2019-2020学年山东省临沂市第十九中学高一上学期第二次质量调研数学试题(解析版)

2019-2020学年山东省临沂市第十九中学高一上学期第二次
质量调研数学试题
一、单选题
1．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A
B =
A ．{}1
23,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}13
4，， 【答案】A 【解析】由题意{1,2,3,4}A
B =，故选A.
点睛:集合的基本运算的关注点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．
2．已知{}32,,1a a ∈-，则实数a 的值为（ ） A ．3 B ．4
C ．3或 4
D ．无解
【答案】B
【解析】因为{}32,,1a a ∈-，当3a =时，那么12a -=，违反集合元素的互异性，不满足题意，当13a -=时，4a =，集合为{}2,4,3满足题意，∴实数a 的值为4，故选B. 3．函数y
的定义域为( )
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，0)∪(0，1]
C ．(－∞，0)∪(0，1)
D ．[1，＋∞)
【答案】B 【解析】【详解】
函数有意义，所以10
1010x x x -≥⎧⎪⇒≤≠⎨
≠⎪⎩
且 ,故选B.
4．下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是（ ） A ．1y x =+ B ．3y x =-
C ．1y x
=
D ．y x x =
【答案】D
【解析】根据题意判断给定的函数既是奇函数又是定义域上的增函数，进行逐个判断即可． 【详解】
解：选项A 中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；
选项B 中，函数为奇函数，但在定义域为减函数，不符合题意； 选项C 中，函数为奇函数，但在定义域不是增函数，不符合题意； 选项D 中，如图所示：函数为奇函数，且在R 上为增函数，符合题意；
故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的性质，涉及函数的奇偶性与单调性，考查学生对熟知函数的掌握情况，属于简单题目.
5．“0a b >>”是“22
2
b a a b <+”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】
2202a b a b ab >>⇒+>，充分性成立，
22
2
a b ab a b +<⇒≠，a ，b R ∈，必要性不成立，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了充分性和必要性的判断，属于基础题.
6．已知函数()f x x a =+在()1-∞-，上是单调函数，则a 的取值范围是() A ．(]1-∞，
B ．()1-∞-，
C ．[)1+∞，
D ．()1-∞，
【答案】A
【解析】根据()f x 的零点和性质列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】
由于()f x x a =+的零点是x a =-，且在直线x a =-两侧左减右增，要使函数
()f x x a =+在()1-∞-，上是单调函数，，则1a -≥-，解得1a ≤，故选A.
【点睛】
本小题主要考查含有绝对值函数的单调性，属于基础题.
7．已知函数()f x 满足()3123f x x +=-且()1f a =，则实数a 的值为（ ） A ．7- B ．6-
C ．7
D ．6
【答案】C
【解析】()()()211211312331,3333
f x x x f x x +=-=
+-∴=-，()211
1,733
f a a a ∴=
-=∴=，故选C. 8．幂函数y =f （x ）的图象经过点（4，2），若0<a <b <1，则下列各式正确的是 A ．f （a ）<f （b ）<f （） B ．<f （b ）<f （a ）
C ．f （a ）<f （b ）
D ．
【答案】A
【解析】先求得幂函数的解析式，由解析式得到该函数的单调性，根据及单调性得出正确选项. 【详解】
设幂函数y =f （x ）=x α
，
∵该幂函数的图象经过点（4，2），∴4α
=2，
解得，∴f （x ）=，∵0<a <b <1，∴
，
∴f （a ）<f （b ）<f （）．故选A ．
【点睛】
本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性，考查函数值比较大小，属于基础题.
9．已知定义域为R 的函数()y f x =在()0,4上是减函数, 又()4y f x =+是偶函数, 则( )
A ．()()()257f f f <<
B ．()()()527f f f <<
C ．()()()725f f f <<
D ．()()()752f f f <<
【答案】B
【解析】根据条件将自变量转化到()0,4上，再根据单调性判断大小 【详解】
因为()4y f x =+是偶函数,所以()()44f x f x +=-+ 因此()()5(3),7(1)f f f f ==， 因为()y f x =在()0,4上是减函数,所以
()()()321,f f f <<()()()527f f f <<，选B
【点睛】
本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查基本分析判断能力，属基础题. 10．定义：[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]
1.32-=-，则函数[]()(1)
x f x x x
=≥的值域为（ ）.
A ．112⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
