2021届(全国1卷)高三5月卫冕联考数学(文)试题(解析版)

2021届（全国1卷）高三5月卫冕联考数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}
2log 1B x x =>，则A B =（ ）
A ．{}2,3
B ．{}3,4
C ．{}2,4
D ．{}2,3,4
【答案】B
【分析】首先利用对数函数的单调性求解集合B ，再利用集合的交运算即可求解． 【详解】由2log 1x >，得2x >，因为{}0,1,2,3,4A =，所以{}3,4A B =.
故选：B
2．复数3
112i z i
-=+的虚部为（ ）
A ．15
i - B ．15
i
C ．15
-
D ．
15
【答案】C
【分析】根据复数的运算法则，化简复数为31
55
z i =
-，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得()()()()311211311212121255
i i i i
z i i i i i +--+=
===-+++-， 所以复数z 的虚部为15
-. 故选：C .
3．已知椭圆C ：2214x y m m +=+的离心率为
3
，则椭圆C 的长轴长为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．8
【答案】C
【分析】根据条件先计算出c 的值，再根据离心率求解出m 的值，最后根据长轴长为
.
【详解】由题意知244c m m =+-=，所以2c =，
=，所以8m =，
所以椭圆C 的长轴长为=
故选：C .
4．已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间具有线性相
关关系，利用下表中的五组数据求得回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+.根据该回归方程，预
测当8x =时，ˆ84.8y
=，则ˆb =（ ） x
2 3 4 5 6 y
25
39
50
56
64
A ．9.4
B ．9.5
C ．9.6
D ．9.8
【答案】B
【分析】根据表格中的数据，求得,x y 的值，得到ˆˆ446.8b a +=，再由8x =，得到ˆˆ884.8b
a +=，联立方程组，即可求解. 【详解】由已知表格中的数据，可得
2523456439505664
,46.85
5y x +++++=
=+++==，
所以ˆˆ446.8b a +=，
又由当8x =时，ˆ84.8y =，所以ˆˆ884.8b a +=，解得ˆ9.5b
=. 故选：B . 5．函数()23
1e x
x f x x x
-=
+的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】先分析()f x 的奇偶性，然后根据()2f 的取值正负即可判断出符合的图象. 【详解】因为(
)3
2
0x
x xe x x e x
+=+≠，所以定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，
因为()()23
1e x
x f x f x x x
--=
=---，所以()f x 为奇函数，排除A 、B ， 又因为当2x =时，()23
202e 8
f =>+，排除C.
故选：D .
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()080
θθ≤≤的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三
角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍（所成角记1θ、2θ），则
()12tan θθ-=（ ）
A ．
5
7
B ．57
-
C ．
17
D ．17
-
【答案】D
【分析】根据已知条件得出1tan θ、2tan θ的值，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】由题意知1tan 2θ=，2tan 3θ=，所以
()121212tan tan 231
tan 1tan tan 1237
θθθθθθ---=
==-++⨯.
故选：D.
7．已知各项均为负数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且313a a -=，45S =-，则
4a =（ ）
A ．12
-
B ．14
-
C ．18
-
D ．116
-
【答案】C
【分析】根据题设条件，结合等比数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得1,a q 的值，即可求解.
【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，其中10,0a q <>，
因为313a a -=且45S =-，可得2
113a q a -=且
(
)4
1151a q q
-=--，
解得13q =
，1278
a =-或2q =-，11a =(舍去)， 所以42711838a ⎛⎫⎛⎫
=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选：C .
8．在梯形ABCD 中，//AB CD ，4AB CD =，M 为AD 的中点，BM BA BC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．
98
B ．
58
C ．
54
D ．
32
【答案】A
【分析】连接BD ，得到1122
BM BA BD =+，进而得到51
82BM BA BC =+，得到,λμ
的值，即可求解.
【详解】连接BD ，因为M 为AD 的中点，所以11
22
BM BA BD =+， 因为1
4
BD BC CD BC BA =+=+， 所以1115
12248
2BM BA BC BA BA BC ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，所以519828λμ+=+=. 故选：A .
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．20π16+
B ．20π24+
C ．24π16+
D ．24π24+
【答案】B
【分析】根据三视图画出直观图，再计算面积即可.
