由(1)知，1cos 3A =，22
sin A =，
所以1sin 2ABC S bc A =△122
22bc ==3bc =.
又()2
221
cos 23
b c bc a A bc +--=
=，3b c +=，所以1a =.
由正弦定理可得，2sin 22a R A =
，解得32R . 所以ABC △外接圆的面积2
9
ππ32
S R ==
. 解析：
19.答案：（1）当1n =时，2121a a =+；
当2n 时，11222n n n n n a a S S a +--=-=，即13n n a a +=，
所以等比数列{}n a 的公比是3，所以213a a =，即11213a a +=，得11a =， 故数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，1113n n n a a q --==. （2）由（1）知，13n n a -=，故1(1)3n n b n -=-. 则01221031323(2)3(1)3n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+-⨯， 12313031323(2)3(1)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，
两式相减得，
123123333(1)3n n n T n --=+++
+--⨯ ()
1313(1)313n n n --=--⨯-
33(32)22
n n =--， 故33(23)44
n n T n =-+. 解析：
20.答案：(1)因为{}n a 为等差数列，且11a =，所以可设公差为d ，
则()11n a n d =+-，所以21a d =+，312a d =+.
因为236a a ⋅=，所以()()1126d d ++=，解得1d =或52
d =-. 又等差数列{}n a 各项均为正数，所以52
d =-不合题意，舍去所以*()n a n n =∈N 因为{}n b 为等比数列，且11b =，所以可设公比为()0q q ≠，则1n n b q -=.
因为2388b b a ⋅==，所以128q q ⋅=，解得2q =，满足各项均为正数，所以()1*2
n n b n -=∈N . (2)由(1)知1,2n n n a n b -==，所以2221log n n n c a b +=
()121n n =+()*111=21n n n ⎛⎫- ⎪+⎝∈⎭N . 所以12n c c c ++
+111111122231n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭11121n ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭
()()*21n n n =+∈N . 解析：
21.答案：(1)由题意得，函数()f x 的定义域为()1-+∞,，()11f x a x '=
-+. 当0a ≤时，()101f x a x '=->+， ∴函数()f x 在()1-+∞,上单调递增.
当0a >时，令()0f x '=，得11x a
=-+. 若11,1x a ⎛⎫∈--+ ⎪⎝
⎭，则()0f x '>，此时函数()f x 单调递增； 若11,x a ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭
，则()0f x '<，此时函数()f x 单调递减. 综上，当0a ≤时，函数()f x 在()1-+∞,上单调递增；
当0a >时，函数()f x 在11,1a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.
(2)()()
2
1
ln1
2
g x x x a x
=+-+，0
x>，
()()
1
1
g x x a
x
'
∴=+-+
()
211
x a x
x
-++
=.
由()0
g x
'=得()
2110
x a x
-++=，
12
1
x x a
∴+=+，
12
1
x x=，2
1
1
x
x
∴=.
3
2
a≥，
1
1
1
1
15
2
1
x
x
x
x
⎧
+≥
⎪
⎪
∴⎨
⎪<<
⎪⎩
，解得
1
1
2
x
<≤.
()()
12
x
g x g
∴-()()()
22
1
1212
2
1
ln1
2
x
x x a x x
x
=+--+-2
112
1
11
2ln
2
x x
x
⎛⎫
=--
⎪
⎝⎭
.
设()22
111
2ln0
22
h x x x x
x
⎛⎫⎛⎫
=--<≤
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
，
则()
()2
2
33
1
21
x
h x x
x x x
-
'=--=-<，
∴函数()
h x在
1
0,
2
⎛⎤
⎥
⎝⎦
上单调递减.
∴当
1
1
2
x=时，()min1152ln2
28
h x h
⎛⎫
==-
⎪
⎝⎭
.
3
2
a
∴≥时，()()
12
15
2ln2
8
x g x
g-≥-成立.
解析：
22.答案：（1）曲线C的普通方程为：
2
21
3
x
y
+=,
将曲线C上的点按坐标变换
3
3
x x
y y
⎧
'
='
=
⎪
⎨
⎪
⎩
得到
3
x x
y y
⎧'
=
⎪
⎨
'
=
⎪⎩
，代入得
2
2
(3)
1
x
y
'
'
+=，即C'的方程为：221
x y
+=.
化为极坐标方程为：1
ρ=.
（2）点A在直角坐标为
3
,0
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，因为直线l过A且倾斜角为
π
6
，
设直线l 的参数方程为332212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 为参数），
代入22:1C x y +=得：233504
t t -+=. 设,M N 两点对应的参数分别为12,t t ，则12123354t t t t +=
=. 所以1254
AM AN t t ⋅==
解析：。