B ．213⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
C ．314⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
D ．415⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
【答案】A
【解析】由题意可得当[x n ∈，1)(*)n n N +∈时，[]()[,1)1
x n n f x x x n ==∈+，分别求出n 取不同正整数时函数的值域，取并集得答案． 【详解】
解：当[1x ∈，2)时，[]1x =，[]11
()(,1]2
x f x x x ==∈； 当[2x ∈，3)时，[]2x =，[]22
()(,1]3
x f x x x =
=∈；
⋯
当[x n ∈，1)(*)n n N +∈时，[]()(,1]1
x n n f x x x n ==∈+． 取并集得：函数[]
()(1)x f x x x =…的值域为1(,1]2
． 故选：A ． 【点睛】
本题考查函数的值域及其求法，关键是对题意的理解，是中档题． 11．下列说法正确的是( )
A ．已知命题P : ∀x ∈R ，22421ax x a x ++≥-+为真命题则a ≤ -3或a ≥2
B ．设x ∈R ，则“11
||22
x -<”是“31x <”的充分而不必要条件
C ．函数2y x =[)1,+∞
D ．函数2
()f x x x =-的单调递减区间是11,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】B
【解析】对于A 选项：命题P 为真命题，等价于不等式2
(2)410a x x a +++-≥在x ∈R 上恒成立,分2a =-时,和2a ≠-两种情况分别考虑，根据二次函数的二次项的系数和根的判别式可判断A 选项； 对于B 选项：由11||22
x -<得111
222x -<-<，即01x <<，可判断命题的充分性是
否成立，由3
1x <得1x <，可判断命题的必要性是否成立，从而判断B 选项；
对于C 选项：运用换元法，令0t t =
≥，则21(0)x t t =-≥，可得
()222122y t t t t =--=--，由二次函数的值域可判断C 选项；
对于D 选项：由已知可得函数2
2
2,0(),0
x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩，根据二次函数的单调性
可判断D 选项. 【详解】
对于A 选项：命题P : ∀x ∈R ，22421ax x a x ++≥-+为真命题，则不等式
2(2)410a x x a +++-≥在x ∈R 上恒成立,
若2a =-时,不等式2(2)410a x x a +++-≥等价为430x -≥，2a =-时不满足条件. 若2a ≠-时,要使不等式2
(2)410a x x a +++-≥在x ∈R 上恒成立,
则20164(2)(1)0a a a +>⎧⎨∆=-+-≤⎩,即2260a a a >-⎧⎨+-≥⎩,解得()[)(]2,2,,3a a ⎧∈-+∞⎪⎨∈+∞-∞-⎪⎩
， 所以[)2,a ∈+∞，综上得命题P : ∀x ∈R ，22421ax x a x ++≥-+为真命题，则
[)2,a ∈+∞，所以A 选项不正确；
对于B 选项：由11||22
x -
<得111
222x -<-<，即01x <<，所以得31x <成立，而
由31x <得1x <，11||22x -
<不一定成立，所以“11
||22
x -<”是“31x <”的充分而不必要条件，所以B 选项正确；
对于C 选项：令0t t =
≥，则21(0)x t t =-≥，所以
()2
22117
1721222488y t t t t t ⎛⎫=--=--=--≥- ⎪⎝⎭
，
当1
04t =
>时，y 有最小值178
-，
所以函数2y x =17,8⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
，所以C 选项不正确；
对于D 选项：函数22
2,0(),0
x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩，当0x ≥时，()2
f x x x =-在10,2⎛⎫ ⎪
⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭上单调递增；当0x <时，()2f x x x =+在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭上单
调递减，在1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增；所以函数2()f x x x =-的单调递减区间是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭，所以D 选项不正确，
故选：B. 【点睛】
本题综合考查不等式的恒成立问题，命题的充分必要性，运用换元法求解根式的值，以及分段函数的单调区间，关键在于熟练运用函数的基本要素和基本性质：定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等，属于基础题.
二、多选题
12．（多选题）若()y f x =（x ∈R ）是奇函数，则下列点一定在函数()y f x =图像上的是（ ） A ．(0,0) B ．(,())a f a --
C ．(,())a f a ---
D ．(,())a f a -
【答案】AB
【解析】由()y f x =（x ∈R ）是奇函数，可得()()f x f x -=-，再令0,x =得
()00f =，可得选项.
【详解】
因为()y f x =（x ∈R ）是奇函数，所以()()f x f x -=-，又x ∈R ，所以令0,x =则()()00,f f -=-得()00f =，所以点(0,0)，(,())a f a --一定在()y f x =的图像上， 故选：AB ． 【点睛】