【详解】由三视图知，原几何体是如图所示的两个半圆柱体，则其表面积为
2π222π22π⨯⨯+⨯+⨯4424420π24+⨯+⨯=+.
故选：B .
10．已知函数()f x 是定义域为R 的递减函数，且()()40f x f x -+=，则不等式
()
()231f x x f x ++-0<的解集为（ ）
A ．()4,0-
B ．()
(),40,-∞-+∞
C ．()5,1-
D ．()(),51,-∞-⋃+∞
【答案】D
【分析】由()()40f x f x -+=得()()15f x f x -=--，则
()
()2310f x x f x ++-<化为()
()235f x x f x +<-结合单调性即可求解解集．
【详解】因为()()40f x f x -+=，所以()()4f x f x =--，()()15f x f x -=--，
因为()()2310f x x f x ++-<，即()
()2
31f x x f x +<--，即
()
()235f x x f x +<-，
因为函数()f x 是定义域为R 的递减函数，所以235x x x +>-，解得5x <-或1x >. 故选：D
11．已知函数()()π4sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛
⎫
=+><
⎪⎝
⎭
图象的一条对称轴方程为2πx =，点7π,02⎛⎫
⎪⎝⎭
是与直线2πx =相邻的一个对称中心，将()f x 图象上各点的纵坐标不变.横坐标伸长为原来的43倍得到函数()g x 的图象，则()g x 在2π,4π3⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值为（ ）
A ．
B ．-
C ．2-
D ．4-
【答案】B
【分析】根据相邻对称轴与对称中心间距离为
4
T
，即可求得T ，进而可求得ω，根据7π02f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，代入数据，结合ϕ的范围，即可求得ϕ值，可得()f x 解析式，根据伸缩变换的原则，可得()g x 的解析式，根据x 的范围，可得1π
46
x -的范围，根据正弦型函数的性质，即可求得()g x 的最小值. 【详解】由题意知，
7π2π42T =-，即6πT =，所以2π1
6π3
ω==， 因为7π02f ⎛⎫=
⎪⎝⎭，所以17sin π032ϕ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝⎭
， 所以17ππ32k ϕ⨯
+=，k ∈Z ，即7
ππ6
k ϕ=-+，k ∈Z ， 因为π2ϕ<
，所以π6ϕ=-，所以()1
π4sin 3
6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的
4
3
倍得到的函数()1
π4sin 4
6g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
当2π,4π3x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，1ππ5π,4636x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
所以当
1ππ463
x -=-时，即2π
3x =-时，()min g x =-
故选：B.
【点睛】相邻对称轴与对称中心间距离为4T ；相邻两对称轴间距离为2
T
；相邻两对称中心间距离为
2
T
12．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线
渐近线上一点，且1AF AO ⊥(其中O 为坐标原点)，1AF 交双曲线于点B ，且
1AB BF =，则双曲线的离心率为（ ）
A
．
4
B
．
4
C
D
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义和余弦定理建立关于,,a b c 的方程，从而可得双曲线的离心率．
【详解】根据双曲线的对称性，不妨设点A 在第二象限，设()1,0F c -，因为1AF AO ⊥，
点1F 到直线0bx ay +=
的距离
d b ==，
所以1AF b =，因为1
FO c =，所以1cos b
AFO c
∠=，因为1AB BF =，所以11122
b
BF AF =
=， 由双曲线的定义可知21222
b
BF BF a a =+=+
，在12BF F △中，由余弦定理可得2
221
4242cos 222
b b
c a b AFO b c c ⎛
⎫+-+ ⎪⎝⎭∠==⨯⨯，整理得b a =，
所以c =
，即离心率c
e a
=
=故选：C.
【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和c
e a
=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算
量．
二、填空题
13．已知实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
，则z x y =-的最大值为___________.
【答案】2-
【分析】作出可行域，由z x y =-，得y x z =-，平移直线y x z =-，找出使得该直线在x 轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解. 【详解】由z x y =-，得y x z =-，根据题意作出可行域如图所示，
由图可知当y x z =-经过点A 时，z x y =-取得最大值，
由40250x y x y +-=⎧⎨-+=⎩
，得()1,3A ，所以132max z =-=-.
故答案为：2-.
【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
14．函数()()2ln 2f x x x x =++()()
1,1f 处的切线方程为___________. 【答案】420x y --=
【分析】求导，求得()1f '， ()1f ，根据导函数的几何意义可得答案． 【详解】因为()2ln x f x x x x
+'=+
()14f '=，又因为()12f =， 所以()f x 的图象在点()()
1,1f 处的切线方程为()241y x -=-，即420x y --=.
故答案为：420x y --=．
15．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =，
cos sin a C c A b +=，则
b
c
=___________.
【答案】【分析】先根据正弦定理以及两角和的正弦公式求解出A 的值，再根据A 对应的余弦定理以及,a c 的关系求解出
b c
的值.
【详解】因为cos sin a C c A b +=，由正弦定理得sin cos sin sin sin A C C A B +=， 又因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以
sin sin cos sin C A A C =，
又sin 0C ≠，即sin cos A A =，所以π4
A =
.
由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-和a =，得2240b c -=，
即()()
0b b +-=，解得b
c
=舍)，
故答案为：【点睛】易错点睛：利用正、余弦定理解三角形的注意事项： （1）注意隐含条件“A B C π++=”的使用；
（2）利用正弦定理进行边角互化时，等式两边同时约去某个三角函数值时，注意说明其不为0.
16．在长方体1111ABCD A BC D -中，12AB CC ==，点Q 为线段1CD 上一点，且1C Q ⊥平面11ACD ，则三棱锥11Q ACC -的外接球体积为___________.
【分析】由线面垂直、正方形、等腰三角形的性质，若E 是1CC 的中点知E 是△1QCC 的外心，取1BB 的中点F ，易得EF ⊥平面11DCC D ，即三棱锥11Q ACC -的外接球球心在的直线EF 上，利用外接球的半径与相关线段的几何关系，求出半径，即可得外接球体积.
【详解】如图所示，
∵1C Q ⊥平面11ACD ，1CD ⊂平面11ACD ， ∴11C Q CD ⊥，而四边形11CC D D 为正方形， ∴Q 为1CD 的中点，则△1QCC 是等腰直角三角形，
设E 是1CC 的中点，则E 是△1QCC 的外心，取1BB 的中点F ，则//EF BC ， ∵BC ⊥平面11DCC D ，则EF ⊥平面11DCC D ，
∴三棱锥11Q ACC -的外接球的球心O 在直线EF 上，又122AB CC BC ==，
∴()2
222
1215123A F FC =
+=>=+
=，即O 在EF 的延长线上， 设OF x =，则由1
OA OC =，有((2
2
2
2
521x x +=++，
解得2
2
x =，故2
2
2222122OC ⎛⎫=
++= ⎪ ⎪⎝⎭
∴外接球体积为
3
4221122
3
π
⨯=⎝⎭
. 【点睛】关键点点睛：利用线面垂直及三棱锥底面为等腰直角三角形有E 是底面的外心，进而根据外接球球心与底面外接圆圆心的关系判断球心O 所在的直线，进而求出半径.
三、解答题
17．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且416S =，2
215a a a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和n S ； （2）若11n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和n T 满足48
101
n T ≥，求n 的最小值. 【答案】（1）21n a n =-，2
n S n =；（2）10.
【分析】（1）由等差数列定义代入条件，求得首项和公差，从而求得n a 和n S ；
（2）()()1
111212122121n b n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，进而可以裂项求和，求得n T ，令
48
101
n T ≥
，解得满足条件的最小n 值. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，
由题意知()()12
1114616,
4,
a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得11a =，2d =，
所以()11221n a n n =+-⨯=-，
()
21212
n n n S n +-=
=.
（2）由（1）得，()()1
111212122121n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，
所以111111123352121n T n n ⎛⎫
=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭
11122121
n
n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭， 令
4821101n n ≥+，得48
5
n ≥， 又*n ∈N ，
所以n 的最小值为10.
【点睛】关键点点睛：等差数列相乘的倒数这类数列的求和，如本题中
()()1
111212122121n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，可以通过裂项求和的方法求得前n 项和.
18．为了解国内不同年龄段的民众旅游消费基本情况，某旅游网站从其数据库中随机抽取了100条客户信息进行分析，这些客户一年的旅游消费金额如下表：
（1）分别估计年轻人和中老年人的旅游消费的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(精确到0.01)；
（2）把一年旅游消费金额满8千元的称为“高消费”，否则称为“低消费”.