本题考查奇函数的定义，判断是否是函数图像上的点只需代入点，验证是否满足即可，属于基础题.
13．（多选题）给出下列四个对应，其中构成函数的是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】AD
【解析】根据函数的定义，需非空数集上的自变量，经过一个对应关系后，都有唯一的一个元素与之对应，逐一验证可得选项. 【详解】
根据函数的定义，对于B 选项，自变量3没有元素与之对应，因此，B 选项不能构成函
数；
对于C 选项，自变量元素2有2个元素4和5与之对应，因此，C 选项不能构成函数； 对于A 、D 选项，所有自变量都有唯一的一个元素与之对应，所以AD 选项能构成函数， 故选：AD. 【点睛】
本题考查函数的定义，需考虑是否满足定义域中的每一个元素是否通过这个对应关系都有唯一的一个元素与之对应，属于基础题.
三、填空题
14．若函数()2
1x a
f x x bx +=
++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为______． 【答案】()2
1
x
f x x =+ 【解析】由函数在[]1,1-上是奇函数，可得()00f =，可求得a ，结合()()11f f -=-可求得b ，进一步求得解析式 【详解】
()f x 在[]1,1-上是奇函数，()00f ∴=，0a ∴=，()2
1
x
f x x bx ∴=
++． 又()()11f f -=-，11
22b b -∴=--+，即0b =，()21
x f x x ∴=+． 【点睛】
本题考查根据奇函数的性质求解参数，若0x =能取到，则()00f =，由()()
f x f x -=-或()()0f x f x -+=可快速求解其它参数 15．已知函数是R 上的奇函数，函数在
上是减函数，
，则不等
式的解集______．
【答案】
【解析】根据函数是奇函数，得=0，结合函数单调性和奇偶性，分别求出f （x ）>0
和f （x ）<0时x 的取值范围，进而求解. 【详解】 根据题意，函数是R 上的奇函数，且，则
，
又由函数在上是减函数， 则在区间
上，
，在区间
上，
， 又由函数为奇函数，则在区间
上，
，在区间
上，
，
不等式或，
则
，
即不等式的解集为；
故填：． 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.
16．已知函数f (x )=24,2
43,2x x x x x -≥⎧⎨-+<⎩
,不等式f (x )<0的解集是___________．
【答案】(1,4)
【解析】做出函数的图像，取x 轴下方的图像所对应的x 的范围就是()0f x <的解集. 【详解】
函数()24,2
43,2
x x f x x x x -≥⎧=⎨-+<⎩的图像如下图所示：因此()0f x <的解集为(1,4)，
故答案为：(1,4).
【点睛】
本题考查求解有关分段函数的不等式的解集的问题，做出分段函数的图像，运用数形结合的思想是解决此类问题的常用方法，属于基础题. 17．若已知关于x 的不等式ax b <的解集为(2,)-+∞，则
b
a
=____，关于x 的不等式230ax bx a +->的解集为_______
【答案】2- (1,3
)- 【解析】由ax b <的解集为(2,)-+∞，得0a <且2a b -=，
不等式230ax bx a +->等价于()2
230ax a x a +-->，由0a <，得2230x x --<，
解之可得解集. 【详解】
由ax b <的解集为(2,)-+∞，得0a <且2a b -=，所以
2b
a
=-， 不等式230ax bx a +->等价于()2
230ax a x a +-->，因为0a <，所以
2230x x --<，解得13x -<<，所以关于x 的不等式230ax bx a +->的解集为
()1,3-，
故答案为：()2;1,3--. 【点睛】
本题考查不等式与其方程的关系，注意由不等式的解集得出其系数的符号和系数间的关系是本题的关键，属于基础题.
四、解答题 18．已知集合{}2|340A x ax x =
?-=R .
（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）9
{|16a a >-
且0}a ≠；（2）9
{|16
a a ?或0}a =. 【解析】（1）A 中有两个元素等价于方程有两个不相等的实数根； （2）A 中至多有一个元素等价于一元二次方程无解或只有一解. 【详解】
（1）由于A 中有两个元素，
∴关于x 的方程2340ax x --=有两个不等的实数根， ∴9160a ∆=+>，且0a ≠，即9
16
a >-，且0a ≠. 故实数a 的取值范围是9
{|16
a a >-
且0}a ≠. （2）当0a =时，方程为340x --=，4
3
x =-，集合43A 禳镲=
-睚镲镲铪
； 当0a ≠时，若关于x 的方程2340ax x --=有两个相等的实数根，则A 中只有一个元素，此时916
a =-
， 若关于x 的方程2340ax x --=没有实数根，则A 中没有元素，此时916
a <-
.
综上可知，实数a 的取值范围是9
{|16
a a ?或0}a =. 【点睛】
本题考查集合描述法的特点及一元二次方程根的个数的讨论，考查基本的运算求解能力.
19．已知{
}
2
:|230,p A x x x x R =--≤∈，
{}
22:|290,,q B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈，
(1)若[1,3]A B ⋂=，求实数m 的值；
(2)若q ⌝是p 的必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)4m = (2)6m ≥或4m ≤-.
【解析】（1）根据一元二次不等式的解法，求解集合A 和集合B ，根据集合的交集运算，求得实数m 的值；
（2）根据集合的补集运算，求解集合B 的补集，根据必要条件的性质，建立关于m 的不等式，可求得实数m 的取值范围。