（i）从这些“低消费”客户中随机选一人，估计该客户是年轻人的概率；
（ii）完成22
⨯列联表，并判断能否有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关.
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
附临界值表：
【答案】（1）年轻人旅游消费的平均数为：4.55(千元)，中老年人旅游消费的平均数为：
6.43(千元)；（2）（i）
7
15
；（ii）列联表答案见解析，有97.5%的把握认为旅游消费高低
与年龄有关.
【分析】（1）根据平均数公式，结合表中数据，计算即可得答案.
（2）（i）求得样本中“低消费”总的客户数，再求得“低消费”的年轻人数，代入公式，即可得答案.
（ii）根据题中数据，完成列联表，代入公式，即可求得2
K值，查表即可得答案. 【详解】解：（1）由表格可知，年轻人旅游消费的平均数为：
9109732
1357911 4.55
404040404040
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(千元).
中老年人旅游消费的平均数为：
591313119
1357911 6.43
606060606060
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈(千元).
（2）（i）由表格可知，样本中“低消费”总客户数为10052075
--=，
其中“低消费”的年轻人有9109735
+++=人.
所以随机选一人该客户是年轻人的概率为357 7515
=.
（ii ）22⨯列联表如下：
低消费 高消费 合计 年轻人(人) 35 5 40 中老年(人) 40 20 60 合计
75
25
100
因为()2
21002035540 5.556 5.024********
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯，
所以有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关.
19．如图所示，在多面体111ABC A B C -中，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，
120ABC ∠=︒，14AA =，113BB CC ==，2AB BC ==，E ，F 分别为11AC ，AB
的中点.
（1）证明：//EF 平面11BCC B ； （2）求点A 到平面111A B C 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OE ，OF ，利用线面平行的判定定理证明//OF 平面11BCC B 及//OE 平面11BCC B ，再利用面面平面判定定理可证平面//OEF 平面
11BCC B ，最后利用面面平行的性质定理即可得证//EF 平面11BCC B ；
（2）由已知证明OB ⊥平面11AAC C ，即为1B 到平面11AAC 的距离，设点A 到平面
111A B C 的距离为d ，由111111A A B C B AA C V V --=结合余弦定理、面积公式即可求解.
【详解】解：（1）取AC 的中点O ，连接OE ，OF ，
由题知，//OF BC ，BC ⊂平面11BCC B ，OF ⊂/平面11BCC B ， 所以//OF 平面11BCC B ，
因为1//OE CC ，1CC ⊂平面11BCC B ，OE ⊂/平面11BCC B ， 所以//OE 平面11BCC B ， 又OE OF O ⋂=，
所以平面//OEF 平面11BCC B ， 因为EF ⊂平面OEF ， 所以//EF 平面11BCC B .
（2）连接OB ，由AB BC =，得OB AC ⊥， 因为1AA ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ， 所以1AA OB ⊥， 因为1
AA AC A =，
所以OB ⊥平面11AAC C ，
作11C M AA ⊥，1ON C M ⊥，连接1B N .
由1//NO BB ，1NO BB =，得四边形1BB NO 为平行四边形， 所以1//BO B N ，1B N ⊥平面11AAC C ，
因为120ABC ∠=︒，2AB BC ==，所以由余弦定理得23AC = 连接1AC ，则111
1143
423132B AA C V -=⨯⨯⨯=
， 由题意知115A B =1113AC =112B C =， 在111A B C △中，由余弦定理可得111cos 65
B A
C ∠=
则
111sin B AC ∠==111
122A B C S ==△， 设点A 到平面111A B C 的距离为d ，
则由111111A A B C B AA C V V --=，得123
d ⨯⨯=，解得d =【点睛】思路点睛：（2）问中转换三棱锥的顶点，利用等体积法求点到面的距离是一种常见的思路.
20．已知抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点为F ，点M 在第一象限且为抛物线C 上
一点，点()5,0N 在点F 右侧，且△MNF 恰为等边三角形. （1）求C 的方程；
（2）若直线l ：x ky m =+与C 交于A ，B 两点，120AOB ∠=︒(其中O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）24y x =；（2）40,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.
【分析】（1）由中点公式及抛物线定义有524
M p x =
+、2M p
MF x =+，根据等边三
角形有NF MF =即可求p ，写出抛物线方程.
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，应用韦达定理求1212,y y y y +，进而可得12x x +、12x x ，由120AOB ∠=︒，利用向量夹角的坐标表示，列方程求参数范围即可.
【详解】（1）由题意知：1552224M p p x ⎛⎫=
+=+ ⎪⎝⎭，52p
NF =-， 由抛物线的定义知：2
M p
MF x =+，由NF MF =，得2p =， ∴抛物线C 的方程为24y x =.
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由24y x
x ky m
⎧=⎨=+⎩，得2440y ky m --=，
216160k m ∆=+>，
∴121244y y k y y m
+=⎧⎨=-⎩，而()2
1212242x x k y y m k m +=++=+，222121244y y x x m =⋅=，
又120AOB ∠=︒，即
cos OA OB AOB OA OB
⋅∠=
⋅
=
=
212=
=-，
∴240m m -<且()2
224416816m m k m -=+++，
∴22
0434048160
m m m k <<⎧⎨-+=≥⎩，得403m <≤，即m 的取值范围为40,3⎛⎤
⎥⎝⎦. 【点睛】关键点点睛：第二问，设点坐标，联立直线与抛物线方程，应用韦达定理并结合向量夹角的坐标表示，列关于m 的方程求参数范围.
21．已知函数()2
112
x
f x xe mx mx =+
+-. （1）当0m =时，求()f x 的极值； （2）当2m >-时，讨论()f x 的零点个数. 【答案】（1）极小值1
1e
-
-，无极大值；（2）答案见解析. 【分析】（1）当0m =时，求得()()1x
f x x e '=+，根据导数的符号求得函数的单调，进而求得函数的极值；
（2）求得函数的导数()()()
1x
f x x e m '=++，（i ）当0m =时，单调()f x 仅有一个
零点；（ii ）当0m >时，根据()()min 10f x f =-<和()10f >，得到以()f x 在
()1,-+∞内有1个零点；再()x g x xe =，利用导数求得单调性，得到()()1g x g ≥-，
进而化简函数，得到()2
1112
f x mx mx e ≥-
++-，得出()f x 在(),1-∞-内有1个零点，所以()f x 有两个零点；（iii ）当20m -<<时，求得()0f x '=的根据，分
()ln 1m -<-、()ln 1m -=-和()ln 1m ->-三种情况讨论，结合单调性与极值，得到()f x 仅有1个零点，即可求解.
【详解】（1）当0m =时，函数()1x
f x xe =-，可得()()1x
f x x e '=+，
令()0f x '<，可得1x <-；令()0f x '>，可得1x >-，
所以()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增， 当1x =-时，()f x 取得极小值1
1e
-
-，无极大值. （2）由题得，()()()()
11x x
f x x e mx m x e m '=+++=++.
（i ）当0m =时，()1x
f x xe =-，当0x ≤时，()0f x <，
又()f x 为()0,∞+上的增函数，且()1e 10f =->，所以()f x 仅有一个零点； （ii ）当0m >时，0x e m +>，
当1x <-时，可得()0f x '<，()f x 为减函数； 当1x >-时，可得()0f x '>，()f x 为增函数，
所以()()min 11102
m
f x f e =-=-
--<， 因为()3
111022
m f e m e m =++-=+->，
所以()f x 在()1,-+∞内有1个零点. 令()x
g x xe =，则()()1x
g x x e '=+，
所以()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，所以
()()1
1g x g e ≥-=-，
所以()221111122
x
f x xe mx mx mx mx e =++-≥-++-，
因为0m >，所以当x 趋近于-∞时，2
111e 2
mx mx -++-的值趋近于+∞，
所以()f x 在(),1-∞-内有1个零点，所以()f x 有两个零点： （iii ）当20m -<<时，由()0f x '=，得1x =-或()ln x m =-， ①若()ln 1m -<-，即1
0m e
-
<<， 则当()ln x m <-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()ln 1m x -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减： 当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增. 而()()
()()2ln ln 102
m f m m -=
--<，()33
111022f e m e e =+->-->，
此时，函数()f x 仅有一个零点. ②若()ln 1m -=-，即1m e
=-
. 则()0f x '≥，()f x 为R 上的增函数，
因为()010f =-<，()3
1102f e m =+
->，此时()f x 仅有一个零点. ③若()ln 1m ->-，即1
2m e
-<<-，
则当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()1ln x m -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减： 当()ln x m >-时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因为12m e -<<-
，则()11102
m f e -=---<，()2
22410f e m =+->. 此时()f x 仅有1个零点.