【详解】
（1）因为2230x x --≤，即(3)(1)0x x -+≤，所以集合{|13,}A x x x R =-≤≤∈。

因为22290x mx m -+-≤，即(3)(3)0x m x m ---+≤，所以集合
B ={|33}x m x m -≤≤+。

因为[1,3]A B ⋂=，所以31m -=且33m +≥，所以4m =。

（2）若q ⌝
是p 的必要条件，所以C R A B ⊆，又{
3R C B x x m =≤-或}3x m ≥+，
所以33m -≥或31m +≤-，所以6m ≥或4m ≤-。

【点睛】
本题考查集合的交集和补集运算，一元二次不等式的解法，以及充分条件与必要条件，属于基础题。

20．已知函数1
()2
ax f x x +=
+， (1)若该函数在区间()-2∞，+上是减函数，求a 的取值范围. (2)若1a =-，求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
【答案】（1）1,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）最大值为0，最小值为1
2
-． 【解析】（1）根据函数()212112()222
a x a ax a
f x a x x x ++-+-=
==+
+++在区间(2,)-+∞上是减函数,得120a ->,由此可求得a 的范围；
（2）当1a =-时，13()122
x f x x x -+=
=-+++，得出函数()f x 在(),2-∞-和()2,-+∞上单调递减，从而得()f x 在[]1,4的最大值和最小值. 【详解】
（1）因为函数()212112()222
a x a ax a
f x a x x x ++-+-===+
+++在区间(2,)-+∞上是减函数,
所以120a ->,解得12
a <, 所以a 的取值范围1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
. （2）当1a =-时，13
()122
x f x x x -+==-+++，则()f x 在(),2-∞-和()2,-+∞上单调递减，因为[](),,421⊆-+∞，所以()f x 在[]1,4的最大值是()11
1012
f -+=
=+，最小值是()411
4422
f -+=
=-+， 所以该函数在区间[]1,4上的最大值为0，最小值为1
2
-．
【点睛】
本题考查反比例函数的单调性和运用其单调性求在已知闭区间上的最值，属于基础题，在求解反比例函数的相关问题，常需运用变量集中的方法，将自变量集中在分母上后，再研究相关的单调性、值域等问题。

21．已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，()x x x f 22
+=．现已画
出函数()x f 在y 轴左侧的图像，如图所示，并根据图像
（1）写出函数()()R x x f ∈的增区间； （2）写出函数()
()R x x f ∈的解析式；
（3）若函数[]()()22(1,2)g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值。

【答案】（1）()01
，-，(1,)+∞ （2）()()
()⎩⎨⎧≤->+=∴020222x x
x x x
x x f
（3）()g x 的最小
值为252(2)21(23)104(3)a a a a a a a ⎧-≤⎪⎪
-++<≤⎨⎪
->⎪⎩
【解析】试题分析：（1）()x f 在区间()01
，-，(1,)+∞ 上单调递增。