综上，当20m -<≤时，()f x 只有1个零点； 当0m >时，()f x 有两个零点.
【点睛】利用函数的导数研究函数的零点问题的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为sin cos 1sin cos x y αα
αα
=+⎧⎨
=+-⎩(α为参数)，以
坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
π
sin 4
ρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
.
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）若点P 的直角坐标为()3,1-，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求
11PA PB
+的值.
【答案】（1）()2
2
12x y +-=，20x y +-=；（2
【分析】（1）因为α为参数，则()()()2
2
2
2
1sin cos sin cos x y αααα+-=++-，计
算化简，即可得曲线C 的普通方程，由两角和的正弦公式展开得：
sin cos 2ρθρθ+=，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入即可得直线l 的直角坐标方程.
（2）由（1）可得直线l 的倾斜角，设出直线l 的参数方程，代入到曲线C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，根据韦达定理，可得12t t +，12t t 表达式，结合t 的几何意义，即可得答案. 【详解】解：（1）由曲线C 的参数方程，得
()()()222
21sin cos sin cos x y αααα+-=++-，
因为()()22
sin cos sin cos 2αααα++-=，
所以曲线C 的普通方程为()2
2
12x y +-=.
由πsin 4ρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
sin cos 2ρθρθ+=. 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=.
所以直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.
（2）由（1）可得直线l 的斜率为-1，则倾斜角为
34
π， 设直线l
的参数方程为312x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
(t 为参数，t ∈R )， 将直线l 的参数方程代入曲线C
的普通方程，整理得2110t -+=，0∆>， 设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .
所以12t t +=1211t t =，则1t ，2t 同正.
所以
121212111111
t t PA PB t t t t ++=+==. 【点睛】解题的关键是熟练掌握参数方程、极坐标方程化为普通方程的方法，并灵活应
用，易错点为，应用t 的几何意义时，若出现12t t +时，需检验12,t t 是否同号，若120t t >，则1212t t t t +=+，若120t t <
，则1212t t t t +=-=23．已知函数()722f x x x =+++. （1）求不等式()8f x ≥的解集；
（2）已知()f x 的最小值为m ，且正实数a 、b 、c 满足a b c m ++=
，证明：
9≤.
【答案】（1）(]1
,3,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭
；（2）证明见解析.
【分析】（1）分7<-x 、71x -≤<-、1x ≥-三种情况解不等式
()722f x x x =+++，综合可得出原不等式的解集；
（2）求得()min 6m f x ==，可得6a b c ++=，利用柯西不等式可证得原不等式成立. 【详解】（1）当7<-x 时，由()()()722398f x x x x =-+-+=--≥，得17
3
x ≤-，所以7<-x ；
当71x -≤<-时，由()()72272258f x x x x x x =+++=+-+=-+≥，解得
3x ≤-，所以73x -≤≤-；
当1x ≥-时，由()722398f x x x x =+++=+≥，得13x ≥-，所以13
x ≥-. 故不等式()8f x ≥的解集为(]1,3,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭
；
（2）由（1）得，()39,75,7139,1x x f x x x x x --<-⎧⎪
=--≤<-⎨⎪+≥-⎩
，
当7<-x 时，()3912f x x =-->；当71x -≤<-时，()(]56,12f x x =-∈； 当1x ≥-时，()396f x x =+≥.
所以当1x =-时，()min 6m f x ==，6a b c ++=. 因为6a b c ++=，所以41414127a b c +++++=. 由柯西不等式可得
第 21 页 共 21 页 ()()()(
)2222414141111a b c ⎡⎤+++++⋅++≥⎣⎦.
所以2
273≤⨯，
9，当且仅当a b c ==时等号成立.
【点睛】方法点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．。