3分 （2）设0>x ，则0<-x
函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，()x x x f 22+=
()()()()()02222>-=-⨯+-=-=∴x x
x x x x f x f
()()
()⎩⎨⎧≤->+=∴02022
2x x
x x x
x x f 7分
（3）2
()222g x x x ax =+-+，对称轴方程为：1x a =-， 当11a -≤时，(1)52g a =-为最小； 8分
当112a <-≤时，2
(1)21g a a a -=-++为最小； 9分 当12a ->时，(2)104g a =-为最小 10分
综上有：()g x 的最小值为252(2)21(23)104(3)a a a a a a a ⎧-≤⎪⎪
-++<≤⎨⎪
->⎪⎩
12分
【考点】本题考查了函数的图象及性质
点评：对于动轴定区间的一元二次函数求最值问题，往往分类讨论求解，属基础题 22．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足2
31
p x =-
+（其中0x a ≤≤，a 为正常数）．已知生产该产品还需投入成本102p
+万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为204p ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．
【答案】（1）4
161
y x x =-
-+（0x a ≤≤）；（2）当1a ≥时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为4
1611311--=+万元；当1a <时，促销费用投入a 万元,厂家的利润最大，为4
161
a a -
-+万元. 【解析】（1）根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系；
（2）利用导数可求出该函数的最值． 【详解】
（1）由题意知，()204102y p x p p ⎛⎫
⎪⎝
⎭=+--+，
将231
p x =-
+代入化简得：4
161y x x =--+（0x a ≤≤）； （2）()
()()
()
()()()
2
22
2
2
2
14
314
23
11111x x x x x y x x x x -+++--+-'=--
=
=-
=-++++， （ⅰ）当1a ≥时，
①当()0,1x ∈时，0y '>，所以函数4
161y x x =--+在()0,1上单调递增， ②当()1,x a ∈时，0y '<，所以函数4
161
y x x =-
-+在()1,a 上单调递减， 从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； （ⅱ）当1a <时，因为函数4
161
y x x =-
-+在()0,1上单调递增， 所以在[]0,a 上单调递增，故当x a =时，函数有最大值， 即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大.
综上，当1a ≥时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为4
1611311
--=+万元；
当1a <时，促销费用投入a 万元，厂家的利润最大，为4
161
a a --+万元. 【点睛】
本题考查函数模型的选择与应用以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于综合题. 23．已知：函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且
(1)0f =．
（1）求(0)f 的值． （2）求()f x 的解析式．
（3）已知z R ∈，设P ：当1
02
x <<
时，不等式()32f x x a +<+恒成立；Q ：当2][2x ∈-，时，()()g x f x ax =-是单调函数．如果满足P 成立的a 的集合记为A ，满
足Q 成立的a 的集合记为B ，求C R A B ⋂（R 为全集）．
【答案】（1）(0)2f =-；（2）2()2f x x x =+-；（3）C {|15}R A B a a ⋂=<…
【解析】（1）令1x =-，1y =带入化简得到答案. （2）令0y =，代入计算得到答案.
（3）根据恒成立问题计算得到{|1}A a a =≥，根据单调性计算得到
{|3,5}B a a a =≤-≥或，再计算C R A B ⋂得到答案.
【详解】
（1）令1x =-，1y =，则由已知(0)(1)1(121)f f -=--++，∴(0)2f =-
（2）令0y =，则()(0)(1)f x f x x -=+，又∵(0)2f =-∴2
()2f x x x =+-
（3）不等式()32f x x a +<+即2232x x x a +-+<+，21x x a -+<．
由于当102x <<时，2
3114x x <-+<，又2
213124x x x a ⎛⎫-+=-+< ⎪⎝
⎭恒成立，
故{|1}A a a =≥，2
2
()2(1)2g x x x ax x a x =+--=+--对称轴1
2
a x -=， 又()g x 在[2,2]-上是单调函数，故有
122a -≤-或1
22
a -≥， ∴{|3,5}B a a a =≤-≥或，C {|35}R B a a =-<<
∴C {|15}R A B a a ⋂=≤<． 【点睛】
本题考查了函数求值，函数解析式，集合的运算，意在考查学生的综合应用能力.。